直覺折線模糊數空間的完備可分性和逼近性

李丹，王貴君

(1.三亞學院 理工學院, 海南 三亞 572000; 2.天津師范大學 數學科學學院,天津 300387)

直覺折線模糊數空間的完備可分性和逼近性

李丹1，王貴君2

(1.三亞學院 理工學院, 海南 三亞 572000; 2.天津師范大學 數學科學學院,天津 300387)

折線模糊數可借助一組實數的有序表示確定模糊信息，不僅可以實現一般模糊數之間的近似線性運算，而且克服了基于Zadeh擴展原理的模糊數四則運算復雜問題。基于直覺模糊數和折線模糊數，提出了直覺折線模糊數的概念。通過引入距離公式，證明了直覺折線模糊數可構建完備可分的度量空間，給出了直覺折線模糊數的逼近定理。進一步用實例驗證了直覺折線模糊數對直覺模糊數具有逼近性。

直覺模糊數；折線模糊數；直覺折線模糊數；逼近性

0 引言

事實上，在直覺模糊集中，除約束條件（兩個函數之和≤1）外，隸屬函數和非隸屬函數是相對獨立的，若將兩函數n-折線化，便可實現直覺模糊數的近似線性運算。基于直覺模糊數和折線模糊數，提出直覺折線模糊數的概念，通過引入距離公式，證明了直覺折線模糊數可構建完備可分的度量空間，給出直覺折線模糊數的逼近定理，并進一步用實例驗證直覺折線模糊數對直覺模糊數具有逼近性。

1 預備知識

一般模糊數不能簡單地進行線性運算，只能依賴復雜的Zadeh擴展原理進行算術運算，阻礙了模糊數理論的發展。折線模糊數由一組有限個有序實數表示，其在處理模糊信息時具有明顯優勢。記R為實數集，為有理數集。首先，引入模糊數、直覺模糊數和折線模糊數的概念。

定義1設是R中的模糊集，若滿足：

1994年，DIAMOND等［11］提出模糊距離的定義，即在模糊數空間中，對任意的，界定，證明了二元映射僅滿足距離公理的對稱性和三點不等式，稱為模糊距離，并證明了為一個完備的度量空間。

定義2設為給定非空集合，若模糊集和，且滿足，，則稱為中的直覺模糊集，其中和分別表示的隸屬函數和非隸屬函數。

定義3設為直覺模糊集，若和均為模糊數，則稱為直覺模糊數，簡記為，其中模糊數的隸屬函數定義為

定義4設模糊數，給定，現將縱軸上閉區間等分為個小區間，分點為，。若存在一組個有序實數：，且滿足，使得隸屬函數在區間和均取直線段。對于任意的，定義的隸屬函數為

圖1 -折線模糊數的隸屬函數圖像Fig.1 Function image of -polygonal fuzzy number A

圖2 模糊數與對應的隸屬函數圖像Fig.2 Function image of fuzzy number and -polygonal fuzzy number

引理1給定，若，，則

引理2給定，則是完備可分的度量空間。

引理3設一般模糊數，給定，且，，則

直覺模糊數和折線模糊數雖然各具特色，但均存在一定缺陷，例如，直覺模糊數需2個有界函數刻畫，折線模糊數隨著的增大變得越來越復雜。為此，將二者結合，提出直覺折線模糊數概念，在直覺折線模糊數空間上討論完備性、可分性和逼近性，擴大了直覺模糊集的應用范圍。

定義5設直覺模糊數，給定，若和均為-折線模糊數，且滿足，則稱為直覺折線模糊數，記為，其中模糊數的隸屬函數定義為

定理1設，，為如引理1（1）所示的距離，令

則

證明由空間中距離的性質，（1）和（2）顯然成立。

分別將兩式完全平方，可得

將兩式相加，由式（1）可得

兩邊同時開方，有

故（3）得證。

定理2對任意的，是完備可分的度量空間。

實際上，式（2）等價于

因此必有：

由引理1，可寫為

則有

或寫為

證畢。

實際上，直覺折線模糊數的隸屬函數和非隸屬函數形狀規則，均可由若干個小梯形疊加而成，且直覺折線模糊數空間關于度量可構建完備可分的度量空間。該結論為進一步研究直覺折線模糊數奠定了基礎。

3 逼近定理

定理3設，，為確定的-折線模糊數，對任意的，令，且左函數和右函數在上連續可導，則

證明 令

解得

經配方及整理，得

（5）

類似地，有

令

由式（7），式（5）可改寫為

進一步可得

類似地，由式（6）和式（7），可得

結合式（8）和式（9），可得

定理4設一般模糊數，給定，令為由確定的-直覺折線模糊數，其中，，，。若左函數，和右函數，在上均連續可導，則在空間中距離滿足。

4 實例分析

例1設直覺模糊數，隸屬函數和非隸屬函數分別定義為：

圖3 的直覺折線模糊數函數圖Fig.3 Function image of intuitionistic polygonal fuzzy number A

顯然，非隸屬函數部分可表示為

根據n的取值，令

且

因此，有

表1 隨機選取的5個誤差對應的剖分數的估計值Table 1 The estimations of corresponding to 5 random error values

表1 隨機選取的5個誤差對應的剖分數的估計值Table 1 The estimations of corresponding to 5 random error values

的估計值0.730.540.1200.05100.001200

［1］ATANASSOV K T. Intuitionistic fuzzy sets［J］. Fuzzy Sets and Systems， 1986， 20（1）：87-96. DOI：10.1016/S0165-0114（86）80034-3

［2］萬樹平. 直覺模糊多屬性決策方法綜述［J］. 控制與決策， 2010，25（11）：1601-1606.

