基于多項式正態變換和擬蒙特卡洛法的概率潮流計算

傅 明，童 超，單松興，皮香香，楊 柳

（1.南方電網電力科技股份有限公司，廣東 廣州 510000；2.國網江西省電力有限公司電力科學研究院，江西 南昌 330096；3.國網江西省電力有限公司樟樹市供電分公司，江西 樟樹331200；4.國網江西省電力有限公司高安市供電分公司，江西 高安 330800；5.南昌科晨電力試驗研究有限公司，江西 南昌 330096）

0 引言

風電出力具有強烈的波動性和不確定性，大規模風電并網將給電網的安全運行帶來嚴峻挑戰[1-2]。然而，確定性的潮流計算（Deterministic Power Flow，DPF）無法考慮風電出力的概率不確定性。概率潮流計算（Probabilistic Power Flow，PPF）將電網中的隨機變量（如風電出力、負荷等）逐組代入確定性潮流計算模型，以獲得潮流結果的矩信息、頻率直方圖和概率密度函數等，能夠全面揭示隨機變量對電網運行的影響。因此，研究PPF計算極具現實意義。

建立精確的輸入隨機變量概率模型是保證概率潮流計算準確性的關鍵。電網中的隨機變量（如風電出力、負荷等）受到氣象因素、地理環境等多種復雜因素影響，這些變量可能服從任意概率分布且分布間存在相關性[3]。然而，目前電網中隨機變量常假設為常規概率分布，例如負荷一般當成正態分布[4-6]，風速往往用Weibull分布來模擬[7-9]；同時，利用NATAF變換建立概率分布間的相關關系。在少量運行場景中，上述建模方法可能具備一定的有效性。但實際電網中風速和負荷并不一定服從常規分布，而極有可能服從不規則分布。那么，基于常規分布的概率模型將致使PPF產生巨大誤差。

多項式正態變換技術基于隨機變量的歷史數據建模，其具備處理隨機變量服從任意分布且分布間存在相關性的能力[9]。九階多項正態變換（Ninth-order Polynomial Normal Transformation，NPNT）能夠計及隨機變量前九階矩信息，其所建立的概率模型具備精度高和適應性強等特點[10]。因此，文中將NPNT引入PPF計算中，用其建立輸入概率模型。

建立輸入概率模型是PPF的第一步，第二步則是利用概率分析方法在DPF中傳遞概率信息，并獲取PPF結果。通常，PPF可以分為解析法、近似法和蒙特卡洛仿真法（Monte Carlo Simulation，MCS）[11-14]。解析法計算效率高，但計算精度難以令人滿意[15]。近似法能較好平衡PPF計算速度和精度之間的矛盾，但其無法直接獲得PPF結果的概率密度函數，導致難以對PPF計算結果深入分析[16]。MCS計算精確度高，但其極其耗時[14-16]。

擬蒙特卡羅方法（Quasi Monte Carlo，QMC）[10]不但能夠兼顧計算精度和計算速度，而且具備輸出PPF結果矩信息、頻率直方圖以及概率密度函數的能力。因此，文中將NPNT與QMC相結合，提出一種基于NPNT和QMC的概率潮流算法。該方法直接利用電網中隨機變量（如風電出力）的歷史數據建立概率模型，不依賴于任何人工經驗及假設，進而精準模擬隨機變量服從任意分布且分布間存在相關性的場景。通過與QMC相結合，所提概率潮流算法能夠平衡好概率潮流計算速度和計算精度之間的矛盾，具有良好的工程實用價值。

1 概率潮流計算模型

DPF模型可以看成一個多輸入多輸出的隱函數：

式中：PG表示傳統電源的出力；PRG表示風電出力；PLG表示負荷的值；Z表示系統的拓撲參數；V和δ表示系統的電壓和功角；Pline代表線路潮流。

在DPF模型中將負荷和風電出力看成是確定性的數值，顯然這無法全面反應風電和負荷的隨機性對電網的影響。如果風電、負荷等輸入變量當成是隨機變量，那么該問題就變成概率潮流計算問題。

