“一題一課”在初中數學教學中的應用

江蘇省邳州市明德實驗學校 李克民 221399

“一題一課”就是教師深入研究一道習題或者數學材料，透過材料的表面現象，抓出問題所隱含的數學本質內容，進行細致分析，多角度、多維度對問題進行解析，特別是對于一些核心知識要進行發散式講解，不局限于知識本身，要進行深度拓展，把與知識點相關聯的內容都引申出來，使學生的知識面得到拓寬、加深，使學生的知識結構得到完善.本文以“一題一課”的幾種教學方式為例，談它們在初中數學教學中的應用策略.

1 一題多解，讓學生的解題思維得到拓展

所謂“一題多解”就是從不同角度、按不同思路、用不同方法給出同一道習題的解答.教師在教學過程中實施一題多解和學生在學習過程中嘗試一題多解，不僅能調動學生學習的積極性，而且通過一題多解能使學生達到“思考一道習題，通曉一片知識”，讓知識在學生腦袋中形成一條知識鏈.另外，教師出示題目后，不要過多的給與提示，避免學生的思維被老師過早的給定了方向，應讓學生自由思考，讓學生原生態的想法得到暴露，思維得到有效的拉伸.

例1 如圖1，在△ABC中，點D、E分別是線段BC和AD的中點，連接CE并延長，交AB于點F.求證：

本題主要考查相似三角形的判定與性質，通過在某個拐點處添加平行線，構造“A”型或者“X”型的相似三角形，借助基本圖形中對應線段成比例來解決的典型問題.

1.1 構造“ A”型基本圖形

圖2

解法2：過點B在三角形外構造“A”型基本圖如圖3，過點B作BG∥CF交AD延長線于點G,所以∠DCE＝∠DBG，因為點D是BC的中點，所以BD=CD，又因為∠BDG＝∠CDE，所以△BDG≌△CDE，所以DE=DG，因為點E是AD的中點，所以AE=DE，所以AE=DE=DG，所以，在△ABG中EF∥BG，所以△AEF∽△AGB，有

圖3

解法3：過點A在三角形外構造“A”型基本圖如圖4，過點A作AG∥CF交BC的延長線于點G,在△ADG中CE∥AG,所以△DCE∽△DGA,所以,因為點E是AD的中點，所以AE=DE=DA,所以DC=CG=DG,因為點D是BC的中點，所以BD=DC，所以.在△ABG中CF∥AG，所 以△BCF∽△BGA，所以,所以

圖4

1.2 構造“X”型基本圖形

解法4：過點D在三角形內構造“X”型基本圖如圖5，過點D作DG∥AB交CF于點G.因為DG∥AB，所以∠EAF＝∠EDG，因為點E是AD的中點，所以AE=DE,又因為∠AEF＝∠DEG,所 以△AEF≌△DEG(ASA)，所以AF=DG.因為點D是BC的中點，所以BD=CD,在△BCF中DG∥BF，所以，所以

圖5

解法5：過點C在三角形外構造“X”型基本圖如圖6，過點C作CG∥AB交AD的延長線于點G，因為CG∥AB，所以∠ABD＝∠GCD，因為點D是BC的中點，所以BD=CD,又因為∠ADB＝∠GDC，所以△ABD≌△GCD(ASA),所以AB=GC，AD=GD.因為點E是AD的中點，所以AE=DE=，所以GE=3AE，因為CG∥AB，所以△AEF∽△GEC，所以,所以

圖6

解法6：過點A在三角形外構造“X”型基本圖如圖7，過點A作AG∥CB交CF的延長線于點G,因為AG∥CB，所以∠AGE＝∠DCE，因為點E是AD的中點，所以AE=DE,又因為∠AEG＝∠DEC，所以△AEG≌△DEC(ASA),所以AG=CD，因為點D是BC的中點，所以，所以，因為AG∥CB,所 以 △AGF∽△BCF，所以,所以

圖7

1.3 借助面積求線段的比

解法7：如圖8，連接DF，設△AEF的面積為m，△ACE的面積為n，因為點E是AD的中點，所以AE=DE，所以△AEF與△DEF，△AEC與△DEC的面積相等，都是等底等高，所以△DEF的面積是m，△DEC的面積是n,所以△DFC的面積是m+n，因為點D是BC的中點，所以BD=CD所以△BDF與△DFC的面積相等為m+n，所以△ABC的面積是3(m+n)，所以

圖8

本題是在學生學完相似三角形的性質與判定的基礎上進行考查的.學生已具備初步利用相似三角形解決問題的能力，好奇心和表現欲都非常強，讓學生根據題目給出的已知條件，結合自身情況，靈活地選擇解題切入點，去追求更獨特、更快捷的解題方法，要給予學生足夠的時間去活躍思路，使學生不滿足僅僅得出一道習題的答案，更重要的是積累解題經驗，豐富解題方法，學會如何綜合運用已有的知識不斷提高解題能力，這樣有利于鍛煉學生思維的靈活性，培養了學生的創新思維.