WAN S P. Survey on intuitionistic fuzzy multi-attribute decision making approach［J］. Control and Decision， 2010， 25（11）：1601-1606.

［3］BAN A I. Nearest interval approximation of an intuitionistic fuzzy number［J］. Computational Intelligence， Theory and Applications，2006： 229-240. DOI：10.1007/3-540-34783-6_24

［4］BAN A I， COROIANU L C. A method to obtain trapezoidal approximations of intuitionistic fuzzy numbers from trapezoidal approximations of fuzzy numbers［J］. Notes on Intuitionistic Fuzzy Sets， 2009，15（1）： 13-25.

［5］李舒陽，李洪興，孫凱彪. 保持模糊度的直覺模糊數的梯形直覺逼近及其應用［J］. 模糊系統與數學， 2018，32（6）： 55-63.

LI S Y， LI H X，SUN K B. Trapezoidal intuitionistic approximation of intuitionistic fuzzy numbers preserving the ambiguity and its application［J］. Fuzzy Systems and Mathematics， 2018，32（6）： 55-63.

［6］劉普寅. 一種新的模糊神經網絡及其逼近性能［J］. 中國科學（E輯），2002， 32（1）：76-86. DOI：10. 3969/j.issn.1674-7259.2002.01.011

LIU P Y. A new fuzzy neural network and its approx-

imation performance［J］. SCIENCE IN CHINA（Series E）， 2002， 32（1）：76-86. DOI：10.3969/j.issn.1674-7259.2002.01.011

［7］李丹，孫剛，王貴君. 一類三層前向折線模糊神經網絡的構造［J］. 東北師大學報（自然科學版）， 2012，44（3）： 55-59.

LI D， SUN G，WANG G J. Construction of a class of three-layered feedforward polygonal fuzzy neural network［J］. Journal of Northeast Normal University（Natural Science Edition）， 2012，44（3）： 55-59.

［8］李丹，劉軼明，王貴君. 一類折線模糊神經網絡的存在性［J］. 天津師范大學學報（自然科學版），2012， 32（1）：1-5. DOI：10.3969/j.issn.1671-1114.2012. 01.001

LI D， LIU Y M，WANG G J. Existence of a class of polygonal fuzzy neural networks［J］. Journal of Tianjin Normal University （Natural Science Edition）， 2012，32（1）： 1-5. DOI：10.3969/j.issn.1671-1114.2012.01.001

［9］LI X P， LI D. The structure and realization of a polygonal fuzzy neural network［J］. International Journal of Machine Learning and Cybernetics，2016， 7（3）：375-389. DOI：10.1007/s13042-015-0391-0

［10］王貴君，李丹. 前向正則模糊神經網絡依K-積分模的泛逼近能力［J］. 應用數學學報，2013， 36（1）：141-152. DOI：10.3969/j.issn.0254-3079.2013.01.012

WANG G J， LI D. Capability of universal approximation of feedforward regular fuzzy neural networks inK-integral norm［J］. Acta Mathematicae Applicatae Sinica，2013， 36（1）：141-152. DOI：10. 3969/j.issn.0254-3079.2013.01.012

［11］DIAMOND P，KLOEDEN P. Metric Spaces of Fuzzy Sets［M］. New York： World Scientific Press，1994.

［12］王貴君. 折線模糊神經網絡與模糊系統逼近［M］. 北京：科學出版社， 2017.

WANG G J. Approximation of Polygonal Fuzzy Neural Network and Fuzzy System［M］. Beijing： Science Press， 2017.

Complete separability and approximation of the intuitionistic polygonal fuzzy number space

（1.School of Science and Technology，University of Sanya，Sanya572000，Hainan Province，China；2. School of Mathematical Science，Tianjin Normal University，Tianjin300387，China）

The polygonal fuzzy number can determine fuzzy information by means of the ordered representation of a group of real numbers. It can not only approximately realize the linear operations among general fuzzy numbers, but also get rid of the complexity of the arithmetic operations of fuzzy numbers based on Zadehapos;s extension principle. In this paper, the concept of the intuitionistic polygonal fuzzy number is first proposed based on the characteristics of the intuitionistic fuzzy number and polygonal fuzzy number, and its distance formula is introduced. Secondly, it is proved that intuitionistic polygonal fuzzy numbers constitute a complete separable metric space through the distance formula, and the approximation theorem is obtained. Finally, we verify by an example that the intuitionistic polygonal fuzzy number can approximate to an intuitionistic fuzzy number.

intuitionistic fuzzy number; polygonal fuzzy number; intuitionistic polygonal fuzzy number; approximation

O 159

A

1008?9497（2022）05?532?08

10.3785/j.issn.1008-9497.2022.05.003

2021?10?08.

國家自然科學基金資助項目（61374009）.

李丹（1985—），ORCID：https：//orcid.org/0000-0002-9903-4408，女，碩士，講師，主要從事模糊神經網絡和模糊信息處理研究，E-mail：422629487@qq.com.