石英晶體板非線性高頻振動的拓展伽遼金法分析

吳榮興，王曉明，張青艷，王 驥

(1.寧波職業(yè)技術學院應用力學研究所，寧波 315800；2.寧波大學機械與力學學院,寧波 315211)

0 引 言

隨著現(xiàn)代電子行業(yè)和物聯(lián)網技術的不斷發(fā)展，石英晶體諧振器作為穩(wěn)定頻率和選擇頻率的關鍵元件，在通信、醫(yī)療傳感、航天航空、工程檢測等領域有著廣泛的應用[1-4]。石英晶體諧振器高頻振動分析的方法有Mindlin、Lee和Peach等提出的各種板理論和基于這些理論的有限元分析[5-8]。在石英晶片的小變形和不考慮高階材料常數的情況下，Mindlin等[5]板理論將位移展開為厚度坐標的冪級數從而將三維彈性問題轉化為二維問題。隨著電子元器件尺寸的不斷微型化和工作頻率的不斷提高，尺寸效應和高階材料常數的影響也逐漸體現(xiàn)[9-10]。

Tiersten等[11-12]首先建立了考慮材料非線性的壓電板高頻振動方程，并引入了高階材料常數和偏場效應，用攝動法等解析法對簡化后的方程進行了求解。Yang等[13]建立了考慮大變形情況下石英晶體諧振器的非線性高頻振動方程，并用伽遼金法和攝動法等對非線性方程進行了求解。Abe等[14]分別利用Mindlin板理論和有限元法對壓電晶體板的非線性高頻振動進行了分析。Wu等[15-17]建立了考慮幾何和材料非線性的石英晶體板的高頻振動方程，但是僅對單一厚度剪切振動方程進行了求解。Wang等提出了擴展伽遼金法(extended Galerkin method, EGM)和擴展瑞利-里茲法(extended Rayleigh-Ritz method, ERRM)，其主要思路就是對非線性方程在時間上取一個振動周期的平均，從而將微分方程化為代數方程，根據非線性問題的周期平均特性實現(xiàn)近似和相應的簡化[18-21]。在此基礎上，本文利用擴展伽遼金法對石英晶體板非線性高頻振動方程組進行了轉化和求解。

1 非線性方程求解

隨著壓電聲波器件尺寸的微型化和振動頻率的高頻化，高階材料常數和幾何大變形對壓電聲波器件振動特性的影響也越來越明顯[10,14]。Wu等[15-17]建立了考慮幾何和材料非線性的石英晶體板的厚度剪切振動模態(tài)和彎曲振動模態(tài)的控制方程，具體表達式如下:

(1)

和

(2)

Wu等[15-17]建立的石英晶體板高頻振動非線性方程組不僅考慮了幾何和材料非線性，而且考慮了電場的影響，無法直接求解。Wang和Wu等利用傳統(tǒng)的伽遼金法對單一厚度剪切振動的非線性振動方程式(2)進行轉化，接著分別利用攝動法和同倫分析法等對該非線性方程進行了求解[15-17]。對于強烈耦合的非線性方程組式(1)和式(2)，Wang等利用逐次逼近法對方程進行了求解，獲得的結果不是特別理想[15-17]。本文希望用拓展伽遼金法對強烈耦合的石英晶體板高頻振動方程組進行聯(lián)合求解。

可以定義兩個殘差為:

(3)

和

(4)

傳統(tǒng)的伽遼金法利用線性解的正交性將非線性偏微分方程轉化為時間變量的常微分方程[24]，Wang等提出的拓展伽遼金法在平衡方程的加權函數中添加簡諧函數并對一定周期內進行積分，可以得到振動特性的代數方程[18-21]。具體表達式如下[18-21]:

(5)

式中:a和T分別為石英晶體板的半板長和一個周期。

根據石英晶體諧振器的位移和電勢的直峰波假設[13]，可以假設:

(6)

式中:A(B)、m(n)、ω和V分別是兩個模態(tài)的振幅、波數、振動頻率和石英晶體諧振器的驅動電壓。根據Wang等石英晶片的最佳長厚比尺寸選取，這里可以設定兩個模態(tài)的波數為m=14,n=1。

基于位移假設，重寫式(5)為：

(7)

拓展伽遼金法可以提供對不同周期的時間函數積分，得到低階和高階的頻幅關系，并通過振幅迭代獲得更為精確的位移解和頻率表達式[19]。

將位移表達式(6)代入殘差表達式(3)和式(4)，最后代入式(7)，可以得到:

(8)

和

(9)

式中：

(10)

重寫式(8)和式(9)，可以得到：

(11)

和

(12)

