基于四元數(shù)尺度函數(shù)的邊緣檢測方法

胡曉曉，程冬

（1.溫州醫(yī)科大學 第一臨床醫(yī)學院（信息與工程學院） 附屬第一醫(yī)院，浙江 溫州 325000；2.北京師范大學珠海校區(qū)數(shù)學與數(shù)學教育研究中心，廣州 珠海 519087）

基于四元數(shù)尺度函數(shù)的邊緣檢測方法

胡曉曉1，程冬2

（1.溫州醫(yī)科大學 第一臨床醫(yī)學院（信息與工程學院） 附屬第一醫(yī)院，浙江 溫州 325000；2.北京師范大學珠海校區(qū)數(shù)學與數(shù)學教育研究中心，廣州 珠海 519087）

四元數(shù)解析信號是解析信號在四元數(shù)意義下的推廣，其由原信號、四元數(shù)方向Hilbert變換和四元數(shù)交叉項Hilbert交換構成。通過四元數(shù)解析信號的極坐標表示，可得信號的特征表示，如局部相位角和局部振幅，其中局部相位角包含信號的結構信息。研究了右四元數(shù)解析信號，給出了其二維延拓定理，得到右四元數(shù)尺度函數(shù)，并將其局部特征應用于彩色圖像的邊緣檢測，提出了基于局部相位角和局部振幅的邊緣檢測方法，通過對比實驗，證明了基于局部相位角的邊緣檢測方法在抗噪上具有魯棒性。

右邊四元數(shù)傅里葉變換（QFT）；解析信號；局部相位角；局部衰減；泊松算子

1886年，HAMILTON［1］提出了四元數(shù)代數(shù)（又稱超復數(shù)），與向量表示高維信號不同，四元數(shù)代數(shù)不僅可簡潔地表示高維信號，而且可很好地表達高維信號各分量之間的相關性，因此四元數(shù)代數(shù)已成為數(shù)學與工程領域的熱門研究方向［2-4］，四元數(shù)傅里葉變換（quaternion Fourier transform，QFT）是處理四元數(shù)的有利工具，由于四元數(shù)的乘法具有不可交換性，因此根據(jù)四元數(shù)函數(shù)與四元數(shù)傅里葉核的位置關系，將其分為右邊QFT、左邊QFT、雙邊QFT三類［5］，QFT被廣泛用于圖像處理和信號處理［6-8］。1999年，SOMMER［9］提出與雙邊QFT相關的四元數(shù)解析信號的概念，此后，四元數(shù)解析信號被用于高維信號處理［10-13］。BERNSTEIN等［12］通過對原實信號做方向Hilbert變換（partial Hilbert transform，PHT）和交叉項Hilbert變換（total Hilbert transform，THT），得到四元數(shù)解析信號的3個虛單位分量，定義了雙邊QFT意義下二維四元數(shù)解析信號。同時用四元數(shù)解析信號的極坐標表示，定義了其局部特征，實驗表明，方向Hilbert變換和交叉項Hilbert變換可以很好地保存圖片的結構信息。PEI等［14］證明了交叉項Hilbert變換能進行角點檢測，根據(jù)相位的定義，四元數(shù)解析信號的相位角包含原信號的結構信息，其模（振幅）包含原信號的能量信息，受此啟發(fā)，HU等［13］提出了雙邊QFT意義下的四元數(shù)解析信號的延拓定理，以及具有2個尺度變量的四元數(shù)解析函數(shù)。基于此，本文研究與右邊QFT相關的右四元數(shù)解析信號的延拓定理，得到了相應的四元數(shù)尺度函數(shù)。

