基于魯棒二階隨機占優的投資組合優化模型研究

段倩倩, 彭 春, 李金林

(1.北京物資學院 物流學院,北京 101149; 2.北京理工大學 管理與經濟學院,北京 100081)

0 引言

投資組合優化問題一直是備受關注的熱點研究問題之一，被廣泛應用到不同的領域，如項目資源分配、金融產品投資。均值-方差模型描述了資產收益偏離其均值的程度，但并沒有定量地刻畫資產收益可能的損失，因此，隨機占優作為與均值-方差理論優勢互補的投資組合的評價工具，近年來越來越受到重視。本文利用隨機占優約束來度量和規避風險，且符合投資者的風險偏好，研究基于二階隨機占優的投資組合優化問題，具有十分重要的理論和實際意義。

在不確定決策中,隨機占優(Stochastic Dominance)理論，尤其二階隨機占優(Second-Order Stochastic Dominance, SSD)，一直都是重要的分析工具之一，它在金融學、經濟學、統計學和決策科學的相關研究中扮演了不可替代的角色。直到2003年，Dentcheva和Ruszczyński首次將隨機占優作為約束條件放到優化問題中，并假設隨機變量的離散概率分布已知，并將二階隨機占優約束優化問題轉化為線性規劃的等價模型[1]，這正式打開了隨機占優約束優化問題的研究之窗。同樣，假設隨機變量的離散概率分布已知，Luedtke[2]進一步得出隨機占優約束優化問題的新的等價問題。由于投資收益率高度不確定，在實際中也很難估計它的精確的概率分布。然而，目前絕大多數研究[1～3]均基于有限的投資收益率的歷史數據樣本(情景)和樣本均值估計方法，將問題轉化為線性規劃求解。但當選取的資產和歷史樣本的數量較大時，會導致較高的計算成本。

近年來，由于魯棒優化理論作為處理不確定性決策問題的有效工具不斷發展[4]，一些學者開始研究基于魯棒隨機占優的投資組合優化問題。然而，無論從理論方法還是實際應用層面，目前魯棒二階隨機占優相關的研究較少。Dentcheva和Ruszczyński[5]首次提出了魯棒二階隨機占優的概念，假設不確定參數的概率分布未知，且屬于某不確定集合，但沒有給出模型的數學等價形式和數值求解方法。Guo等[6]則利用離散近似的方法離散化基于矩信息的不確定集合，來估計分布式魯棒二階隨機占優問題，但當離散分布的樣本規模較大時，求解比較困難。與本文密切相關的是Sehgal和Mehra[7]，它研究魯棒二階隨機占優投資組合優化問題，但假設投資收益率不確定且屬于預算(budget)不確定集合，基于不同的實際數據集合進行分析。本文同樣研究基于魯棒二階占優的投資組合優化問題，考慮三類投資收益率的不確定集合，如箱式(box)，橢球(ellipsoid)和多面體(polyhedral)不確定集合，基于實際數據，對模型的最優性、魯棒性和二階隨機占優約束的可行性進行樣本內和樣本外的實證分析。盡管本文所采用的三類不確定集合下的魯棒優化理論的相關成果比較豐富，但將這些理論成果運用到含有魯棒二階隨機占優約束的優化模型，相關的研究非常少。因此，本文主要從優化建模和實證分析兩個角度，研究一類含有二階隨機占優約束的投資組合優化問題。

本文具體結構安排如下：第1章給出隨機占優理論和傳統二階隨機占優投資組合優化模型。第2章假設投資收益率不確定，且屬于不確定集合，提出了魯棒二階隨機占優優化模型。第3章基于實際股票市場數據，對不同歷史數據規模和不確定集合下的模型進行分析。最后第4章總結全文。

1 二階隨機占優投資組合優化模型

假設投資者計劃將一筆資金投資于N個不同的資產(如股票)。為了文中更清楚地表述，令i∈[N]表示資產的編號i=1,2,…,N。行向量r=[r1,r2,…,rN]表示股票1,2,…,N的投資收益率，列向量x=[x1,x2,…,xN]T表示投資每一個資產的權重。在這里假設xi≥0，例如對于股票，則賣空是不被允許的。若隨機變量X二階隨機占優Z，則可表示為X2Y，可進一步等價為E[(t-X)+]≤E[(t-Y)+],?t∈R。因此，根據文獻[1]，基于二階隨機占優的投資組合優化模型可進一步表示為有限的隨機規劃模型(1)：

maxE[rx]

s.t.E[(t-rx)+]≤E[(t-B)+],t=b1,…,bT,

(1)

x∈Z

maxθ

(2)

dtk≥0,x∈Z,?t∈[T],k∈[T]

