制孔末端執行器同步控制與誤差分析

劉紅軍，王菁

（1.沈陽航空航天大學航空制造工藝數字化國防重點實驗室，遼寧 沈陽 110135；2.沈陽航空航天大學機電工程學院，遼寧 沈陽 110135）

并聯機構擁有高剛度、高精度、動態響應快［1-3］等優勢，被廣泛應用于航空航天領域。由于并聯機構存在多條運動支鏈，各個支鏈之間存在相互耦合約束力，這成為了并聯機構的運動控制精度研究中重點要解決的問題。

針對并聯機構的運動控制問題，有許多學者進行了研究，其控制方法主要有比例積分微分控制、自適應控制等［4］。但傳統的比例積分微分（PID）控制器存在精度不高等問題，因此，基于PID的改進控制器得到廣泛應用。劉霞等［5］研制了模糊PID控制系統LabView虛擬儀器軟件從而提高了并聯機構的精度，減小了運動誤差。曹毅等［6］求解了不同間隙值對3-CPaRR機構影響，并設計了適應機構本身的構自適應滑模運動控制器。楊杰等［7］采用非線性比例微分（PD）算法半閉環反饋控制，有效抑制了并聯機構的自激振動。尚偉偉［8］根據機器人動力學特性，設計了增廣非線性PD、計算力矩非線性PD等控制策略，實現了機器人高精度軌跡跟蹤控制。范亞南［9］設計了時變阻抗控制律與滑模控制器，實現了機器人的接觸外力和軌跡跟蹤誤差同時漸近穩定。山顯雷等［10］考慮摩擦力補償問題，基于增廣PD控制理論設計各個關節的同步控制策略，在進行結構誤差修正的基礎上，根據實驗驗證了所設計控制策略的有效性。Nguyen等［11］根據并聯機構的運動學特性在PID神經網絡訓練機制中加入了李雅普諾夫穩定性條件，保證了機械手的魯棒跟蹤性能。

上述控制器的缺點在于沒有考慮到并聯機構各支鏈間耦合關系的動力學特性。本文基于一種各個驅動關節同步控制的思想，對并聯機構航空制孔末端執行器進行動力學控制。首先考慮關節間隙的摩擦力、接觸力［12］，以及支鏈間的耦合力，建立動力學模型；根據跟蹤誤差和同步誤差建立耦合誤差，代入到驅動關節同步控制器（AJ-S）中；最終實驗驗證該控制器應用于改進并聯機構的有效性。

1 改進并聯機構

傳統3RRR并聯機構由3個支鏈構成，每條支鏈上有3個轉動副，考慮傳統并聯機構作為末端執行器，動平臺在移動的過程中會產生振動。其主要原因是由電機驅動及外部載荷造成的桿件產生彈性振動，從而影響孔的加工精度。因此，在驅動桿與從動桿之間添加具有柔性約束的彈簧裝置，可起到整體的減振效果，同時在動平臺運動的情況下，依靠彈簧拉力減小關節間的間隙。

改進后并聯機構二維簡圖和立體模型如圖1和圖2所示。在靜平臺上建立全局坐標系O-XYZ，動平臺上建立動坐標系p-xyz，理論上在同一平面，這里設定關節坐標為Ai、Bi、Ci，驅動桿為Ai Bi，從動桿為BiCi，假設驅動桿為剛性桿，從動桿為柔性桿。

圖1 改進后并聯機構Fig.1 Schematic diagram of improved rear parallel mechanism

圖2 改進后并聯立體模型Fig.2 Improved rear parallel stereo model

2 動力學建模

由于并聯機構的驅動桿為剛性桿，從動桿為柔性桿，需要考慮桿件內部的彈性形變及關節間的摩擦力。根據歐拉伯努利梁方程模型，分析柔性從動桿的彈性變形，基于文獻［13］中的假設模態法，求解系統的彈性耦合力為