2 數值算例

式(11)和式(12)就是考慮幾何和材料非線性的石英晶體板的厚度剪切振動模態(tài)和彎曲振動模態(tài)強烈耦合的頻率響應方程組。為了避免兩種模態(tài)的強烈耦合，選取最佳尺寸為b=0.827 3 mm,a=21.2b。為了計算簡單，定義歸一化振動頻率為Z=ω/ωTSh0。根據石英晶體材料常數和選取的石英晶片尺寸，通過Matlab程序對式(11)和式(12)進行數值求解，分別繪制彎曲振動模態(tài)和厚度剪切振動模態(tài)的頻率響應關系如圖2和圖3所示。

圖2和圖3都表明厚度剪切振動模態(tài)和彎曲振動模態(tài)的位移均為納米級別，這與試驗觀測到的結果一致[3]。圖2表明隨著歸一化振動頻率Z的增加，彎曲振動模態(tài)方程首先觀察到彎曲振動模態(tài)達到諧振狀態(tài)，在歸一化振動頻率1附近，可以觀察到厚度剪切振動模態(tài)的諧振狀態(tài)。圖3表明厚度剪切振動模態(tài)在歸一化振動頻率1附近達到諧振狀態(tài)，沒有觀察到彎曲振動模態(tài)的諧振，主要原因是彎曲振動的振幅相對于厚度剪切振動的振幅較小，大約為厚度剪切振動模態(tài)振幅的量級，因此觀察不到該振動的諧振[15-17]。

可以對式(12)進行改寫，省略純彎曲振動模態(tài)的部分且保留耦合部分可以得到[15-17]：

(13)

式中：P1=D3+αD4+α2D5+α3D6，α=A/B為新定義的振幅比。

根據Yang提出的電位移近似理論[25]，流經石英晶體板上下電極的單位面積的電流可以表示為:

I=e26BωTSh0

(14)

根據式(14)，可以得到:

(15)

這樣就獲得了石英晶體板厚度剪切振動模態(tài)的頻率響應方程。可以進一步繪制不同振幅比和不同驅動電壓情況下的頻率響應曲線如圖4和圖5所示。這里需要指出的是圖4和圖5的橫坐標為厚度剪切振動模態(tài)基頻的百萬分之一(parts per million)，因此沒有單位[15-17]。

圖4為不同振幅比情況的石英晶體板非線性厚度剪切振動模態(tài)的頻率響應曲線，其驅動電壓V為1 V。圖4表明隨著振幅比α的增加，頻率響應曲線整體向右彎，出現(xiàn)了硬彈簧特性的趨勢[13,15-17]。因此在實際石英晶體諧振器高頻振動分析過程中，必須考慮彎曲振動模態(tài)的耦合，也就是利用Wang等提出的最佳長厚比尺寸來避免兩種模態(tài)的強烈耦合[22-23]。這里的結果表明過去對石英晶體板單一厚度剪切振動的求解存在一定缺陷，因為彎曲振動模態(tài)的振幅對厚度剪切振動的影響非常明顯，只有利用拓展伽遼金法對石英晶體板高頻振動非線性方程組進行聯(lián)合求解才能獲得精確的振動特性分析[13,15-17]。

圖5為不同驅動電壓下石英晶體板厚度剪切振動模態(tài)的頻率響應曲線，其振幅比為α=0.02。表明隨著驅動電壓的增加，石英晶體諧振器的頻率漂移也將更加明顯，也就是石英晶體諧振器的激勵電平效應開始出現(xiàn)[14]。例如當I=100 A/m2時，各驅動電壓之間的頻率漂移普遍在30×10-6左右，實際壓電諧振器的允許頻率漂移值一般在10×10-6以內[15-17]。因此在石英晶體諧振器的實際使用過程中，必須對驅動電壓進行精確控制。

3 結 論

利用擴展伽遼金法對考慮幾何和材料非線性的石英晶體板厚度剪切振動和彎曲振動的方程組進行了轉化和求解，分別獲得了強烈耦合的彎曲振動模態(tài)和厚度剪切振動模態(tài)的頻率響應關系，繪制了不同振幅比和不同驅動電壓影響下的頻率響應曲線圖。數值計算結果表明，當選取石英晶片的最佳長厚比尺寸時，厚度剪切振動模態(tài)是石英晶體諧振器的主要模態(tài)，而彎曲振動模態(tài)的耦合較小。當選取其他不同石英晶片的長厚比尺寸時，振幅比的影響將較為明顯。同時發(fā)現(xiàn)不同驅動電壓對石英晶體諧振器厚度剪切振動的振動頻率影響極為明顯，頻率漂移值超出了壓電聲波器件的允許值。這里得到的結果可以部分解釋石英晶體諧振器的激勵電平效應，在實際石英晶體諧振器的工作過程中，必須保持驅動電壓的穩(wěn)定性。