基于各向異性誤差相似度的六自由度機器人定位誤差補償

高貫斌，牛錦鵬，劉 飛*，那 靖

（1.昆明理工大學 機電工程學院，云南 昆明 650500；2.昆明理工大學 云南省先進裝備智能控制及應用國際聯合實驗室，云南 昆明 650500）

1 引 言

機器人的定位精度是機器人的主要性能指標之一，包括重復定位精度和絕對定位精度。機器人一般具有較高的重復定位精度，可達0.02 mm，而絕對定位精度偏低，可能只有1~3 mm［1］，無法滿足精密裝配、加工和離線編程等應用的要求［2］。影響機器人絕對定位精度的因素有很多，主要包括：（1）制造及裝配過程中的誤差導致機器人的連桿及關節實際尺寸與其設計值之間產生偏差；（2）連桿及關節零件受力變形導致機器人關節和連桿的尺寸發生變化，其中包括了永久性的塑形變形以及在負載和重力作用下的彈性變形；（3）關節轉角誤差，包括運動副磨損和變形引起的關節轉角誤差、傳動機構誤差、位置傳感器誤差等；（4）其他誤差，如溫濕度變化引起的結構尺寸的變化、伺服系統的控制及執行誤差等。對于不同種類的機器人，上述的每一種因素都可能成為影響機器人絕對定位精度的主要因素［3］。針對如何提高機器人絕對定位精度的問題，國內外學者做了大量的研究，其中大部分都是采用機器人運動學標定的方法。機器人運動學標定可以分為基于模型的運動學參數標定和非模型運動學標定［4］。

基于模型的運動學標定一般分為建模、測量、參數辨識和誤差補償四個步驟［5］。建模分為運動學模型和誤差模型的建立，測量一般采用激光跟蹤儀［6］或坐標測量機［7］等大量程精密測量儀器、參數辨識主要采用最小二乘法、擴展卡爾曼濾波算法、遺傳算法和群智能優化算法等，誤差補償分為關節轉角補償和參數誤差直接補償［8］等。其中，很多學者針對機器人參數辨識方法的改進做了大量的研究。由于機器人的運動學誤差模型是一個非線性模型，可以通過忽略高階誤差項來線性化機器人的運動學模型，Grotjahn等［9］使用最小二乘法（Least Square algorithm，簡稱LS算法）來進行參數辨識，使得機器人的絕對定位精度提高。Jiang等［10］提出一種基于擴展卡爾曼濾波（Extended Kalman Filter，EKF）和粒子濾波（Particle Filter，PF）算法的運動學標定，該方法可用于具有非高斯噪聲的高度非線性機器人運動系統，使得收斂速度更快，辨識精度更高。喬貴方等［11］使用天牛須搜索算法（Beetle Anten?nae Search，BAS）和粒子群算法（Particle Swarm Optimizationm，PSO）的混合辨識算法對機器人運動學參數進行辨識，驗證了該算法具有較好的收斂速度和辨識精度。運動學標定方法通常可以將機器人的定位精度從毫米量級提升到0.3~0.8 mm［12-14］，但這個精度尚無法滿足高精度的應用場合，如精密測量、加工等。

非模型運動學標定方法不需要辨識機器人的運動學參數，只考慮機器人的末端位置誤差和關節轉角間的映射關系［15］。其中，神經網絡預測是一種典型的非模型標定方法，相關學者做了大量的工作［16-19］，但是訓練神經網絡需要海量的數據，特別是對于自由度（Degree of Frecdom，DoF）較多的如六自由度（6-DoF）及以上的機器人來說需要采集相當多的關節角數據和末端位姿數據才能保證神經網絡模型的泛化能力，這在實際應用中是非常困難的。此外，空間插值補償法也是一種非模型運動學標定方法，很多學者在這方面做了大量的研究，周煒等［20］使用反距離加權的空間插值誤差補償方法對機器人的末端位置誤差進行補償，使得機器人的絕對定位精度有近一個數量級的提高。高貫斌等［21］提出一種基于機器人運動學標定和關節空間插值補償的方法，首先通過運動學參數辨識使機器人的末端位置誤差降低，再在關節空間中使用反距離加權法對誤差插值補償，使機器人的軌跡精度進一步提高；Cao等［22］提出一種關節空間誤差補償方法，將機器人工作空間劃分為兩個三維子空間，在各個空間中分別使用反距離加權法對誤差進行插值補償，最終使得末端位置誤差明顯降低；石章虎等［23］提出基于自動導航小車（Automated Guided Vehicle，AGV）式移動制孔機器人的反距離加權空間插值補償方法，克服了當前技術對于移動制孔機器人定位誤差補償的弊端，有效降低了制孔的定位誤差。