2 魯棒二階隨機占優投資組合優化模型

在實際中，人們往往很難準確地獲取或者估計資產的投資收益率的精確概率分布，而且由于資產投資市場的高風險性，則資產的投資收益率也具有高度不確定性，波動往往較劇烈。因此，在第2章的基礎上，本章進一步假設投資收益率r不確定，且r屬于某一不確定集合R，即r∈R，但該不確定集合并不依賴r的概率分布信息。具體地說，本章將考慮三種經典的不確定集合(箱式、橢球和多面體不確定集合)，利用魯棒優化理論，推導出魯棒二階隨機占優投資組合優化模型的等價問題，使得可以直接采用目前的數學求解器(如CPLEX, GUROBI)非常有效地求解中小規模的問題。

考慮如下魯棒二階隨機占優投資組合優化模型(3):

s.t.E[(t-rx)+]≤E[(t-B)+],?r∈R;t=b1,…,bT

(3)

x∈Z

maxθ

下面的命題1，2和3則分別給出了箱式、橢球和多面體不確定集合下模型(4)的等價問題。

命題1如果給定不確定集合Ub={ξit‖ξit|≤Ψt,?t∈[T],i∈[N]}，其中Ψt為該不確定集合的不確定參數，控制不確定集合的大小，則上述模型(4)等價為如下線性規劃問題:

maxθ

dtk≥0,x∈Z,?t∈[T],k∈[T]

maxθ

dtk≥0,x∈Z,?∈[T],k∈[T]

maxθ

dtk≥0,x∈Z,?t∈[T],k∈[T]

根據魯棒優化理論，很容易得出，當Ψt=Ωt=Γt=0時，所有的三個模型均等價于名義模型(1)(如文獻[1～3]中的模型)，這個結論可以在后面算例分析中得到進一步驗證。另外，值得注意的是，基于本文中采用的三種不確定集合，不確定集合U還可以有多種不同的選擇組合，例如Ube=Ub∩Ue,Ubp=Ub∩Up,Upe=Up∩Ue,和Ubep=Ub∩Ue∩Up。這些不確定集合下的模型(4)均可以等價轉化為線性規劃或者二階錐規劃問題。

3 實證分析

本文采用S&P500股票市場的實際數據來進行分析。3.1節描述了數據選取和算例實驗分析的具體設置，3.2節則分析了不確定參數對最優投資組合的權重的影響，3.3節則給出了不確定參數對樣本內(in-sample)期望收益的影響分析，3.4節給出了不確定參數對樣本外(out-of-sample)期望收益的影響分析。

3.1 數據選取

在該部分中，選取S&P500市場自2004/11到2016/04的總共595周的股票收益率歷史數據[8]。數據選取的過程為：首先從442支股票中隨機選取5支股票。其次從該5支股票的595周歷史數據中隨機選擇某一個時間點M(例如第M周)，然后分別選取該時間點之前的連續12周，52周和104周的投資收益率作為訓練樣本集合(樣本內集合)，即T∈{12,52,104}。然后，選取該時間點后的連續52周的投資收益率作為測試樣本集合(樣本外集合)，即T∈{ 52}。最后，重復選取訓練樣本和測試樣本50次。所以，本章節的所有結果，均為基于50次獨立重復計算的平均數值。本文選取服從均勻分布的投資組合作為參考。此外，本文假設每一個歷史樣本發生的概率服從均勻分布。根據本文中所采用的三類不確定集合，考慮不確定參數Ψt,Ωt和Γt的取值來自[0,10]，且Ψt=Ψ,Ωt=Ω,Γt=Γ。因此，為了有效的保證二階隨機占優約束的可行性和最優性條件，在隨機占有約束右側添加一個非常小的松弛[3,6]。本文所有計算實驗代碼采用C編程并調用CPLEX，在128 GB RAM的windows系統的配置環境下求解。

3.2 最優投資組合的權重

本節主要分析不同不確定集合下，不確定參數對五支股票的最優投資組合的權重的影響。圖1以T=104為例，分別給出了箱式、橢球和多面體不確定集合下的最優投資組合的平均權重組成的彩虹圖，其中每一種顏色所構成的區域的寬度表示一種股票的權重。令從上往下的顏色區域依次代表股票#1(灰色), #2(綠色), #3(紅色), #4(黃色)和#5(藍色)。從圖中可以看出，當不確定參數為0時，三個不確定集合下的模型的平均投資組合的權重比例相同，這是因為此時三個模型均等價于名義模型。另外，對于不同不確定集合，整體上說，#2和#4股票在最優投資組合中所占比重較大，#3和#5股票則較小，這是由于#2和#4股票的平均投資收益率較高，#3和#5股票的平均投資收益率較小的緣故。但是，隨著不確定參數繼續增加，#2和#4股票在最優投資組合中所占比重逐漸降低，而#3和#5股票所占的比重則逐步增加的趨勢。當不確定參數的值增加到一定程度，各個股票在最優投資組合中所占的比重趨于均勻分布(均勻分布的投資組合的參考目標收益)。對于三個不確定集合，趨于均勻分布的最優投資組合的速度明顯不同。綜上，這都在一定程度上說明不確定集合的選擇和不確定參數的取值對投資組合的權重有重要的影響。

