多尺度有限元法結合分層網格模擬二維奇異攝動的兩端邊界層問題

孫美玲，江山

（1.南通職業大學 數學教研室，江蘇 南通 226007; 2.南通大學理學院，江蘇 南通 226019）

多尺度有限元法結合分層網格模擬二維奇異攝動的兩端邊界層問題

孫美玲1，2，江山2*

（1.南通職業大學 數學教研室，江蘇 南通 226007; 2.南通大學理學院，江蘇 南通 226019）

通過攝動系數建立分層網格，用多尺度有限元法捕捉對流擴散方程的兩端邊界層，研究二維奇異攝動模型。基于分層網格并利用多尺度基函數刻畫了邊界層的微觀信息，用有限的計算資源、較短的計算時間，得到了不依賴于攝動系數、一致穩定的模擬結果。

奇異攝動；自適應網格；兩端邊界層；多尺度有限元；一致穩定

0 引言

文獻［3-9］主要考慮一維奇異攝動的有效求解方法。KADALBAJOO等［3］采用三次B-樣條配點法在Shishkin網格上得到了關于最大模的收斂結果。但Shishkin分片等距網格存在一定局限性，粗略估計過渡點位置可能造成方法精度不高。GENG等［4］用再生核方法模擬兩端邊界層現象；楊宇博等［5］研究非對稱內罰間斷有限元法在分層網格中的一致收斂性，在一維情形下對左端附近的分層網格進行加密構建。受其啟發，本文將其拓展為左右兩端附近皆可用自適應迭代的網格，適用于二維情形下的方向。ZHENG等［6］用混合有限差分格式處理擬線性邊值問題；基于Bakhvalov-Shishkin網格，江山等［7］、鄭權等［8］分別得到多尺度有限元法、混合差分法的奇異攝動高精度結果；CHENG［9］利用局部間斷有限元法有效模擬了雙參數模型，并基于各范數給出了穩定性估計。

對二維奇異攝動的研究已取得一定成果，如FRANZ等［10］利用單元邊界穩定化技術，證明了高階有限元格式總能得到理想的一致超收斂；BRDAR等［11］面向二維對流反應擴散的雙參數方程，基于Duran-Lombardi與Duran-Shishkin網格，用傳統雙線性有限元法得到了比Shishkin網格精度更高的能量范數誤差；JIANG等［12］提出了獨立構造試探函數空間、檢驗函數空間的Petrov-Galerkin多尺度有限元基函數，在等級網格上自動消除共振誤差，得到了精確、高效、穩定的一致收斂模擬；LI等［13］針對反應擴散方程，基于分層網格證明了高階Galerkin有限元的優化理論；XU等［14］、CAI等［15］分別給出了組合有限元、高階有限元的魯棒性分析與數值驗證，但在二維情形下這類有限元模擬的計算代價較大。

本文針對二維奇異攝動中小參數導致的兩端邊界層問題，利用基于分層網格的多尺度有限元計算格式，實現較傳統有限元計算格式數值精度更高、計算代價更小、運算時間更短的一致穩定結果。

1 模型

考慮二維情形的對流擴散方程

其中，雙線性形式為

2 分層網格與解的分解

2.1 兩端邊界層的分層網格

為得到式（2）變分形式的有效近似，用有限維逼近無限維的思想進行區域離散。因常規的一致網格難以有效求解奇異攝動小參數問題，即使剖分數很大，其等距步長也無法滿足，故難以形成可靠的分辨率。對二維區域，先在方向形成適合左右兩端邊界層的優化分層網格，再類似處理方向的上下兩端邊界層。

分層（graded）網格［5］由迭代格式生成，用攝動系數和網格參數計算。方向的節點為

從而形成一端稠密、另一端稀疏的分層網格。為滿足兩端均有邊界層的情況，將式（3）改進為

下文將驗證分層網格是一種能自適應地逼近邊界層位置及寬度的優化網格，其剖分數并非簡單地成倍增加，從而突破了一致網格和Shishkin網格剖分數偶數倍加密的局限，得到了更好的數值精度與穩定結果。

