基于ESO的起重機(jī)剛架結(jié)構(gòu)離散拓?fù)鋬?yōu)化研究

張氫，顏廷鵬，霍佳雨，孫遠(yuǎn)韜，秦仙蓉

（同濟(jì)大學(xué)機(jī)械與能源工程學(xué)院，上海 201804）

隨著超巴拿馬型集裝箱運(yùn)輸船舶的發(fā)展，集裝箱運(yùn)輸船舶的寬度急劇增加，3E+型超大型岸邊集裝箱起重機(jī)（岸橋）也被開發(fā)出來。新型岸橋朝著超大型、高速和智能化方向發(fā)展，對金屬結(jié)構(gòu)的輕量化提出了迫切要求。金屬結(jié)構(gòu)作為岸橋的主要承力部件，其合理布局方式是首要關(guān)鍵。岸橋的開發(fā)階段傳統(tǒng)上采用類比法設(shè)計(jì)，依賴于工程師的工程經(jīng)驗(yàn)，新機(jī)型的總體設(shè)計(jì)方案很多是直接沿用現(xiàn)有機(jī)型，在總體布局上還缺乏創(chuàng)新。

離散體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化的研究對象主要是剛架、桁架結(jié)構(gòu)，對于岸橋、起重機(jī)等的金屬結(jié)構(gòu)優(yōu)化有著較好的應(yīng)用前景。陶義等［1］基于仿生設(shè)計(jì)的思想，以塔式起重機(jī)臂架為優(yōu)化對象，以王蓮葉脈為仿生原型對象，基于模糊相似理論對比了塔式起重機(jī)臂架同王蓮葉脈的相似度，分析總結(jié)了王蓮葉脈生長的拓?fù)錁?gòu)型規(guī)律，提出了一種新型的塔式起重機(jī)臂架設(shè)計(jì)方案，改變臂架腹桿的布置方式，減少了臂架腹桿的數(shù)量，同時(shí)減少了制造過程中的焊接次數(shù)。焦洪宇等［2］針對塔式起重機(jī)臂架采用連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化和骨架提取的桁架結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法進(jìn)行腹桿布局優(yōu)化。劉煒等［3］采用ANSYS軟件集成的變密度法連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化技術(shù)對岸橋門框斜撐進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，以抗風(fēng)振要求作為主要設(shè)計(jì)條件，得到了3種斜撐的布置方案。李旲等［4］結(jié)合模糊推理和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，根據(jù)已有桁架結(jié)構(gòu)的構(gòu)成機(jī)理，對桁架拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)進(jìn)行抽象化數(shù)字提取，并依此推導(dǎo)出新的桁架結(jié)構(gòu)基結(jié)構(gòu)形式，以桁架結(jié)構(gòu)重量為優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，建立了桁架結(jié)構(gòu)智能布局優(yōu)化系統(tǒng)。劉紅艷等［5］基于擬滿應(yīng)力的思想，提出了一種改進(jìn)的遺傳算法，對結(jié)構(gòu)中的桿件編碼，并應(yīng)用遺傳算法求解了剛架結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化問題，在此基礎(chǔ)上應(yīng)用擬滿應(yīng)力算法實(shí)現(xiàn)截面尺寸優(yōu)化，改進(jìn)算法搜索方向更加明確，計(jì)算速度更快。

在岸橋結(jié)構(gòu)中，采用離散體拓?fù)鋬?yōu)化技術(shù)進(jìn)行門框斜撐布局的研究較少。本文首先基于漸進(jìn)結(jié)構(gòu)優(yōu)化思想［6］，以結(jié)構(gòu)應(yīng)變能為優(yōu)化目標(biāo)，將傳統(tǒng)連續(xù)體單元的自變量的連續(xù)變化，離散化為給定設(shè)計(jì)域內(nèi)基結(jié)構(gòu)的桿件的增刪，研究對于基結(jié)構(gòu)進(jìn)行離散單元退化操作（單向刪減）實(shí)現(xiàn)給定剛架結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化的算法；然后應(yīng)用離散單元退化策略（單向刪減）實(shí)現(xiàn)給定參數(shù)岸橋的門框基結(jié)構(gòu)斜撐拓?fù)鋬?yōu)化，實(shí)現(xiàn)斜撐的合理布局。