1 預備知識

1.1 解析信號和局部特征

定義1設為實信號，對進行Hilbert變換后，得到的解析信號，記作：

定義2給定一個解析信號，其極坐標形式為

1.2 右邊QFT

本文研究右邊QFT：

2 右四元數(shù)解析信號

解析信號的高維推廣研究已有很多［9-10，12-13，15］。

定義3四元數(shù)方向Hilbert變換（QPHT）和四元數(shù)交叉項Hilbert變換（QTHT）定義如下：

利用QPHT和QTHT定義右四元數(shù)解析信號（right quaternion analytic signal，RQAS）。

定義4令則的右四元數(shù)解析信號定義為

定理1令，則

由式（4）～式（6），可得

證畢。

引理1［13］令利用泊松核和共軛泊松核定義卷積運算：

定理2令利用QPHT和QTHT構造相應的右四元數(shù)解析信號，有

定義5設四元數(shù)尺度函數(shù)則的極坐標形式為

為局部相位角的虛部。

3 基于局部相位角和局部振幅的邊緣檢測方法

方法1設模為非零的四元數(shù)尺度函數(shù)其局部相位角為，對分別關于坐標變量求導，可得

記方法1為右四元數(shù)差分相位角（right quaternion differential phase angle，RQDPA）。

方法2設模為非零的四元數(shù)尺度函數(shù)其局部相位角為，對分別關于尺度變量求導，可得

記方法2為右四元數(shù)差分相位一致（right quaternion differential phase congruency，RQDPC）。

方法3設模為非零的四元數(shù)尺度函數(shù)其局部衰減為，對m關于尺度變量求導，可得

記方法3為右四元數(shù)差分局部衰減（right quaternion differential local attenuation，RQDLA）。

3種邊緣檢測方法的步驟如下：

第1步 輸入原圖。

第2步 對原圖分別進行泊松算子與共軛泊松算子的卷積運算，得到四元數(shù)尺度函數(shù)的實部和3個虛部：

第3步 采用RQDPA，RQDPC，PQDLA 3種邊緣檢測方法，得到梯度圖。

第4步 對梯度圖進行非極大抑制處理［16］（r=1.5），縮窄邊界。RQDPA，RQDPC，PQDLA的閾值范圍分別為［10，25］，［3，4］，［2，4］。

4 實驗

以廣泛用于圖像處理的Candy算子為標準比較RQDPA，RQDPC，RQDLA，改良的差分相位一致（MDPC）［17］，差分相位一致（DPC）［18］方法的檢驗效果。MDPC和DPC均為基于解析信號相位的方法，利用非極大抑制得到更窄的邊界，MDPC 的閾值范圍為［1.0，3.5］，DPC 的閾值范圍為［2.0，3.5］，Candy算子的參數(shù)設置為MATLAB默認值。

4.1 邊緣檢測實驗

Lena、房子、辣椒和盒子的原圖見圖1。用RQDPH，RQDPC，RQDLA，MDPC，DPC分別對4幅圖進行邊緣檢測，以圖像處理的指標函數(shù)結構相似度（structural similarity，SSIM），特征相似度（feature similarity，F(xiàn)SIM），峰值信噪比（peak signal to noise ratio，PSNR）的值驗證各方法的檢測效果。RQDPA，RQDPC，RQDLA的尺度變量設為，MDPC和DPC的尺度變量設為各方法的邊緣檢測結果見圖2。由圖2知，RQDPA的邊緣檢測效果與Candy算子最接近，其次是RQDPC。MDPC和DPC的邊緣檢測效果一般，特別是房子圖和盒子圖的邊緣不夠平滑。RQDLA可檢測出雙邊界。表1為5種邊緣檢測方法與Candy算子的相似度，可知，RQDPA與Candy算子的相似度最高。

圖1 原圖Fig.1 Original images

圖2 RQDPA，RQDPC， RQDLA，MDPC，DPC，Candy算子的邊緣檢測結果Fig. 2 Comparative results of RQDPA，RQDPC，RQDLA，DPC，MDPC，Candy methods on the images

4.2 抗噪實驗

依次對4幅圖添加Speckle噪聲、Gaussian噪聲和Salt and pepper噪聲，以FSIM，SSIM，PNSR的值檢驗各方法在抗噪上的魯棒性。RQDPA，RQDPC，PQDLA的尺度變量設為MDPC和DPC的尺度變量為Lena、房子、辣椒、盒子4幅圖的抗噪實驗結果見附件（掃二維碼查閱）。結果表明，隨著各類不同噪聲的加入，RQDPA的SSIM，F(xiàn)SIM和PSNR均高于其他方法。RQDPA的抗噪性最好，RQDLA次之。

