深研構造函數 提升證明能力

甘肅省永昌縣第一高級中學 白亞軍 737200

1 “比較法”構造函數證明不等式

當試題中給出基本初等函數，如f(x)=x3，g(x)=lnx，進而證明在某個范圍內不等式f(x)≥g(x)成立時，可類比作差法，構造函數h(x)=f(x)-g(x)，進而證明h(x)min≥0即可.在求最值的過程中，可以利用導數為工具.此外，在能夠說明g(x)＞0 的前提下，也可以類比作商法，構造函數h(x)=，進而證明h(x)min≥1.

例1 已知函數f(x)=ex-ax（e為自然對數的底數，a為常數）的圖象在點(0,1)處的切線斜率為-1.（1）求a的值；（2）證明：當x＞0 時，x2＜ex.

（1）解:易得a=2 .

（2）證明：令g(x)=ex-x2，則g′(x)=ex-2x.由（1）得g′(x)=f(x)≥f(ln 2)＞0，故g(x)在R 上單調遞增.所以當x＞0 時，g(x)＞g(0)=1＞0，即x2＜ex.

評注: 在第（2）問中，發現“x2，ex”具有基本初等函數的基因，故可選擇對要證明 的“x2＜ex” 構造函數，得到“g(x)=ex-x2”，并利用（1）的結論求解.

2 “拆分法”構造函數證明不等式

當所要證明的不等式由幾個基本初等函數通過相乘以及相加的形式組成時，如果對其直接求導，得到的導函數往往給人一種“不知所措”的感覺.這時可以將原不等式合理拆分為f(x)≤g(x) 的形式，進而證明f(x)max≤g(x)min即可，此時注意配合使用導數工具.在拆分的過程中要注意合理性，一般以能利用導數進行最值分析為拆分標準.

3 “換元法”構造函數證明不等式

若兩個變元x1,x2之間聯系“親密”，我們可以通過計算、化簡，將所證明的不等式整體轉化為關于m(x1,x2) 的表達式（其中m(x1,x2)為x1,x2組合成的表達式），進而換元令m(x1,x2)=t，使所要證明的不等式轉化為關于t的表達式，進而用導數法進行證明，因此換元的本質是消元.

評注:（1）由題意易知f′(1)=1，可列出關于a的方程，從而求出a的值，得到函數f(x)的解析式.欲比較20172018與20182017的大小，只需比較f(2017),f(2018)的大小，即需判斷函數y=f(x)的單調性.（2）不妨設x1＞x2＞0，由g(x1)=g(x2)=0，可得lnx1-kx1=0,lnx2-kx2=0，兩式相加減，利用分析法將要證明的不等式轉化為，再利用換元法，通過求導證明上述不等式成立.

4 “轉化法”構造函數證明不等式

在關于x1,x2的雙變元問題中，若無法將所要證明的不等式整體轉化為關于m(x1,x2)的表達式，則考慮將不等式轉化為函數的單調性問題進行處理，進而實現消元的目的.