應用斯特溫面積法證明兩線段相等

江蘇省泰州市海陵區森南新村15棟103室 于志洪 225300

1973 年，美國中學老師斯特溫（Steuen）應用面積方法對著名的“蝴蝶定理”進行了簡捷明了的證明，后來人們就將這種證明方法稱之為“斯特溫面積法”.下面就介紹如何運用“斯特溫面積法”來證明兩線段的相等.

例1 已知過圓的弦AB的中點M，任意引兩弦CD和EF，連接DE與CF，分別交AB于P、Q.求證：MP=MQ.（蝴蝶定理）（第24屆美國大學生數學競賽題）

圖1

例2 過正方形ABCD的頂點D作DF//AC，且CF=AC,CF與AD的延長線交于M.求證：AM=AF.（2010 年沙市高中數學競賽題）

圖2

例3 設P、Q為線段BC上兩定點，且BP=CQ.A為BC外的一點，當點A運動到使∠BAP=∠CAQ時，求證：△ABC是等腰三角形.（1986年全國初中數學競賽題）

圖3

圖4

綜上所述，應用斯特溫面積法證明兩線段相等，首先觀察圖形，根據題設，建立斯特溫面積等式；然后利用三角形的邊角與面積之間的關系，結合“等高的三角形面積的比等于底邊的比”和“等底的三角形面積的比等于高的比”的性質，將有關關系式代入斯特溫面積等式，通過化簡運算進行證明即可.用斯特溫面積法證幾何題，不添加任何輔助線，現將這種思維方法歸納如下：

依據題中結論與條件的關系，確定幾個相關的三角形，其面積依次為S1、S2、S3…、Sn，組成比積式.再把需要的面積公式代入計算或化簡，從而使問題獲得解決.此法富有規律，方法明晰，符合新課程改革的理念要求，利于學生融會貫通所學幾何和代數知識，對予培養學生學習數學的興趣、提高教學質量均頗有益處.加強這一專題內容的研究，很有必要.