表1 RQDPA，RQDPC，RQDLA，DPC，MDPC與Candy的相似度Table 1 SSIM，F(xiàn)SIM and PSNR values of RQDPA，RQDPC，RQDLA，MDPC，DPC to Candy

5 結論

從右邊QFT的頻域角度出發(fā)，利用四元數(shù)方向Hilbert變換和四元數(shù)交叉項Hilbert變換，構造了右四元數(shù)解析信號。先利用泊松算子和共軛泊松算子，將右四元數(shù)解析信號延拓至上半空間，得到具有2個尺度變量的四元數(shù)尺度函數(shù)。再利用四元數(shù)尺度函數(shù)的極坐標表示，得到信號的局部相位角和局部振幅，其分別包含原信號的結構信息與能量信息。最后關于坐標變量和尺度變量分別求導，得到基于相位角和基于振幅的3種邊緣檢測方法：RQDPA，RQDPC和RQDLA，通過對比實驗，得到RQDPA的邊緣檢測效果最好，與目前廣泛使用的Candy算子的相似度最高，且抗噪性較好。

右邊四元數(shù)線性正則變換［5］是右邊QFT的推廣，參數(shù)更多，更復雜和靈活。目前已有研究涉及雙邊四元數(shù)線性正則變換意義下的四元數(shù)解析信號，并將其模分別應用于圖像的包絡和邊緣檢測［10，16］。進一步，將研究右邊四元數(shù)線性正則意義下四元數(shù)解析信號的延拓定理，并將其局部特征（局部相位）應用于圖像處理。

［1］HAMILTON W R. Elements of Quaternions［M］. London： Longmans Green，1866.

［2］JIANG B X， LIU Y，KOU K I， et al. Controllability and observability of linear quaternion-valued systems［J］. Acta Mathematica Sinica （English Series）， 2020，36（11）：1299-1314. DOI：10.1007/s10114-020-8167-1

［3］XIA Z C， LIU Y， LU J Q， et al. Penalty method for constrained distributed quaternion-variable optimization［J］. IEEE Transactions on Cybernetics， 2021，51（11）：5631-5636. DOI：10.1109/TCYB. 2020.3031687

［4］LIAN P. Quaternion and fractional Fourier transform in higher dimension［J］. Applied Mathematics and Computation， 2021，389： 125585. DOI：10.1016/j.amc.2020.125585

［5］HU X X， KOU K I. Quaternion Fourier and linear canonical inversion theorems［J］. Mathematical Methods in the Applied Sciences， 2017，40（7）： 2421-2440. DOI：10.1002/mma.4148

［6］FARES K， AMINE K，SALAH E. A robust blind color image watermarking based on Fourier transform domain［J］. Optik，2020， 208：164562. DOI： 10. 1016/j.ijleo.2020.164562

［7］REN K， SONG C C，MIAO X， et al. Infrared small target detection based on non-subsampled shearlet transform and phase spectrum of quaternion Fourier transform［J］. Optical and Quantum Electronics， 2020，52（3）： 168. DOI：10.1007/s11082-020-02292-x

［8］CHENG D， KOU K I. Generalized sampling expansions associated with quaternion Fourier transform［J］. Mathematical Methods in the Applied Sciences， 2018，41（11）：4021-4032. DOI：10.1002/mma.4423

［9］BüLOW T， SOMMER G. A novel approach to the 2D analytic signal［C］// International Conference on Computer Analysis of Images and Patterns. Berlin：Springer-Verlag， 1999：25-32. DOI：10.1007/3-540-48375-6_4

［10］KOU K I， LIU M S，ZOU C M. Plancherel theorems of quaternion Hilbert transforms associated with linear canonical transforms［J］. Advances in Applied Clifford Algebras， 2020，30（1）： 9. DOI：10.1007/s00006-019-1034-4