2 一題多變，讓學生的思維能力得到提升

教師在試題評析時，不要單純地就題論題，而要盡量對試題隱含的知識、思想方法、解題的思路等進行深度的挖掘，拓寬試題的廣度，讓試題有效的輻射相近知識點.把類似的知識有效的穿成一條知識鏈，通過一題的解決，讓學生通曉一大片的知識.

例2 如圖9，已知點C是線段AB上的一點，△ACM、△CBN都是等邊三角形.求證：AN=BM.

圖9

解：因為△ACM、△CBN都是等邊三角形，所以AC=MC,NC=BC,∠ACM=∠BCN=60°所以∠MCN=60°，所以∠ACN=120°，∠MCB=120°，所以∠ACN=∠MCB，在△ACN和△MCB中，AC=MC，∠ACN=∠MCB，NC=BC，所以△ACN≌△MCB，所以AN=BM(SAS).

本題主要考查等邊三角形的性質，全等三角形的判定和性質，本題證明線段相等，學生不難想到證△CAN≌△MCB，利用三角形全等，對應的邊相等，從而證明結論.在評講本題時，沒有局限于結論的證明，而是利用圖形，進行一系列的變式探究，強化學生對知識的理解.

2.1 變式：改變結論

例3 如圖10，已知點C是線段AB上的一點，△ACM、△CBN都是等邊三角形.求證：△ACD≌△MCE.

圖10

解：因為△ACM、△CBN都是等邊三角形，所以AC=MC,NC=BC,∠ACM=∠BCN=60°，所以∠MCN=60°，所以∠ACN=120°，∠MCB=120°，所以∠ACN=∠MCB.在△ACN和△MCB中，AC=MC，∠ACN=∠MCB，NC=BC，所以△ACN≌△MCB，所以∠CAN=∠CMB,在△ACD和△MCE中，∠CAN=∠CMB,CA=CM，∠ACD=∠MCE,所以△ACD≌△MCE(ASA).

2.2 變式：變圖拓展

本題還可以在例題2 的基礎上，將問題設置為：（1）連結DE，求證△CDE為 等邊三角形；或者是證明DE∥AB；（2）連接AN與BM交于點O，求∠MOA的度數.上述問題，對于問題的廣度和深度都進行了深度挖掘，通過解決問題訓練學生的思維能力，對圖形進行變化，可以得到下面的拓展題.

例4 如圖11，點C為線段AB上任意一點（不與A、B重合），分別以AC、BC為一腰在AB的同側作等腰△ACD和等腰△BCE，CA=CD，CB=CE，∠ACD與∠BCE都是銳角且∠ACD=∠BCE，連接AE交CD于點M，連接BD交CE于點N，AE與BD交于點P，連接PC.（1）求證：△ACE≌△DCB;（2）請判斷△AMC與△DNP的形狀有何關系，并說明理由；（3）求證：∠APC=∠BPC.

圖11

3 幾點教學啟示

“問題”是建構課堂的“腳手架”，亦是學生學習和教師教學的起始.新課程標準旨在以轉變學習方式為突破口，倡導以問題為中心的教學，基于“問題”的教學已經作為一種課堂教學的新模式被廣泛應用于教學活動之中.實踐證明，研究“問題”設計的有效性對提高課堂教學質量、促進學生發展至關重要.充分整合課程教學資源，對于“一題一課”的課堂教學來說，關注“核心問題”的設計尤為重要.在“核心問題”的設置中要關注以下方面.

3.1 “核心問題”具有適當的思維深度和廣度

學生在數學學習中，面對教師提出的富有挑戰性的問題，心理會引發強烈的探究欲望.核心問題富有思維含量和思維張力，核心問題的提出讓學生有足夠的時間和空間，帶著探求的興趣，激活已有的認知經驗，或獨立探索、或與同伴合作，自由地思考、積極地討論，從而設計合理的解決路徑，找到解決問題突破口.高質量的核心問題，是改進課堂教學的關鍵，也是學生從被動接受轉向主動探索、從學會走向會學的關鍵因素.

3.2 核心問題具有鮮明的指向性和高度的整合性

對教學內容反復肢解而成的“碎”問，容易讓學生把握不準學習的重點和難點，搞不清一堂課的主要學習任務.而中考數學課堂中的核心問題，則是從這節課的數學本質出發，針對這節課的教學重點、難點，高度提煉而成的，它是一節課的核心任務，是貫穿課堂教學的主線，課堂中派生出的其他問題、任務，都與之有著相關的邏輯關系，教師的教、學生的學都圍繞它而展開，可以讓學生對數學學習目標更明確、更清晰.

3.3 適當分解問題坡度成問題串

核心問題需要給學生留下充分的思考和探索的空間，但有時單一的核心問題可能會使挑戰性過大，讓學生產生畏難情緒而退縮，特別是對學習基礎薄弱的學生來說，高難度的問題不僅不能激發他們的學習興趣，反而會挫傷他們的學習積極性，產生負面效應.面對不同能力的學生，要體現一定層次的需求差異，根據不同需求將一個核心問題分解細化成若干個子問題，或者分層設計問題，設置一些臺階以便讓更多的學生跳一跳能夠得著.