上述研究采用反距離加權空間插值誤差補償法來提高機器人定位精度，但該方法僅以距離作為權值評價指標過于單一，未考慮誤差的各向異性分布；而且，在定位點距離某個參考點較近時，其他參考點誤差的權值相對較大，不太符合誤差相似性原理。為此，本文開展機器人工作空間中定位誤差相似性研究，分析參考點的方位對定位點誤差的影響，構建考慮距離和方向的誤差傳遞函數，提出各向異性的相似度建模方法，并基于該方法對定位點各方向的誤差進行預測和補償，最后通過實驗對補償的精度和適應性進行測試。

2 機器人誤差建模

2.1 運動學建模

機器人運動學分為正運動學和逆運動學。正運動學是已知機器人各個關節轉角，通過坐標變換計算出機器人在基坐標系下的末端位姿，常用的建模方法有Denavit-Hartenberg（DH）法［24］、Modified D-H（MD-H）法［25］和 指 數 積法［26］等。而逆運動學是已知機器人末端位姿，通過逆解計算出機器人的各個關節轉角，常用方法有解析法［27］和數值法［28］等。本文以某六自由度機器人為實驗研究對象開展研究，其外形如圖1所示。

圖1 六自由度機器人Fig.1 A six degree of freedom robot

依據MD-H規則建立了機器人的坐標系統，如圖2所示，由此得到的運動學參數名義值如表1所示。表1中的ai-1表示第i-1關節的連桿長度，即關節軸i-1和關節軸i之間公垂線的長度；αi-1表示連桿扭轉角，即軸i-1繞ai-1轉向軸i兩軸線之間的夾角；θi表示關節i的關節轉角，即兩相鄰連桿繞公共軸線旋轉的夾角；di表示連桿i偏距，即沿兩個相鄰連桿公共軸線方向的距離。

根據坐標齊次變換原理，連桿i-1和連桿i之間的相對位姿關系可以用平移和旋轉變換描述為：

其中，αi-1是繞xi-1軸旋轉，從zi-1旋轉到zi的角度；ai-1是沿xi-1軸，從zi-1移動到zi的距離；θi是繞zi軸，從xi-1旋轉到xi的角度；di是沿zi軸，從xi-1移動到xi的距離。

表1 六自由度機器人運動學參數名義值Tab.1 Kinematic parameter nominal values of the 6-DoF robot

圖2 六自由度機器人的坐標系統Fig.2 Coordinate systems of the 6-DoF robot

各相鄰連桿矩陣相乘可以得到機器人末端坐標系在基坐標系下的位姿矩陣：

通過式（1）和式（2），將機器人的末端坐標轉換到基坐標系下，其位姿矩陣描述為如下形式：

其中：R為3×3的姿態矩陣，表示末端坐標系相對于基坐標系的姿態向量；P為3×1的位置向量，表示末端坐標系原點在基坐標系中的位置。

2.2 機器人位置誤差建模

通過運動學建模可知，機器人的末端位置是由αi-1、ai-1、θi、di這 四組、共24個 運 動學參數決 定的，因此可以將機器人的末端位置P表示為各運動學參數的函數Q，函數Q的具體形式如下式所示：

通過（4）式和相關學者的研究［29］可知，機器人的末端位置誤差ΔP很大一部分是由于運動學參數誤差引起的，即ΔP受到運動學參數誤差Δαi-1、Δai-1、Δθi、Δdi的影響，這些參數誤差傳遞到機器人末端，使機器人末端的絕對定位精度變差。因此需要建立誤差模型，對機器人末端誤差進行補償，才能有效提高機器人的絕對定位精度。由于采集的機器人實際末端位置P′包含各運動學參數誤差，因此將機器人的末端位置P′表示為如下形式：

則末端位置誤差可以表示為：

按照微小誤差原理，將誤差進行線性化處理得：

將運動學參數誤差向量Δe表示為：

其中：i=1，2，…，n，n為機器人的自由度數，則誤差函數可以寫為如下形式：

其中，J為雅克比矩陣。

由此，建立了機器人位置誤差模型，為后續的機器人末端位置誤差分析和補償提供了基礎。

3 空間插值精度補償模型

3.1 機器人位置誤差相似度

通過2.2節建立的機器人末端位置誤差模型可知，機器人的末端位置誤差與機器人的運動學參數有關。對于旋轉關節的機器人而言，關節轉角θi為變量，其余運動學參數均是常量；對于有移動關節的機器人而言，連桿偏距di為變量，其余運動學參數為常量。本文的研究對象為六自由度轉動關節機器人，關節轉角θi為變量，其余參數均為常量，由此可以將機器人末端位置誤差表示為各個關節轉角的函數，如式（10）所示：

因此，當兩個定位點對應的關節轉角接近程度達到一定的范圍，不僅機器人末端位置接近，其位置誤差矢量也比較接近，則一個定位點的位置誤差矢量可以用另外一個點的位置誤差矢量來表示。其中，用關節角的歐式距離ρ來表示關節轉角間的接近程度［20］：