［11］LIAN P. Sharp inequalities for geometric Fourier transform and associated ambiguity function［J］. Journal of Mathematical Analysis and Applications， 2020，484（2）： 123730. DOI：10.1016/j.jmaa.2019.123730

［12］BERNSTEIN S， BOUCHOT J L，REINHARDT M， et al. Generalized analytic signals in image processing： Comparison，theory and applications［M］// HITZER E，SANGWING S J. Quaternion and Clifford Fourier Transforms and Wavelets. Berlin： Springer Basel，2013： 221-246. DOI：10.1007/978-3-0348-0603-9_11

［13］HU X X， KOU K I. Phase-based edge detection algorithms［J］. Mathematical Methods in the Applied Sciences， 2018，41（11）：4148-4169. DOI：10.1002/mma.4567

［14］PEI S C， DING J J，HUANG J D， et al. Short response Hilbert transform for edge detection［C］// 2008 IEEE Asia Pacific Conference on Circuits and Systems. Macao：IEEE， 2008：340-343. DOI：10.1109/APCCAS.2008.4746029

［15］KOU K I， LIU M S，MORAIS J P， et al. Envelope detection using generalized analytic signal in 2D QLCT domains［J］. Multidimensional Systems and Signal Processing， 2017，28（4）： 1343-1366. DOI：10.1007/s11045-016-0410-7

［16］KOVESI P. Image Features from Phase Congruency［D］.Nedlands：The University of Western Australia， 1999.

［17］YANG Y， KOU K I，ZOU C M. Edge detection methods based on modi?ed differential phase congruency of monogenic signal［J］. Multidimensional Systems and Signal Processing， 2018，29（1）： 339-359. DOI：10. 1007/s11045-016-0468-2

［18］FELSBERG M， SOMMER G. The monogenic scale-space： A unifying approach to phase-based image processing in scale-space［J］. Journal of Mathematical Imaging and Vision， 2004，21： 5-26. DOI：10.1023/B：JMIV.0000026554.79537.35

The edge detection based on the quaternion scale function

HU Xiaoxiao1, CHENG Dong2

（1. The First School of Medicine，School of Information and Engineering，The First Affiliated Hospital of Wenzhou Medical University，Wenzhou Medical University，Wenzhou325000，Zhejiang Province，China；2. Research Center for Mathematics and Mathematics Education，Beijing Normal University，Zhuhai，Zhuhai519087，Guangzhou Province，China）

The quaternion analytic signal is a generalization of analytic signal in the quaternion sense. It is constructed by an original signal and its quaternion partial and total Hilbert transforms. The signal feature representation can be provided by the polar form of the quaternion analytic signal, such as the local amplitude and local phase angle, the latter includes the structural information of the original signal. The aim of this work is to study the quaternion analytic signal associate with right-sided quaternion Fourier transform and it applications. Firstly, quaternion analytic signal associate with right-sided quaternion Fourier transform is defined. By using Possion operator, the quaternion analytic signal is extended to the quaternion scale function. The quaternion scale function provides the signal features representation. At last, three novel types of phase and amplitude-based edge detectors are proposed. Comparisons with competing methods on real-world images consistently show the superiority of the proposed methods.

right-sided quaternion Fourier transform (QFT); analytical signal; local phase angle; local attenuation; Poisson operator

O 29

A

1008?9497（2022）05?549?06

2021?03?25.

溫州市科技局資助項目（G2020031）；浙江省教育廳一般科研項目（Y202147071）；溫州醫(yī)科大學博士啟動基金項目（QTJ18012）；廣東省基礎與應用基礎研究基金項目（2019A1515111185）.

胡曉曉（1984—），ORCID：https：//orcid.org/0000-0003-1866-0413，女，博士，講師，主要從事四元數(shù)分析和應用研究.

通信作者，ORCID：https：//orcid.org/0000-0003-1866-0413，E-mail：huxiaoxiao@wmu.edu.cn.

10.3785/j.issn.1008-9497.2022.05.005