1 基于ESO的拓?fù)鋬?yōu)化數(shù)學(xué)模型

將基于漸進(jìn)結(jié)構(gòu)優(yōu)化（ESO）算法的離散體拓?fù)鋬?yōu)化應(yīng)用到岸橋中，考慮優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)與變量靈敏度的定義。采用結(jié)構(gòu)剛度為優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)可以滿足岸橋使用過程中的變形不超過設(shè)定值，在大跨度岸橋結(jié)構(gòu)優(yōu)化應(yīng)用中是主要控制指標(biāo)。ESO拓?fù)鋬?yōu)化過程中的設(shè)計(jì)量刪減與單元靈敏度有關(guān)，本文應(yīng)用差分法定義離散變量的靈敏度。

1.1 體積約束下的結(jié)構(gòu)剛度優(yōu)化模型

岸橋工作時(shí)，按照金屬結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范，不希望發(fā)生較大變形。剛度表征是結(jié)構(gòu)抵抗外力變形的能力。工程中結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)經(jīng)常選擇結(jié)構(gòu)的剛度作為優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)。結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能是外力作用在結(jié)構(gòu)上所做的功，結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能和結(jié)構(gòu)的剛度呈倒數(shù)關(guān)系。結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能越小，結(jié)構(gòu)在外力作用下的變形越小，結(jié)構(gòu)的剛度越強(qiáng)。針對結(jié)構(gòu)剛度拓?fù)鋬?yōu)化問題，以保留結(jié)構(gòu)體積為約束條件，結(jié)構(gòu)的剛度最大，即結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能最小為目標(biāo)函數(shù)，提出了剛度拓?fù)鋬?yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型：

式中：｛P｝為作用在結(jié)構(gòu)上的載荷列陣向量；｛U｝為節(jié)點(diǎn)的位移列陣向量；c（｛x｝）為結(jié)構(gòu)的整體應(yīng)變能；Vi為第i個(gè)單元的體積；V0為結(jié)構(gòu)的初始體積；β為結(jié)構(gòu)約束的體積分?jǐn)?shù)；xi為第i個(gè)單元設(shè)計(jì)變量的取值，xi=0為第i個(gè)單元?jiǎng)h除，xi=1為第i個(gè)單元保留。

1.2 離散單元靈敏度的計(jì)算

離散拓?fù)鋬?yōu)化無法做到像連續(xù)體那樣通過對設(shè)計(jì)變量求導(dǎo)單元對結(jié)構(gòu)剛度的靈敏度值，但可以利用差分法求得，整體應(yīng)變能如下：

在有限元分析中，結(jié)構(gòu)的靜態(tài)特性如下：

保證載荷向量列陣不變，對結(jié)構(gòu)單元進(jìn)行增刪操作：

式中：[]為對第i號(hào)單元擴(kuò)維了的剛度矩陣；Δ｛U｝為整體結(jié)構(gòu)位移列陣的變化量。

將式（4）減去式（3）并略去高階無窮小量，得

將式（5）代入式（2）得

式中：［Ki］為第i號(hào)單元的剛度矩陣；｛ui｝為第i號(hào)單元的位移向量。

第i號(hào)單元對于應(yīng)變能的靈敏度為

目標(biāo)函數(shù)是結(jié)構(gòu)應(yīng)變能，要求應(yīng)變能要小，所以在進(jìn)行單元增刪操作時(shí)，單元對于結(jié)構(gòu)剛度變化的靈敏度成為考量的重要指標(biāo)。

2 應(yīng)用于岸橋的離散體拓?fù)鋬?yōu)化策略

2.1 基于ESO離散體拓?fù)鋬?yōu)化

給定的設(shè)計(jì)域基結(jié)構(gòu)如圖1所示，有如下參數(shù)：初始節(jié)點(diǎn)、成長節(jié)點(diǎn)、進(jìn)化桿件、待進(jìn)化桿件、退化桿件、待退化桿件。

圖1 節(jié)點(diǎn)類型Fig.1 Schematic diagram of node type

結(jié)構(gòu)中的節(jié)點(diǎn)按照所處位置的不同，可分為角節(jié)點(diǎn)、邊節(jié)點(diǎn)和自由節(jié)點(diǎn)。圖1中：A節(jié)點(diǎn)為角節(jié)點(diǎn)，只有一個(gè)待進(jìn)化桿件與之相連；B節(jié)點(diǎn)為邊節(jié)點(diǎn)，有3個(gè)待進(jìn)化桿件與之相連；C節(jié)點(diǎn)為自由節(jié)點(diǎn)，有8個(gè)待進(jìn)化桿件與之相連。節(jié)點(diǎn)在結(jié)構(gòu)中所處的位置的不同，當(dāng)該節(jié)點(diǎn)被選中成為成長節(jié)點(diǎn)時(shí)，同節(jié)點(diǎn)相連的待進(jìn)化桿件數(shù)目也不同，待進(jìn)化的桿件的數(shù)目越多，當(dāng)前迭代步中，結(jié)構(gòu)進(jìn)化方向的可能性就越多，當(dāng)前迭代步的搜索能力越強(qiáng)。結(jié)構(gòu)中的成長節(jié)點(diǎn)數(shù)量會(huì)隨著優(yōu)化迭代增多，這表明搜索能力隨著優(yōu)化過程不斷增強(qiáng)。