2.2 解的多尺度分解

依據解的多尺度性質，將其分解為若干部分之和，即

用式（4）對兩端邊界層的分層網格進行區域離散，再采用多尺度有限元計算格式，使其更好地逼近子分塊上多尺度解式（5）的局部形態。

圖1 區域的子分塊Fig.1 Sub-domains of domain

3 有限元法與多尺度有限元法

3.1 有限元的變分原理

傳統有限元法（FEM）通過分片多項式構造基底以形成有限維函數空間。如選定一組基，記有限元空間，其變分形式對應為尋求，使得

3.2 多尺度有限元的變分原理

不同于傳統有限元，多尺度有限元法（MsFEM）在構造有限維空間時，不采用顯式多項式函數，而采用基于與原問題相同的微分算子在粗風格單元中求解非顯式基函數。在每個粗網格單元中用有限元法求對應的齊次子問題：

3.3 多尺度有限元解的誤差估計

度量誤差，結合分層網格得到收斂結果。

定理1

為二維分層網格的生成函數。

4 數值驗證

用已有文獻算例和程序結果驗證相應方法的精度和效率，本文僅討論當很小時產生奇異攝動邊界層求解困境的情況。將分層網格上與傳統有限元、多尺度有限元對應的結果分別記作FEM（G）和MsFEM（G），用真解、近似解和誤差的三維圖示、范數值分析度量實際模擬效果。

圖2 當=時的真解Fig.2 Exact solutions when and ，respectively

圖3 當時傳統有限元法與多尺度有限元法的解Fig.3 The solutions of FEM（G）and MsFEM（G） when

為更清晰地展現相應方法的精確性與穩定性，通過網格加密的方法觀察數值變化。表格格式與文獻［5］的表1與表2一致，區別在于文獻［5］處理的是一維問題，行數較多、單方向剖分數較小，本文研究的是二維問題，因受算力限制，行數較少、單方向兩端邊界層的剖分數較大。由表1知，無論攝動參數如何選取，依據網格參數的遞減，由迭代式（4）自適應生成兩端疏密不同的分層網格，用于離散化計算。橫向看，表1中單方向剖分數、范數誤差均微增，縱向看，其范數誤差隨遞減呈穩定收斂。表1為用傳統有限元法求解二維問題，若網格剖分數較大，計算消耗很大，繼續剖分將超出單機的運行限定，具有一定的局限性。表2采用的是多尺度有限元法，僅在較粗的分層網格上計算誤差的能量范數，求式（7）時其子單元剖分數，對應行的精度略遜于表1，但其計算消耗小、時間短，繼續剖分能得到更精確的結果，其收斂結果與理論估計式（12）一致。另需指出，多尺度有限元法的精度在剖分數=222，262，300時較傳統有限元法在剖分數=240，288，328時更高。當然此優化結果也有計算消耗，主要用以刻畫奇異攝動問題的邊界層微觀屬性。

表1 不同下傳統有限元法在分層網格上的誤差能量范數Table 1 FEM（G）with different parameters for errors of energy norm

表1 不同下傳統有限元法在分層網格上的誤差能量范數Table 1 FEM（G）with different parameters for errors of energy norm

h誤差誤差誤差1364.510×10-31604.664×10-31924.748×10-32401.310×10-32881.362×10-33281.402×10-34483.870×10-45364.054×10-46164.189×10-48881.083×10-41 0481.142×10-41 2001.186×10-4

表2 不同下多尺度有限元法在分層網格上的誤差能量范數Table 2 MsFEM（G）with different parameters for errors of energy norm

表2 不同下多尺度有限元法在分層網格上的誤差能量范數Table 2 MsFEM（G）with different parameters for errors of energy norm

h誤差誤差誤差348.866×10-2409.084×10-2489.083×10-2602.270×10-2722.303×10-2822.329×10-21124.686×10-31344.938×10-31544.955×10-32229.228×10-42629.565×10-43009.627×10-4

