基于Volterra 級數的大跨橋梁渦激力內核參數識別方法

■許 坤 王金露 艾四芽 鮑丹宇 余潔歆 許 莉

（1.北京工業大學城市與工程安全減災教育部重點實驗室，北京 100124；2.福州市城鄉建設局，福州 350000；3.福建省交通科技發展集團有限責任公司，福州 350004；4.福建省二建建設集團有限公司，福州 350003；5.福建江夏學院工程學院，福州 350108；6.福州大學土木工程學院，福州 350108）

渦激振動是大跨橋梁較易發生的一種大振幅振動現象，對行人行車安全、構件疲勞壽命等產生較大危害。 為掌握結構渦振性能，現有研究往往借助渦激力數學模型，通過風洞試驗獲取模型氣動力參數，結合結構有限元開展三維全橋渦振性能分析， 以考慮結構振型、渦激力展向相干性等三維效應影響[1]。

現有結構渦振模型可大致分為2 類：單自由度模型[2-4]和兩自由度模型[5-9]；其中橋梁斷面多采用單自由度形式模型。 這類模型通過擬合風洞試驗測得的結構位移獲取氣動力參數。 由于模型無法準確反映渦振過程流體結構間的耦合關系，導致擬合參數在不同質量—阻尼系數工況下存在顯著差別。 設計風速內大跨橋梁渦振可發生模態有多階，不同模態間的模態質量及阻尼比并不相同，基于上述渦振經驗模型的計算結果難以保證其可靠性。

近年來，航空航天領域針對全尺寸流固耦合模擬困難開展了降階模擬技術研究。 其中具有多重卷積積分格式的Volterra 級數理論上可通過無限階次展開近似任意非線性系統，較適用于模擬氣動力的非線性特性及記憶效應。 Volterra 級數早期用于電氣工程[10]，Wu 等[11]將其引入到鈍體斷面非線性氣動力模擬，Xu 等[12]則對其用于大跨橋梁渦激氣動力模擬開展了初步研究。

為模擬流固耦合行為，需首先獲得描述流體—結構耦合關系的氣動力內核項。 相較機翼斷面，鈍體斷面流固耦合的非線性效應更為顯著，渦振發生風速較低，氣動力記憶效應也更為明顯。 渦激力中高次內核項的識別問題尤為突出。 針對這一問題，本文采用理論分析和數值模擬手段， 對Volterra 模型非線性最高階次、氣動力記憶持續時長等影響因素進行研究，提出便于實際操作的橋梁斷面渦激力內核參數識別方法，并對其準確性進行驗證。

1 基于Volterra 理論的渦激力模型

以豎向渦振為例，無量綱結構運動方程可表示為：

式中， CL（s）為無量綱升力系數；Y 為無量綱位移；K=Dωn/U 為折算頻率；s=Ut/D 為無量綱時間；D為結構特征尺寸；ωn為結構振動頻率；U 為來流風速；ξ 為結構機械阻尼比；m 為結構質量。

渦振過程中作用于結構的附加氣彈效應主要為非線性氣動阻尼效應，可將其表示為卷積格式的Volterra 級數形式：

式中，C(1)L表示氣動力中的線性項；C(p)L（s）表示氣動力中的p 次非線性項；τ1,2,...為氣動力記憶效應持續時間；h 為Volterra 級數內核項，其本質為結構運動與氣動力間的傳遞函數。

風洞試驗或CFD 模擬得到的結構位移與氣動力時程為時間離散格式，有必要將式（3）表示為時間離散格式：

2 Volterra 模型內核識別方法

Volterra 內核識別主要有2 種途徑[13]：（1）當被模擬對象具有解析表達式時，可利用解析方法推導Volterra 級數內核解析表達式；（2）當被模擬對象沒有解析表達式時，需利用試驗或數值模擬得到的系統輸入—輸出關系，采用系統辨識手段獲取Volterra 級數內核參數。

對于鈍體斷面氣動力而言， 無法通過理論推導獲得氣動力解析表達； 渦激力內核參數只能通過試驗或CFD 計算獲取所需數據，通過系統辨識手段得到。根據式（6），氣動力與結構運動關系可以表示為：

當系統輸入—輸出總長度大于內核向量總長度時（n+1＞Q1+…+QN），可借鑒最小二乘思想，擬合得到內核向量：

其中，符號“+”表示Moore-Penrose 偽逆。

3 橋梁斷面渦激力內核參數識別

為驗證橋梁斷面渦激力內核識別效果，選取典型π 形斷面， 利用CFD 模擬平臺獲取內核識別所需數據。 計算網格區域為：-15B≤Lx≤35B 和-25B≤Ly≤25B，其中B 為斷面寬度，Lx和Ly分別為網格區域在來流及垂直于來流方向的大小。 計算區域采用三角形非結構化網格進行離散，底層網格尺寸為0.001B，總體網格數量約為1.4×105。 計算區域及網格尺寸選取基于前期網格優化驗證。 計算過程中雷諾數為1×104（以斷面高度為參考尺寸），采用大渦模型進行湍流模擬。 計算區域及網格形狀如圖1所示。