2.2 基于退化策略的離散體拓?fù)鋬?yōu)化

結(jié)構(gòu)中存在的桿件過多，勢必會(huì)存在對結(jié)構(gòu)剛度貢獻(xiàn)較小的桿件，造成材料的浪費(fèi)。從結(jié)構(gòu)中不斷刪除剛度貢獻(xiàn)較小的桿件，保留對結(jié)構(gòu)剛度貢獻(xiàn)較大的桿件，可以節(jié)省材料，減輕結(jié)構(gòu)的重量，充分發(fā)揮材料的力學(xué)性能。

雖然向結(jié)構(gòu)中增添斜撐，可以有效提升結(jié)構(gòu)的剛度，但是結(jié)構(gòu)中的斜撐并不是越多越好，部分斜撐對于結(jié)構(gòu)剛度貢獻(xiàn)較小，將這些桿件刪除后，結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能增刪幅度很小，即認(rèn)為這些桿件在結(jié)構(gòu)中的作用較小。每次優(yōu)化迭代時(shí)，選擇桿件中單元靈敏度最小的桿件作為結(jié)構(gòu)中待退化的桿件，將這些桿件從結(jié)構(gòu)中刪除，結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能增長幅度最小。重復(fù)上述篩選和刪除桿件的操作，直到結(jié)構(gòu)中待退化的桿件對結(jié)構(gòu)剛度貢獻(xiàn)較大，這部分桿件在結(jié)構(gòu)中起到重要作用，不再從結(jié)構(gòu)中刪除桿件，優(yōu)化達(dá)到收斂。

基于退化策略實(shí)現(xiàn)離散體的桿系結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化，拓?fù)鋬?yōu)化流程如圖2所示，基本步驟如下：

圖2 基于退化策略的拓?fù)鋬?yōu)化流程Fig.2 Topology optimization flow chart based on degradation strategy

步驟1確定桿系結(jié)構(gòu)的初始結(jié)構(gòu)、基結(jié)構(gòu)，給定退化基準(zhǔn)率βd、單次優(yōu)化最大退化單元數(shù)Ndmax。

步驟2根據(jù)已退化桿件集合，更新待退化桿件的集合S。

步驟3進(jìn)行結(jié)構(gòu)有限元分析，并計(jì)算單元的靈敏度αi。

步驟4計(jì)算退化桿件的單元靈敏度標(biāo)準(zhǔn)為

式中：αde為退化桿件的單元靈敏度標(biāo)準(zhǔn)；αave為已退化桿件的單元靈敏度平均值。

步驟5確定當(dāng)前迭代步中滿足退化要求的待退化桿件集合D。

步驟6判斷D中的單元數(shù)量ND是否大于Ndmax。如果是，根據(jù)單元靈敏度的大小對待退化桿件進(jìn)行排序，重新確定待退化桿件集合D，轉(zhuǎn)入步驟7；如果否，直接轉(zhuǎn)入步驟7。

步驟7判斷是否滿足迭代終止要求，即D為空，結(jié)構(gòu)中不存在滿足退化條件的桿件。如果是，優(yōu)化過程終止，輸出結(jié)果；如果否，更新已進(jìn)化桿件集合，并轉(zhuǎn)入步驟2，繼續(xù)優(yōu)化。

3 離散體拓?fù)鋬?yōu)化策略在岸橋中的應(yīng)用

本例采取的岸橋模型尺寸為前伸距76.0 m，后伸距32.0 m，軌距30.0 m，基距20.6 m，額定起質(zhì)量61 t，吊具質(zhì)量19 t，小車質(zhì)量30 t，起升/下降速度為滿載150 m/min，空載75 m/min，小車額定運(yùn)行速度300 m/min。計(jì)算岸橋工況時(shí)按豎向荷載與橫向荷載施加于不同位置來確定不同工況。岸橋門框?qū)儆陂T式剛架結(jié)構(gòu)，無支撐的岸橋門框水平剛度較弱，在岸橋門框間布置桿件，可以加強(qiáng)結(jié)構(gòu)的剛度，門框基結(jié)構(gòu)如圖4所示，其中會(huì)存在大量的冗余桿件，導(dǎo)致材料的浪費(fèi)。基于退化策略的拓?fù)鋬?yōu)化方法能夠保留結(jié)構(gòu)中貢獻(xiàn)較大的桿件，得到比較簡潔的斜撐桿布置方案，易于在實(shí)際工程上實(shí)現(xiàn)，故采用基于退化策略的拓?fù)鋬?yōu)化方法對岸橋模型進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化。各構(gòu)件單元類型見表1。

