基于指令濾波的板球系統誤差反步控制器研究

韓光信，孟圣鈞，白淏文

(吉林化工學院 信息與控制工程學院，吉林 吉林 132022)

板球系統作為一種典型的欠驅動控制系統，其研究成果可以推廣到諸如機器人控制、飛行器、衛星定位等科技領域.板球系統的研究涉及實驗平臺機械結構的設計[1]、動力學建模[2]、圖像識別[3]和軌跡跟蹤控制[4]等多方面課題，同時也被廣泛用于檢驗各類控制算法的優劣.由于板球系統的非線性特性影響系統的控制性能，一些學者研究時利用模糊控制算法無須考慮精確數學模型這一優點，結合相關算法設計出控制器，并完成軌跡跟蹤控制，但這些方法控制精度受到一定限制[5-6].在板球系統的實際控制中，攝像機測量小球位置信息的延時以及受到的未知擾動均會增加板球系統的控制難度.文獻[7～9]研究了基于計算機視覺的板球系統，其中文獻[9]結合LQR和模糊控制方法設計控制器，使系統具有較強的抗干擾性和魯棒性.為解決不確定擾動對板球系統的影響，董振曄[10]開展了基于自抗擾控制的研究，利用擴張狀態觀測器觀測出系統受到的未知擾動，然后進行補償，使控制精度達到較高的水平.上述文獻設計的控制器均有一定的抗干擾能力，但軌跡跟蹤精度有待提高.

板球系統在實際控制過程中往往會受到隨機干擾的影響，這些干擾會以不確定的方式對系統反饋的狀態變量造成影響.對于板球系統的軌跡跟蹤問題，通常要確保小球位置控制精度的條件下，最短的時間完成跟蹤任務.本文針對板球系統中存在的不確定因素以及受到的外界未知擾動影響小球位置輸出這一問題，引入二階指令濾波器，抑制模型自身擾動對小球狀態變量的影響.結合二階指令濾波器和板球系統組建復合系統模型，進而設計誤差反步控制規律，增強系統抵抗自身和外界干擾的能力.同時，能夠在較短的時間內實現高精準軌跡跟蹤控制.

1 板球系統建模

板球系統實物模型如圖1所示.

圖1 板球系統實物模型

(1)

式中，系數k=m/(m+Jb/r2).m，Jb，r,分別表示小球的質量、轉動慣量、半徑.g為重力加速度.X,Y軸受到的未知擾動分別是wx和wy.由于板球系統的對稱軸X,Y軸分別由兩個一樣的伺服電機控制，兩個方向的解耦、線性化關系是一樣的，故將板球系統分解為X軸和Y軸的兩個子系統.

(2)

2 控制器設計與穩定性分析

2.1 控制器設計

為了抑制板球系統自身擾動對系統輸出狀態變量的影響，引用二階指令濾波器濾除小球的位置狀態變量和速度狀態變量的噪聲干擾，以子系統X軸為例設計二階指令濾波器如式(3)所示[12].因板球系統X,Y軸對稱分布，故本文以板球系統X軸方向為例設計控制器，Y軸方向設計參考X軸.

(3)

其中，ξ為阻尼比；ωn為無阻尼自然頻率；y0x為板球系統X軸輸入信號.

結合式(2)X軸方向子系統和式(3)，組建帶有指令濾波的復合系統為：

(4)

結合式(4)定義系統誤差：

(5)

其中，e1為小球位置誤差；e2、e3、e4分別表示廣義上的小球速度誤差、平板轉角誤差和平板角速度誤差；α1、α2、α3為虛擬函數，在后面進行定義.

結合式(4)對式(5)中e1進行求導：

(6)

(7)

定義虛擬函數α1：

α1=-c1e1(c1>0),

(8)

代入式(7)得：

(9)

(10)

通過式(10)定義虛擬函數α2：

(11)

代入式(10)得：

(12)

(13)

通過式(13)定義虛擬函數α3：

(14)

代入式(14)得：

(15)

(16)

選取控制規律ux：

(17)

結合式(4)、(5)、(6)、(8)、(11)、(14),化簡式(17)可得：

f1=c1c2c3c4+c3c4,f2=c1+c2+c3+c4,f3=c12+c1c2+c1c3+c1c4,f4=c32+f1-c1c2-1,

f5=c1c2+c2c3+c1c3+c1c4+c2c4+c3c4,f6=c1c2c4+c1c3c4+c2c3c4+c1c2c3,f7=c1c2+c1+c2+1.

(18)

2.2 穩定性分析

(19)

則式(2)中的X軸子系統是漸進穩定的.

結合式(9)、(12)、(16)、(17)、(19)可知，

(20)

根據式(20)可知，板球系統X軸方向閉環控制系統是漸進穩定的.同理可證，板球系統Y軸方向閉環控制系統是漸進穩定的.

3 仿真結果分析

(21)

圖2和圖5分別是帶指令濾波的誤差反步控制和滑模控制下的軌跡跟蹤曲線.圖3和圖6分別是帶指令濾波的誤差反步控制和滑模控制X,Y軸跟蹤誤差.從圖中可以看出，帶指令濾波的誤差反步控制X,Y軸跟蹤誤差絕對值的平均值分別為0.56 mm和0.78 mm；滑模控制X,Y軸跟蹤誤差絕對值的平均值分別為2.6 mm和3.43 mm.圖4和圖7分別是帶指令濾波的誤差反步控制器和滑模控制器輸出曲線.仿真結果表明，帶指令濾波的誤差反步控制能夠在4 s左右穩定運行，有效地克服外界干擾，且軌跡跟蹤精度更高.

x1/m

t/s

t/s

x1/m

t/s

t/s

4 結 論

針對板球系統的軌跡跟蹤控制問題，研究了基于指令濾波的誤差反步控制方案.引入的二階指令濾波器有效地濾除噪聲干擾.同時，設計的誤差反步控制器具有較強的抑制外擾能力.仿真結果驗證該控制方案能夠在短時間內迅速跟上預定軌跡，穩定性更強、精確度更高.