非均勻二型三角剖分二元二次樣條的數值積分公式

錢江，王凡

（1.河海大學理學院，江蘇 南京 211100；2.海岸災害及防護教育部重點實驗室（河海大學），江蘇 南京 210098；3.南京農業大學理學院，江蘇 南京 210095）

非均勻二型三角剖分二元二次樣條的數值積分公式

錢江1，2，王凡3

（1.河海大學理學院，江蘇 南京 211100；2.海岸災害及防護教育部重點實驗室（河海大學），江蘇 南京 210098；3.南京農業大學理學院，江蘇 南京 210095）

給出了構成矩形域的4個三角形子區域的二元樣條擬插值算子的等價形式，對這4個三角形子區域分別建立了數值積分公式，相加后得到一般矩形域上的數值積分公式，同時給出了構造數值積分公式所需的結點處的函數值與相應的求積系數。進一步，利用算子范數、連續模及擬插值算子的保多項式性，針對具有不同連續性的被積函數，得到了相應的數值積分公式的求積余項。研究表明，提出的數值積分公式不僅具有較高的計算精度，而且計算量約為二元張量積型求積公式的1/5。數值算例進一步說明了數值積分公式的有效性。

多元樣條；光滑余因子協調法；二元數值積分；樣條擬插值； B網

0 引言

多元樣條是研究多元數值逼近、計算幾何、有限元等的重要工具。多元樣條的研究方法除經典的張量積型B樣條［1-2］、B網［3-4］外，光滑余因子協調法［5-6］值得關注。光滑余因子協調法可以確定多元樣條函數空間維數，計算樣條基函數［6-8］，其中表示基于區域的任意三角剖分上具有階光滑度的次多元樣條函數空間。

事實上，借助光滑余因子協調法，多元樣條的任何問題都能轉化為求解等價的代數方程組。如文獻［9-10］提出了具有最小局部支集的三次樣條基函數。文獻［11］提出了二型非均勻三角剖分上的樣條函數空間。文獻［12-13］建立了均勻二型三角剖分上的二元三次、四次樣條函數空間及相應的樣條擬插值算子。文獻［14-16］研究了基于非均勻二型三角剖分的二元三次異度樣條、樣條擬插值及其導數逼近。文獻［17］借助三角Gauss型求積公式，建立了具有圓形邊界的凸多邊形元上的低次代數數值積分。文獻［18］利用四邊形有限元給出了新的求積公式，并用B網方法計算得到凸四邊形區域上的積分元素，結果表明其具有高精度。文獻［19］根據帶重節點在二型三角剖分上的二元二次B樣條函數，推導了樣條擬插值分層逼近方法，研究表明，其具有保多項式性與最優逼近性。文獻［20-23］利用樣條擬插值算子在具體算例中計算了數值積分。

主要研究內容如下：第1節給出子區域上樣條擬插值算子的等價表達式；第2節利用樣條基函數的B網系數構造數值求積公式；第3節基于樣條擬插值算子范數與連續模，分別推導被積函數具有連續性的求積余項；第4節給出數值算例。

1 子區域上樣條擬插值算子的等價表達式

計算得到，八邊形支集4個拐角處的三角域上樣條函數滿足：

用虛線將4個拐角處的三角域一分為二，如圖1所示，相應的曲面片記為，。這樣在4個拐角處的三角域上曲面片分別具有統一的表達式［6］。

圖1 的最小八邊形支集Fig.1 Minimal octagonal support of

的二型三角剖分。采用文獻［24-25］構造的樣條擬插值算子：

得到

其中，

注1式（3）也可寫為

定理1［20-21］對任意的，有

定理2對任意的樣條擬插值算子可表示為

定理3對任意的樣條擬插值算子可表示為

定理4對任意的樣條擬插值算子可表示為

定理5對任意的樣條擬插值算子可表示為

2 子區域上基于樣條擬插值的數值積分

借助于面積坐標系，二元二次多項式在三角域上的數值積分可轉化為B網系數之和與三角形面積的乘積［6］，有

引理1設面積坐標系下的二元二次多項式為

則有

定理6三角域上的數值積分公式為

事實上，由式（9），可得二重積分：

表1 與樣條函數對應的和

Table 1andcorresponding to the splines

定理7三角域上的求積公式為

表2 與樣條函數對應的和

Table 2andcorresponding to the splines

定理8三角域上的求積公式為

表3 與樣條函數對應的和

Table 3andcorresponding to the splines

定理9三角域上的求積公式為

表4 與樣條函數對應的和

Table 4andcorresponding to the splines

結合表1～表4，整理得到

定理10諸矩形子區域上的求積公式為

表5及其對應的

Table 5and its corresponding

注2由于式（6）具有保多項式性，因此，式（25）對任意的精確成立。

在計算量上，式（21）～式（24）均需9次乘法和8次加減法，式（25）需11次乘法和8次加減法，因此，矩形域上的數值積分共需次乘法和次加減法。為便于說明，繪制了矩形域在4個拐角處的非零B樣條的最小八邊形支集，如圖2所示，將八邊形支集自左至右、自上至下平移，得到每個三角形子區域上的所有非零B樣條基函數。另外，如果采用矩形域上張量積型二元二次樣條函數構造數值積分公式，則需利用代數方法精確確定求積系數，計算量較大。如對于張量積型B樣條，其數值積分需次乘法和次加減法。可見，本文構造的矩形域數值積分公式的總計算量約為基于張量積型B樣條求積公式計算量的1/5。