（a） 傳統有限元法（b） 多尺度有限元法

圖4 當時傳統有限元法于和多尺度有限元法于的誤差
Fig.4 Errors of FEM（G） onand MsFEM（G）onwhen

圖5 當時傳統有限元法于和多尺度有限元法于的誤差Fig.5 Errors of FEM（G） on and MsFEM（G）on when

在上述數值精度與穩定分析的基礎上，考慮2種數值方法所需的運行時間和效率，表3給出了當時臺式機Intel Core i9 CPU 3.7 GHz運行相應程序所需的CPU時間，可見在較密二維網格上用傳統有限元法所需的CPU時間是同一行較粗二維網格用多尺度有限元法的近10倍，顯然多尺度有限元法的計算效率更高。進一步，圖6為攝動參數取更小（與）時相應方法的CPU時間與剖分數的對數比例關系，再次證實了多尺度有限元法的計算代價更小、計算效率更高。

表3 當時傳統有限元法與多尺度有限元法的CPU時間Table 3 FEM（G）and MsFEM（G）apos;s CPU time when

表3 當時傳統有限元法與多尺度有限元法的CPU時間Table 3 FEM（G）and MsFEM（G）apos;s CPU time when

FEM（G）CPU時間/sMsFEM（G）CPU時間/s4.13.349126598410 2771 106

圖6 =和時2種方法的剖分數與CPU時間的log-log圖示Fig.6 Two methodsapos; log-log on partition and CPU time when and

綜上所述，多尺度有限元法只需在較粗分層網格上進行計算，消耗的計算資源較少，且能保證穩定收斂的有效精度，因此，多尺度有限元法在高維奇異攝動問題求解中具有廣闊的應用前景。

5 結束語

基于自適應的分層網格生成機制，主要利用多尺度有限元法處理奇異攝動的二維對流擴散變系數方程。用分層迭代精確逼近邊界層位置與寬度，結合多尺度計算格式有效捕捉了兩端邊界層的微觀信息，實現了不依賴攝動系數的精確高效模擬結果，充分展現了多尺度有限元法結合分層網格求解高維奇異攝動問題的一致穩定性和優勢。

［1］蘇煜城，吳啟光. 奇異攝動問題數值方法引論［M］. 重慶：重慶出版社， 1991.

SU Y C， WU Q G. An Introduction to Numerical Methods for the Singular Perturbation Problems［M］. Chongqing： Chongqing Publishing House，1991.

［2］MILLER J J H， O’RIORDAN E，SHISHKIN G I. Fitted Numerical Methods for Singular Perturbation Problems （Revised Edition）［M］. Singapore： World Scientific，2012.

［3］KADALBAJOO M K， GUPTA V. A parameter uniform B-spline collocation method for solving singularly perturbed turning point problem having twin boundary layers［J］. International Journal of Computer Mathematics， 2010，87（14）：3218-3235.

［4］GENG F Z， QIAN S P. Reproducing kernel method for singularly perturbed turning point problems having twin boundary layers［J］. Applied Mathematics Letters， 2013，26（10）：998-1004. DOI：10.1016/j.aml.2013.05.006

［5］楊宇博，祝鵬，尹云輝. 分層網格上奇異攝動問題的一致NIPG分析［J］. 計算數學，2014， 36（4）：437-448.

YANG Y B， ZHU P，YIN Y H. Uniform analysis of the NIPG method on graded meshes for singularly perturbed convection-diffusion problems［J］. Mathematica Numerica Sinica， 2014，36（4）： 437-448.

［6］ZHENG Q， LI X Z，GAO Y. Uniformly convergent hybrid schemes for solutions and derivatives in quasilinear singularly perturbed BVPs［J］. Applied Numerical Mathematics， 2015，91： 46-59. DOI：10. 1016/j.apnum.2014.12.010

［7］江山，孫美玲. 多尺度有限元結合Bakhvalov-Shishkin網格法高效處理邊界層問題［J］. 浙江大學學報（理學版），2015， 42（2）：142-146. DOI：10. 3785/j.issn.1008-9497.2015.02.004

JIANG S， SUN M L. Combining the multiscale finite element and Bakhvalov-Shishkin grid to solve the boundary layer problems［J］. Journal of Zhejiang University （Science Edition）， 2015，42（2）： 142-146. DOI：10.3785/j.issn.1008-9497.2015.02.004