圖1 斷面附近局部網格

系統輸入—輸出數據采用不同折算風速和振幅單頻強迫振動組合， 共包括12 個折算風速（1.66≤U/ωnD≤2.15）和10 個無量綱振幅（0.01≤A/D≤0.10）。 各工況采樣時長取50 個振動周期。

內核參數識別需首先確定模型最高階次N 及氣動力記憶持續時長Mp。為研究非線性最高階次和記憶持續時長對模擬效果的影響，對不同N 和Mp條件下的模擬效果進行了比較。 其中，模擬效果評價標準采用Balajewicz 和Dowell 提出的擬合誤差率[14]：

式中，yCFD表示CFD 計算結果；yROM表示Volterra模型模擬結果。

擬合誤差率如圖2 所示，其中時間步長為0.2s（s=Ut/D）， 即Mp取50 時，p 階 記 憶 持 續 時 長 為0.2×Mp=10s。從圖2 可以看到，擬合誤差率隨模型最高階次及記憶持續時長的增加而變小，表明模型階次越高、記憶持續時間越長，模擬效果越好。 當Mp大于一定程度時（如100）時，提高最高階次N 比增加Mp能獲得更好的模擬效果， 這是由于氣動力具有記憶衰減特性，Mp大于一定程度時即可較好反映氣動力的記憶效應。 為提高模擬效果，應在保證記憶持續時長的基礎上盡量提高模型最高階次。

圖2 擬合誤差率隨非線性階次及記憶時長變化規律

4 內核識別效果驗證

為驗證內核識別結果， 對Volterra 模型模擬結果與CFD 計算結果進行了比較。 圖3 為鎖定區前段不同振幅渦激力模擬結果，各振幅下渦激力形狀基本一致，為類正弦單組分形式，表明斷面漩渦脫落頻率完全被結構運動鎖定，此時渦激力中與結構振動同頻的線性項起主導作用。 圖4 為鎖定區后段不同振幅計算結果，此時渦激力仍表現出振幅相關特性。 比較圖3 和圖4 可以發現，鎖定區振幅最大點和鎖定區后段渦激力中高頻與低頻成分間的相位差發生了改變，渦激力中高頻與低頻成分間的相位變化或許是導致鎖定區后段渦振隨風速增加而逐漸消失的原因。

圖3 渦振鎖定區前段渦激力時程

圖4 渦振鎖定區后段渦激力時程

圖5 為鎖定區前段渦激力滯回曲線結果。 可以看到，隨著振幅增加，滯回曲線逐漸飽滿，表現出振幅相關特性。 圖6 為鎖定區后段結果，與鎖定區振幅最大點處不同，該風速下滯回曲線長軸所處象限發生了改變，表明渦激力與結構運動間的相位差發生了變化。 各風速下，縮階模型均能夠較好地模擬原始CFD 結果，驗證了內核識別結果的準確性。

圖5 渦激力滯回曲線（U/ωD=1.84）

圖6 渦激力滯回曲線（U/ωD=2.02）

圖7、圖8 為不同工況渦激力頻譜特性。可以看到，渦激力的非線性特性主要表現為整數倍頻效應。 稀疏內核格式的Volterra 模型能夠較好模擬這種整數倍頻效應，進一步驗證了內核識別結果的準確性。

圖7 渦激力頻譜特性（U/ωD=1.84）

圖8 渦激力頻譜特性（U/ωD=2.02）

5 結語

本文針對Volterra 級數用于橋梁斷面渦激力模擬問題，通過理論分析與數值模擬手段，對渦激力內核識別方法進行了詳細驗證和比較，得到如下結論：

（1）擬合誤差率隨模型最高階次及記憶持續時長的增加而變小。 當記憶持續時長大于一定程度時，提高最高階次比增加記憶持續時長能獲得更好的模擬效果。 為提高模擬效果，應在保證記憶持續時長的基礎上盡量提高模型最高階次。

（2）渦激力的非線性特性主要表現為整數倍頻效應，Volterra 級數模型在時域、頻域和相空間方面均能較好模擬渦振過程流體—結構間的耦合關系。

（3）采用最小二乘方法的渦激力內核識別過程，無論從風洞試驗還是CFD 計算層面均具有較好的可操作性，可用于實際橋梁斷面渦激力內核參數識別。