圖2 矩形域上八邊形支集的平移過程Fig.2 Translation process of the octagonal support over rectangular domain

3 數值積分公式的求積余項

定理11（i）若函數，則對充分大的正整數，有

證明 對于情形（i），根據B樣條基函數的單位分解性，對任意的有

有

由此，結合算子范數，推得

因此，由定理11，對被積函數具有不同光滑性的數值積分，推導相應的求積余項。

定理12設表示矩形域的面積，當充分大時，有：

對所有i，j求和，可得矩形域上的求積余項：

對所有i，j求和，可得矩形域上的求積余項：

證畢。

4 數值算例

算例1設函數非均勻剖分上x方向的節點為y方向的節點為矩形胞腔中點處的橫坐標分別為0.03，0.075，0.15，0.30，0.50，0.65，0.80，縱坐標分別為0.04，0.08，0.20，0.35，0.45，0.525，0.625，由此計算49個中點處的函數值。

由定理10可知，計算每個小矩形胞腔上的數值積分需要與此胞腔相鄰的9個胞腔中點處的函數值，因此需計算矩形域上每個小矩形胞腔上的數值積分。將中點縱坐標為的5個矩形胞腔分別稱為第層，得到數值積分近似值，按MATLAB二重積分程序dblquad計算真值，結果如表6所示。

表6 算例1數值積分的真值、近似值與誤差Table 6 The real values，approximating values and error estimation of the numerical cubature in example 1

算例2設函數定義域與矩形剖分同算例1，同理計算近似值、真值及誤差，結果如表7所示。

表7 算例2數值積分的真值、近似值與誤差Table 7 The real values，approximating values and error estimation of the numerical cubature in example 2

本文所構造的二元二次樣條的數值積分公式不僅具有良好的保多項式性，而且計算量小。另外，由于非均勻三角剖分二元二次樣條表達式的復雜性，直接用傳統的樣條函數計算擬插值，進而計算數值積分的計算量非常大，且計算過程冗長。采用B網系數可大大簡化計算過程。進一步可將二元數值積分公式應用于淺水動力學模型的求解，研究非均勻三角剖分的三次樣條數值積分問題。

感謝特拉華州立大學Shi Xiquan教授與匿名審稿專家提出的寶貴意見和建議。

［1］SCHUMAKER L L. Spline Functions：Basic Theory［M］. Malabar，FL： Krieger Publishing Company，1993.

［2］王國瑾，汪國昭，鄭建民. 計算機輔助幾何設計［M］. 北京：高等教育出版社，2001.

WANG G J， WANG G Z，ZHENG J M. Computer Aided Geometric Design［M］. Beijing： Higher Education Press，2001.

［3］FARIN G. Triangular Bernstein-Bézier patches［J］. Computer Aided Geometric Design， 1986，3（2）： 83-127. DOI：10.1016/0167-8396（86）90016-6

［4］FARIN G. Curves and Surfaces for Computer-Aided Geometric Design： A Practical Guide［M］. San Diego： Academic Press Professional，1993.

［5］王仁宏. 多元齒的結構與插值［J］. 數學學報， 1975，18（2）： 91-106.

WANG R H. Structure and interpolation of multiple teeth［J］. Acta Mathematica Sinica， 1975，18（2）： 91-106.

［6］WANG R H. Multivariate Spline Functions and Their Applications［M］. Beijing： Science Press/ Dordrecht：Kluwer Academic Publishers， 2001.

［7］SHI X Q. The singularity of Morgan-Scott triangulation［J］. Computer Aided Geometric Design， 1991，8（3）： 201-206. DOI：10.1016/0167-8396（91）90002-S

［8］XU Z Q， WANG R H. The instability degree in the dimension of spaces of bivariate spline［J］. Analysis in Theory and Applications， 2002，18（1）： 68-80. DOI：10.1007/BF02837049

［9］WANG S M. Spline interpolations over type-2 triangulations［J］. Applied Mathematics and Computation， 1992，49（2/3）：299-313. DOI：10. 1016/0096-3003（92）90031-U

［10］WANG S M， WANG C L. Smooth interpolations on some triangulations［J］. Utilitas Mathematica， 1992， 41：309-317.