［8］鄭權，劉穎，劉忠禮. 奇異攝動問題在修正的Bakhvalov-Shishkin網格上的混合差分格式［J］. 浙江大學學報（理學版）， 2020，47（4）： 460-468. DOI：10. 3785/j.issn.1008-9497.2020.04.009

ZHENG Q， LIU Y，LIU Z L. The hybrid finite difference schemes on the modified Bakhvalov-Shishkin mesh for the singularly perturbed problem［J］. Journal of Zhejiang University （Science Edition）， 2020，47（4）： 460-468. DOI：10.3785/j.issn.1008-9497.2020. 04.009

［9］CHENG Y. On the local discontinuous Galerkin method for singularly perturbed problem with two parameters［J］. Journal of Computational and Applied Mathematics， 2021，392： 113485. DOI：10. 1016/j.cam.2021.113485

［10］FRANZ S， LIN? T，ROOS H G， et al. Uniform superconvergence of a finite element method with edge stabilization for convection-diffusion problems［J］. Journal of Computational Mathematics， 2010，28（1）： 32-44. DOI：10.4208/jcm.2009.09-m1005

［11］BRDAR M， ZARIN H，TEOFANOV L. A singularly perturbed problem with two parameters in two dimensions on graded meshes［J］. Computers and Mathematics with Applications， 2016，72（10）：2582-2603. DOI：10.1016/j.camwa.2016.09.021

［12］JIANG S， PRESHO M，HUANG Y Q. An adapted Petrov-Galerkin multi-scale finite element method for singularly perturbed reaction-diffusion problems［J］. International Journal of Computer Mathematics， 2016，93（7）： 1200-1211. DOI：10.1080/00207160. 2015.1041935

［13］LI Z W， WU B，XU Y S. High order Galerkin methods with graded meshes for two-dimensional reaction-diffusion problems［J］. International Journal of Numerical Analysis and Modeling， 2016，13（3）： 319-343.

［14］XU S P， DENG W B，WU H J. A combined finite element method for elliptic problems posted in domains with rough boundaries［J］. Journal of Computational and Applied Mathematics， 2018，336： 235-248. DOI：10.1016/j.cam.2017.12.049

［15］CAI D F， CAI Z Q，ZHANG S. Robust equilibrated a posteriori error estimator for higher order finite element approximations to diffusion problems［J］. Numerische Mathematik， 2020，144： 1-21. DOI：10.1007/s00211-019-01075-1

Simulation of multiscale finite element method on graded meshes for two-dimensional singularly perturbed twin boundary layers problems

SUN Meiling1,2, JIANG Shan2

（1. Department of Mathematics，Nantong Vocational University，Nantong226007，Jiangsu Province，China；2. School of Science，Nantong University，Nantong226019，Jiangsu Province，China）

To solve a two-dimensional singularly perturbed model, a multiscale finite element method on graded meshes built from the perturbed parameter is presented for capturing the twin boundary layers of convection-diffusion equations effectively. Based on the graded meshes, the multiscale basis functions are capable of subtly describing the microscopic information in the boundary layers. No wonder, it just costs a handful of computing resource and short time to achieve the accurate and efficient results, and the results are independent of the perturbed parameter with uniform stability.

singular perturbation; adaptive meshes; twin boundary layers; multiscale finite element; uniform stability

O 241.82

A

1008?9497（2022）05?564?06

2021?08?24.

南通市基礎科學研究指令性項目（JC2021123）；國家自然科學基金面上項目（11771224）；江蘇省高校青藍工程優秀骨干教師資助項目.

孫美玲（1981—），ORCID：https：//orcid.org/0000-0003-0061-5155，女，博士，副教授，主要從事偏微分方程數值解及其應用研究，E-mail：sunmeiling81@163.com.

通信作者，ORCID：https：//orcid.org/0000-0001-7983-0012，E-mail：jiangshan@ntu.edu.cn.

10.3785/j.issn.1008-9497.2022.05.007