2 九階多項式正態變換技術

隨機變量（如風速、負荷等）受到多種因素影響，其可能不服從常規概率分布。同時，相鄰地區隨機變量間的相關性也不能忽視。因此，文中將引入NPNT技術處理上述問題。

2.1 NPNT中多項式系數的估計

多項式正態變換的核心思想是利用標準正態變量的多項式運算模擬服從任意分布的隨機變量。九階多項式可以表示為[10]：

式中：x0表示實際電網中的連續型隨機變量（如風速）；μx和σx分別表示輸入隨機變量x0的均值和標準差；x表示經標準化處理后的隨機變量；z表示服從標準正態分布的隨機變量；ak（k=0、1、2、…、9）為待評估的多項式系數。若能夠計算出ak（k=0、1、2、…、9），那么就能通過標準正態分布模擬服從任意分布的隨機變量。

數據矩通常被用于表征數據的概率特征，可以通過計算變量歷史數據的數據矩估計出多項式系數。文中采用概率權重矩刻畫電網中歷史數據的概率特征，其計算方法如下[17]：對隨機變量歷史數據進行大小排序x1≤xi≤xn，進而可以推出概率權重矩計算公式。

基于公式（4）和（5）可以求出九階多項式的系數。

式中：Φ(z)和φ(z)表示標準正態分布的累積概率分布函數和概率密度函數。…、9）表示常數值，其可以由數值積分求得。注意，公式（5）是一個線性化的公式，因此九階多項式的系數能夠快速求得。

2.2 相關系數的估計

電網中相鄰地區的隨機變量之間具有一定的相關性，例如相鄰風電場出力具有相關性。因此，概率模型不但要考慮電網中隨機源的不確定性，也必須考慮隨機源之間的相關性。假設x1、x2是兩個服從任意分布且經標準化的隨機變量，那么其可以表示為

隨機變量z1、z2（服從標準正態分布）之間的相關系數ρz與隨機變量x1、x2（服從任意分布）之間的相關系數ρx的函數關系可以表示為：

式中：μ1、μ2和σ1、σ2分別表示x1、x2的均值和標準差。表示關于ρz的多項式，詳細公式見文獻[10]。

一般地，能通過歷史數據估計出隨機變量x1、x2之間的相關系數ρx，那么采用二分法能夠由公式（7）求得隨機變量z1、z2之間的相關系數ρz。

3 擬蒙特卡洛法

基于NPNT建立輸入概率模型是概率潮流計算的第一步，第二步則是利用概率分析方法在確定性潮流計算模型中傳遞概率信息，以獲得電網概率分析結果。

Halton序列是擬蒙特卡洛法中最常用的低差異序列，其生成的隨機樣本點能夠更加均勻地覆蓋隨機空間。相比蒙特卡洛仿真法，QMC能夠以更少的樣本點獲取更多的概率信息，進而極大地提高概率潮流分析的效率。Halton序列的生成方法如下[10]：

設R為任意質數，則任意自然數s都存在唯一的R進制表示：

式中：對于任意整數s>0，ψR(s)∈[0,1]。

那么，{ }ψR1(s),ψR2(s),ψR3(s),…,ψRn(s)就 是Haltom序列，其中n表示數列的維數。基于Haltom序列能夠在均勻分布或者標準高斯分布上生成樣本點集。