［11］LIU H W， HONG D，CAO D Q. Bivariatecubic spline space over a nonuniform type-2 triangulation and its subspaces with boundary conditions［J］. Computers and Mathematics with Applications， 2005，49（11/12）：1853-1865. DOI：10.1016/j.camwa.2004.08.014

［12］LI C J， WANG R H. Bivariate cubic spline space and bivariate cubic NURBS surfaces［C］// Proceedings of Geometric Modeling and Processing 2004. Beijing： IEEE，2004：115-123. DOI：10.1109/GMAP.2004. 1290033

［13］WANG R H， LI C J. Bivariate quartic spline spaces and quasi-interpolation operators［J］. Journal of Computational and Applied Mathematics， 2006，190（1）： 325-338. DOI：10.1016/j.cam.2004.11.052

［14］QIAN J， WANG F. On the approximation of the derivatives of spline quasi-interpolation in cubic spline space［J］. Numerical Mathematics Theory Methods and Applications， 2014，7（1）： 1-22. DOI：10.4208/nmtma.2014.y12035

［15］QIAN J， WANG R H，LI C J. The bases of the non-uniform cubic spline space［J］. Numerical Mathematics： Theory，Methods and Applications， 2012，5（4）： 635-652. DOI：10.1017/S10048979 00001094

（下轉第頁）

QIAN J， WANG R H，ZHU C G， et al. On spline quasi-interpolation in cubic spline space［J］. SCIENTIA SINICA Mathematica， 2014， 44（7）：769-778. DOI：10.1360/N012013-00140

［17］ARTIOLI E， SOMMARIVA A，VIANELLO M. Algebraic cubature on polygonal elements with a circular edge［J］. Computers and Mathematics with Applications， 2020，79（7）： 2057-2066. DOI：10. 1016/j.camwa.2019.10.022

［18］HU Q Y， XIA Y，HU P， et al. A concave-admissible quadrilateral quasi-conforming plane element using B-net method［J］. European Journal of Mechanics-A/Solids， 2016，57： 34-44. DOI：10. 1016/j.euromechsol.2015.12.001

［19］LAMBERTI P， SAPONARO A. Multilevel quadratic spline quasi-interpolation［J］. Applied Mathematics and Computation， 2020，373： 125047. DOI：10.1016/j.amc.2020.125047

［20］DAGNINO C， LAMBERTI P. On the approximation power of bivariate quadraticsplines［J］. Journal of Computational and Applied Mathematics， 2001，131（1）： 321-332. DOI：10.1016/S0377-0427（00）00265-X

［21］DAGNINO C， LAMBERTI P. Some performances of local bivariate quadraticquasi-interpolating splines on nonuniform type-2 triangulations［J］. Journal of Computational and Applied Mathematics， 2005，173（1）： 21-37. DOI：10.1016/j.cam.2004.02.017

［22］DAGNINO C， REMOGNA S. Quasi-interpolation based on the ZP-element for the numerical solution of integral equations on surfaces in［J］. BIT Numerical Mathematics， 2017， 57：329-350. DOI：10.1007/s10543-016-0633-x

［23］LAMBERTI P. Numerical integration based on bivariate quadratic spline quasi-interpolants on bounded domains［J］. BIT Numerical Mathematics， 2009， 49：565-588. DOI：10.1007/s10543-009-0237-9

［24］WANG R H， LU Y. Quasi-interpolating operators and their applications in hypersingular integrals［J］. Journal of Computational Mathematics， 1998，16（4）： 337-344.

WANG R H， LU Y. Quasi-interpolating operators inon non-uniform type-2 triangulations［J］. Numerical Mathematics： A Journal of Chinese Universities，1999（2）： 97-103.

［26］WANG G， LIANG Q H，ZHENG J H. A new multilayer nonhydrostatic formulation for surface water waves［J］. Journal of Coastal Research， 2019，35（3）： 693-710. DOI：10.2112/JCOASTRES-D-18-00022.1

Numerical integration formulas of bivariate quadratic splines upon non-uniform type-2 triangulation

QIAN Jiang1,2, WANG Fan3

（1. College of Science，Hohai University，Nanjing211100，China；2. Key Laboratory of Coastal Disaster and Defence（Hohai University），Ministry of Education，Nanjing210098，China；3. College of Science，Nanjing Agricultural University，Nanjing210095，China）

In the paper, equivalent representations of the spline quasi-interpolation are presented over four triangular sub-domains contained in a general rectangular domain. Moreover, the direct bivariate numerical integration formulas are constructed over the four triangular sub-domains, while summing them yields the integration formula over the general rectangular domain. For illustration, the necessary function values and the corresponding integration coefficients are listed in several tables. Furthermore, based on the norm of the operator, the module of continuity and the reproduction of bivariate polynomials, error estimations of the numerical integration are derived for continuously differential functions with different orders. The computational cost of the proposed method is approximately 1/5 of that based on tensor-product-type quadratic splines. Numerical examples show the validity of the proposed numerical integration approach.

multivariate spline; conformality of smoothing cofactor method; bivariate numerical integration; spline quasi-interpolation; B-net

O 241.5

A

1008?9497（2022）05?555?09

2021?04?06.

江蘇省自然科學基金青年基金項目（BK20160853）；河海大學中央高校基本科研業務費項目（2019B19414）；海岸災害與防護教育部重點實驗室開放基金項目（河海大學202011）；國家留學基金資助出國留學項目（訪問學者201806715010）.

錢江（1981—），ORCID：https：//orcid.org/0000-0002-0526-5660，男，博士，副教授，主要從事數值逼近與計算幾何研究，E-mail：qianjianghhu@sina.com.

10.3785/j.issn.1008-9497.2022.05.006