表1 各構(gòu)件單元類型Tab.1 Element type of each component

圖3 岸橋結(jié)構(gòu)Fig.3 Structural diagram of container crane

圖4 岸橋模型的基結(jié)構(gòu)Fig.4 Ground structure of container crane

岸橋門框中所有桿件之間及所有桿件與同側(cè)立柱、陸側(cè)立柱之間的節(jié)點(diǎn)均為剛性連接，初始結(jié)構(gòu)中所有桿件的截面均為圓環(huán)形，外徑D1=0.52 m，內(nèi)徑d1=0.50 m，材料彈性模量E=2.1×1011Pa，泊松比ν=0.3，岸橋工況及其參數(shù)選擇見表2，岸橋模型的基結(jié)構(gòu)如圖4所示。

表2 岸橋工況及其參數(shù)選擇Tab.2 Working conditions and parameter selection of shore bridge

對于前3種工況，應(yīng)用退化策略得到的結(jié)構(gòu)形式相差不大，優(yōu)化結(jié)果如圖5所示，顯示海陸側(cè)門框間保留的桿件形成2根比較長的對角撐桿，呈X型布置。工況4門框優(yōu)化過程如圖6所示，最終結(jié)構(gòu)顯示海陸側(cè)門框間保留的桿件形成兩根比較長的對角撐桿，呈X型布置，同時(shí)在陸側(cè)門框立柱與海陸側(cè)聯(lián)系上橫梁夾角處保留有桿件，這根桿件同陸側(cè)門框立柱、海陸側(cè)聯(lián)系上橫梁共同構(gòu)成了一個(gè)三角形，能夠?qū)@個(gè)夾角起到加強(qiáng)作用。各優(yōu)化結(jié)果見表3。

圖5 工況1、2、3岸橋拓?fù)鋬?yōu)化后結(jié)構(gòu)Fig.5 Topology optimization structure of shore bridge under working conditions 1，2 and 3

表3 各個(gè)工況優(yōu)化結(jié)果Tab.3 Optimization results of each working condition

初始結(jié)構(gòu)中冗余的桿件被去除，節(jié)省了大量的材料。采用基于退化策略的拓?fù)鋬?yōu)化方法能夠有效去除對結(jié)構(gòu)剛度貢獻(xiàn)較小的桿件，保留對結(jié)構(gòu)剛度貢獻(xiàn)較大的桿件。工況4岸橋拓?fù)鋬?yōu)化過程如圖6所示，4個(gè)工況結(jié)構(gòu)應(yīng)變能變化曲線如圖7所示。

圖6 工況4岸橋拓?fù)鋬?yōu)化過程Fig.6 Topology optimization structure of shore bridge under working conditions 4

圖7 結(jié)構(gòu)應(yīng)變能變化曲線Fig.7 Curves of structural strain energy

4 結(jié)語

基于經(jīng)典的ESO拓?fù)鋬?yōu)化理論，對于給定結(jié)構(gòu)先預(yù)設(shè)由離散桿件構(gòu)成的基結(jié)構(gòu)，然后應(yīng)用漸進(jìn)結(jié)構(gòu)優(yōu)化技術(shù)中的單元退化算法，通過有限元分析逐步刪減基結(jié)構(gòu)中的對結(jié)構(gòu)剛度貢獻(xiàn)較小的桿件，逐步迭代，達(dá)到桿件布局較優(yōu)的目的。基于退化策略的拓?fù)鋬?yōu)化方法，在4種典型工況下，對岸橋模型進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化，對結(jié)構(gòu)剛度貢獻(xiàn)較小的桿件實(shí)現(xiàn)逐步退化，充分發(fā)揮桿件材料的力學(xué)性能，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)拓?fù)鋬?yōu)化的目的。結(jié)果顯示，4種典型工況下岸橋模型拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果類似，都由2根比較長的撐桿呈X型對角布置。岸橋結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能有微小增加，但是優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)比初始基結(jié)構(gòu)的質(zhì)量大大減小，達(dá)到了基于離散體拓?fù)鋬?yōu)化技術(shù)實(shí)現(xiàn)優(yōu)化的目的。