3.3 不確定參數對樣本內期望收益的影響

本節主要討論在不同樣本內(訓練樣本)規模下期望收益的魯棒性分析。具體地，圖2給出了不同不確定集合和不同訓練樣本規模下的期望收益與不確定參數之間的變化情況。從圖2中可以看出，(i)對于給定的不確定集合和樣本規模，當不確定參數較小時，樣本內期望收益之間的差距較小，隨著不確定參數增加，樣本內期望收益之間的差距變大；(ii)隨著不確定參數增加，樣本內的期望收益逐漸降低，這是因為不確定性逐漸增加，模型越保守，這也在一定程度上說明在距離選擇的時間點越近(最近的歷史數據，例如T=12周)，得出的最優投資策略效果最好，期望收益較高；(iii)另外，對于給定T(如T=52)和不確定參數的取值，多面體、橢球和箱式不確定集合下的期望收益逐漸降低，這也進一步驗證了在相同的不確定參數取值下，三種不確定集合下魯棒模型的保守程度依次為，多面體集合<橢球不確定集合<箱式不確定集合。

3.4 不確定參數對樣本外期望收益的影響

本節對其它指標與三種不確定集合、不同樣本規模、不確定參數的取值進行分析。樣本外期望收益E[Rx]是通過訓練樣本下的最優投資組合權重xin與測試樣本(T′=52周)的投資收益率rout計算出來的，其中Rx=xinrout。因此，圖4還計算了樣本外夏普比率(Sharp ratio, SR)，即SR=E[Rx]/σRx，其中σRx為Rx的標準差。SR來衡量資產收益對投資者所承擔風險的補償程度。此外，引進一個新的指標，隨機占優約束的“違反區域”(violation area in SSD, VAS)[9]，它定量刻畫了樣本外二階隨機占優約束被違反的程度。VAS的值越大，二階隨機占優約束的違反程度越大，即樣本外測試下隨機占優約束不被滿足的概率越大。

圖3給出了三種不確定集合和三個訓練樣本規模下的樣本外期望收益與不確定參數之間的變化關系。圖4則以T=104為例，描述了樣本外VAS和SR隨不確定參數變化的關系。從圖3和圖4中可以觀察到，(i)無論哪一個不確定集合，樣本規模越小，樣本外的期望收益越高。因此，與圖2樣本內魯棒性分析相比，圖3中的曲線并沒有呈現有規律的變化趨勢。(ii)從整體上說，除了橢球不確定集合下T=104外，其它訓練樣本規模下的樣本外期望收益均高于樣本外的參考目標收益，這是由于T=104下的訓練樣本主要集中在2009～2010年左右，正好處于全球次貸金融海嘯的影響中。這在一定程度上說明，魯棒二階隨機占優模型可以取得較好的樣本外期望收益，同時保證了測試樣本下魯棒二階隨機占優約束的可行性。(iii)隨著不確定參數增加，樣本外SR增加，投資組合的“性價比”逐漸提高。在相同不確定參數取值下，多面體集合下的SR最高，橢球集合次之，箱式集合最小，樣本外VAS則正好相反，這是因為三個不確定集合下魯棒模型的保守程度不同。此外，隨著不確定參數取值增加，樣本外VAS逐漸減小，這說明在測試樣本(樣本外)下，魯棒二階隨機占優約束仍然可行成立的概率越高，這與(ii)一致。

4 結論

本文主要考慮一類經典的含有二階隨機占優約束的投資組合優化問題，其目標為最大化期望收益。與均值-方差模型不同，本文利用二階隨機占優約束來度量風險，滿足期望收益二階隨機占優給定的參考目標收益。與傳統的二階隨機占優模型不同，本文考慮不確定的投資收益率，且屬于某一不確定集合，建立魯棒二階隨機占優模型。盡管本文所考慮的三個不確定集合下的魯棒優化理論相關的成果較豐富，但對含有魯棒二階隨機占優約束的優化問題，相關的研究很少。在優化建模方面，考慮三種不確定集合(箱式、橢球和多面體)，利用魯棒優化理論，將魯棒二階隨機占優模型轉化為線性規劃和二階錐規劃；在實證分析方面，基于S&P 500股票市場實際的投資收益率的歷史數據，對不同歷史樣本數據規模下的三個魯棒二階隨機占優模型進行實證分析，特別是樣本內和樣本外不確定參數對期望收益的影響分析。本文的結果表明，不確定集合的選擇和不確定參數的取值對投資組合的選擇有重要的影響。在相同不確定參數下，多面體不確定集合下的模型取得較好的績效，在保證最優性和魯棒性的前提下，也保證了樣本外測試下二階隨機占優約束成立的可行性。最后，在對三種不確定集下的魯棒二階隨機占優模型的比較分析過程中，如何盡可能消除不確定參數Ψ,Ω,Γ對模型結果的分析過程中帶來的影響，這是未來仍需要進一步研究的課題。