式中：φij(x)為已知邊界條件對應的模型振型函數；qij(t)為第i個連桿的未知廣義彈性變形量；r為所選的假設模態。

假設從動桿采用兩端鉸支的約束方式為

式中：μ=；r所選的假設模態；L為驅動桿和柔性從動桿的桿長；x為柔性從動桿上任意一點到Bi的距離。

這里設定改進并聯機構的驅動轉角，第1從動轉角和動平臺第2從動轉角分別為

據假設模態法求解驅動桿和柔性從動桿T1、動平臺的動能T2及柔性從動桿桿產生的彈性勢能V1：

另外，彈簧的彈性勢能可以表示為

式中：rDi為彈簧安裝位置末端矢量；rAi為彈簧起始點矢量；L0為彈簧原長；ki為彈簧剛度系數。

將代入拉格朗日方程并整理為矩陣形式：

式中：qi=[qai qbi qci]T；Mi為慣性質量矩陣；Ci為向心力與科里奧利力矩陣；τi=[τai τbi τci]T為關節的力矩，假設從動力矩τbi=τci=0；fi=[fai fbi fci]T表示關節的摩擦力，假設fbi=fci=0。根據文獻［14］中的并聯機構運動學關系可得出各個關節之間的速度與加速度的關系：

鑒于并聯機構存在支鏈間閉環耦合約束力，最終整個系統的動力學方程為

式中：ATλ為耦合約束力。

3 控制器的設計

將并聯機構運動時的跟蹤誤差定義為

當3個驅動關節中任意2個關節之間的跟蹤誤差滿足極限相等，定義3個各個關節中任意2個可能的驅動關節之間的同步誤差為

同步誤差向量為

在驅動關節間設置同步控制力矩，定義一個將跟蹤誤差和同步誤差的交叉耦合的耦合誤差，使跟蹤誤差和同步誤差同時收斂為0：

同步誤差之間的偏差向量定義為

耦合誤差向量為

耦合速度誤差為

耦合誤差和耦合速度誤差組合誤差向量為

組合速度誤差向量為

定義參考速度和參考加速度向量為

控制律式為

式中：Kd和Kc為對稱正定矩陣。

改進3RRR并聯機構制孔末端執行器驅動關節同步控制系統。

4 試驗對比

基于改進3RRR并聯機構制孔末端執行器驅動關節同步控制策略進行實驗研究，并與應用增廣PD控制法［15］進行對比，并聯機構按照規定的軌跡運動公式如下：

其機構結構參數及動力學參數見表1。

表1 機構主要結構參數Tab.1 Main structural parameters of mechanism

在實驗中，驅動關節同步控制器的各個參數設定為：Kd=diag(15，15，15)，Kc=diag（25，25，25)，R=diag(10，10，10），p=diag（150，150，150）。使用Matlab軟件對理論模型進行仿真，得出曲線如圖3和圖4所示。

圖3 驅動關節轉角跟蹤誤差Fig.3 Tracking error of driving joint angle

由圖4可知，AJ-S同步控制器下的跟蹤誤差有明顯的減小，驅動關節同步誤差也比增廣PD控制法所得的誤差要小，說明提高了3個驅動關節的轉角運動精度，驗證了AJ-S同步控制器的有效性。

圖4 驅動關節同步誤差Fig.4 Driving joint synchronization error

為了直觀比較2個控制器的效果，選取3個驅動關節轉角的跟蹤誤差均方根T-RSME和同步誤差均方根S-RSME作為性能指標：

式中：eai(j)、εai(j)分別為第j個驅動關節在第i點的跟蹤誤差和同步誤差。

所得結果對比如表2所示。

表2 誤差減小百分比Tab.2 Error percentage reduction

對比驅動關節同步控制器與增廣PD控制器，在速度一定的條件下，驅動關節同步控制器的應用可顯著提高末端執行器的位置精度。

5 結語

本文應用假設模態法對從動桿存在彈性變形的并聯機構航空制孔末端執行器進行剛柔耦合的彈性動力學建模，有助于研究實際情況下的并聯機構動力學特性。鑒于驅動關節同步控制中各個支鏈的耦合及運動協調能力對運動控制精度的影響，以3RRR并聯機構航空制孔末端執行器為研究對象，同時考慮柔性桿產生的彈性勢能，建立剛柔耦合的動力學模型，開展驅動關節的同步控制研究。并以各個支鏈間的運動約束耦合力來定義耦合誤差，設計了驅動關節同步控制律?；隍寗雨P節同步控制策略，在3RRR并聯機構航空制孔末端執行器的實物樣機上開展實驗研究，通過與采用增廣PD控制得到的結果進行對比可知，驅動關節同步控制改善了各個支鏈間運動的協調能力，提高了動平臺的位姿精度。這種考慮支鏈間運動約束耦合力的驅動關節同步控制策略，為今后實現并聯機構航空制孔末端執行器的高速、高精度控制提供了重要的理論基礎。