4 概率潮流計算的步驟

基于NPNT和QMC的概率潮流算法計算步驟如下：

步驟1：收集電網中隨機變量（風電出力、負荷等）的歷史數據；

步驟2：估計出隨機變量對應的多項式系數，并利用九階多項式表示隨機變量

步驟3：計算電網中隨機變量歷史數據的相關系數矩陣，并定義為

步驟4：計算原始隨機變量對應標準正態分布空間的相關系數矩陣

步驟5：利用QMC法生成n_sample組服從標準正態分布且相互獨立的隨機數，其中n_sample表示電網中隨機變量的個數；

步驟6：基于QMC生成的隨機數生成相關系數為RZ的多維標準正態分布變量矩陣Z；

步驟7：將含相關性的多維正態分布變量Z代入對應的九階多項式以獲得具有相關性且標準化的任意分布隨機變量；

步驟8：將標準化的數據去標準化，即得到具有相關性且服從任意分布的隨機變量；

步驟9：將上述變量逐組輸入確定性的潮流計算模型，并反復進行潮流計算；

步驟10：輸出概率潮流計算結果，包括電網電壓、功角以及支路潮流的矩信息、頻率直方圖和概率密度函數等。

基于NPNT和QMC的概率潮流算法的優勢有：第一，NPNT直接基于歷史數據建立概率模型，能夠避免人工經驗的主觀性對建模準確度的影響，所建立的概率模型更加貼合實際；第二，NPNT能夠獲取變量歷史數據的前九階矩信息，其能夠精準模擬隨機變量的概率特征；第三，QMC算法在保證計算精度的前提下，能夠大幅提升概率潮流的計算效率；第四，所提算法能夠輸出計算結果的矩信息、頻率直方圖等，方便電網規劃運行人員全面準確地識別電網風險。

5 仿真測試

應用IEEE118節點[17]系統驗證文中所提概率潮流算法的有效性。七個風電場（包括WF1、WF2、WF3、WF4、WF5、WF6和WF7）通過母線35、36、43、44、45、46和90接入系統。測試系統中風電場風速數據來源于風電場測風記錄[18]。假設風電場WF1、WF2、WF3、WF4、WF5、WF6、WF7風速之間的相關系數0.3。

5.1 NPNT有效性評估

采用頻率直方圖相似度指標（Frequency Histogram Similarity Index，FHSI）衡量兩個頻率直方圖的重疊程度[18]，其定義為：

表1中給出了由NPNT、Gaussian和Weibull分布所得到頻率直方圖相似度指標FHSI。Gaussian和Weibull分布的FHSI的平均值分別為78.45%和82.85%。NPNT的FHSI的平均值為93.92%。事實上，NPNT的大部分FHSI指標均高于93.5%。這說明，基于NPNT的概率建模方法是準確的。因此，在概率潮流分析中NPNT將用于建立輸入概率模型。

表1 NPNT、Gaussian、Weibull分布的FHSI值 %

5.2 概率潮流算法性能評估

為了驗證文中所提概率潮流算法的有效性，運用基于NPNT的MCS仿真法作為參考結果，其在輸入概率模型中選取50 000個樣本點。為了說明不準確的概率建模將影響概率潮流計算結果，利用Weibull分布直接擬合風速數據、運用Gaussian分布擬合負荷數據，同時基于QMC法進行概率信息傳遞組成一種新的概率潮流算法。因此，將有如下算法參與計算，并進行性能對比：

1）參考算法：將NPNT和MCS仿真法相結合的概率潮流算法，簡稱NPNT-MCS；

2）文中所提算法：基于NPNT和QMC的概率潮流算法，簡稱NPNT-QMC；

3）對比方法：基于常規分布（Common Distributions）和QMC仿真法組成的概率潮流算法，簡稱CDQMC。

表2和表3給出了交流系統電壓均值和標準差的相對誤差。文中所提算法交流電壓均值的相對誤差均小于0.7%，電壓標準差的相對誤差均小于2.5%，具有良好的計算精度。上述計算結果充分說明了文中所提算法的有效性。

表2 交流母線電壓均值相對誤差 %

表3 交流母線電壓標準差相對誤差 %

表4給出了參考算法、NPNT-QMC和CD-QMC的計算時間分別為11 132.75 s、100.26 s、99.06 s。與參考算法對比，文中所提算法能夠極大地降低概率潮流分析的計算負擔，同時保持令人滿意的計算精度。與對比算法CD-QMC相比，概率潮流分析所需時間相近，但是文中所提算法能夠極大地提高概率分析精度。因此，文中所提算法能夠在概率潮流計算速度和計算精度中達到較好地平衡。

表4 計算時間對比

6 結語

針對現有大多概率潮流算法假設電網中隨機變量為常規概率分布的問題，文中提出了一種基于NPNT和QMC的概率潮流算法。該算法不但能夠處理電網中隨機變量服從任意分布且分布間存在相關性的問題，而且能夠較好地平衡好概率潮流分析中計算速度和精度之間的矛盾。此外，所提算法能夠獲得概率潮流計算結果的矩信息、頻率直方圖和PDF信息，以便電網運行規劃人員深入分析計算結果。