其中，θ1i為第一個定位點的第i個關節的關節角度，θ2i為第二個定位點的第i個關節的關節角度，i=1，2，…，6。

如 圖3所 示，Pj表 示 名 義 末 端 位 置、Pj′表 示實際末端位置、ΔPj=Q(θji)表示第j組關節角對應的末端位置誤差，用|ΔP1-ΔP2|的大小來衡量P1點的位置誤差矢量ΔP1和P2點的位置誤差矢量ΔP2的接近程度，當關節角θ1i與θ2i比較接近（即ρ比較小）時，|ΔP1-ΔP2|比較小，表明P1點和P2點之間的誤差相似度高。

圖3 位置誤差矢量相似度示意圖Fig.3 Diagram of similarity of the position error vector

上述討論了兩個定位點的關節轉角相近時，其末端位置誤差矢量也相似。對于n個定位點，若它們之間的關節轉角比較接近，則n個定位點的位置誤差矢量也比較接近。若想求得在n個定位點之間的某個未知定位點的位置誤差矢量，可以通過n個已知定位點的誤差進行預測，即通過已知定位點的誤差，利用誤差相似性建立數學模型來計算未知定位點的誤差。

3.2 反距離加權插值補償法

目前，通常采用空間插值的方法根據已知定位點誤差數據來預測未知點誤差，常用的空間插值方法有徑向基函數法、反距離加權法和克里金插值法［30］等，其中，反距離加權法因其形式簡單，插值精度高等優點而被廣泛使用。反距離加權法是當前主流的空間插值補償方法，它是一種加權平均算法，以兩點之間的距離的倒數作為權值，即距離越近，相互影響的權值因子越大；距離越遠，相互影響的權值因子就越小。當參考點分布比較均勻時，插值點的逼近程度也比較好，且計算簡單、運算速度快。但其存在以下問題：

（1）權值評價指標選擇單一。通過圖3可以看出，若要通過P1點的誤差來計算P2點的誤差，除了距離之外，還應考慮P2點和P1點各方向誤差相似性的差異。雖然在仿真中誤差具有很好的空間相似性，但實際應用中采集的數據往往受到測量誤差、環境誤差等誤差的影響，使得誤差的空間相似性與仿真存在差異，同時導致坐標各方向的誤差相似性也存在差異。基于此問題，需要根據坐標各方向的誤差相似性選擇不同的權值評價指標進行插值補償。

（2）分配到各網格參考點處的權值過于平均。根據反距離加權插值補償法的原理，通過仿真分析了距離與其權值之間的關系，仿真數據如表2所示。

表2 反距離權值Tab.2 Inverse distance weights

由表2數據可知，即使距離定位點較近的網格參考點所分配到的權值也不會遠大于其他網格參考點所分配到的權值，使得誤差相似性的特性不能充分發揮，同時，其他網格參考點分配到的權值相對較大，使得定位點的插值精度受到的影響過大。由此，需要構建差異化較大的權值評價函數，即距離定位點較近的網格參考點所分配到的權值要遠大于距離定位點較遠的網格參考點所分配到的權值。

3.3 機器人位置誤差權值評價函數

針對反距離加權法存在的問題，本文提出一種各向異性的空間插值補償方法。在考慮了參考點到定位點距離的倒數作為權值評價指標之外，本文提出一種以角度余弦值的倒數作為另一個權值評價指標。為使得參考點在機器人的工作空間分布均勻，將機器人工作空間按照一定的步長劃分為一系列的立方體網格，如圖4所示，每個立方體網格的頂點誤差可以通過測量設備如激光跟蹤儀等測量得到。每個立方體網格有八個頂點Ki（Xi′，Yi′，Zi′）（i=1，2，…，8），如圖5所示，這八個頂點可以用來計算立方體內任意一個定位點K（X，Y，Z）的誤差。圖5中K0（X0′，Y0′，Z0′）為網格中心點，其到各個網格頂點的距離一致，用di（i=1，2，…，8）表示八個網格參考點到定位點的距離，基于3.1節的分析可知距離相近的點其誤差也相近，因此，其距離的倒數可作為權值評價指標，即距離評價函數。

圖4 機器人工作空間網格劃分Fig.4 Meshing of robot workspace

如圖5所示，K、K0和網格頂點Ki可構成一個三角形，αi（i=1，2，…，8）表示三角形的邊K0K與KKi的夾角，di表示K點與各網格參考點之間的距離。當K點位置變化時，di和αi隨之變化，如圖6所示，當K點的位置變換到K′點時，di和αi也相應轉變成di′和αi′，可以看出：d1變大了，而α1變小了，d2變小了，而α2變大了。

圖5 空間網格頂點和定位點關系Fig.5 Relationships of spatial mesh vertices and position?ing points

圖6 距離與夾角關系圖Fig.6 Relationship between distance and angle

由圖6，在△KK0Ki中，根據余弦定理可得：

由式（12）可以看出，當|K0K|和|K0Ki|不變時，隨著di變小，夾角αi不斷增大，余弦值不斷減小。因為在90°到180°之間余弦值處于負值，為了方便比較大小，在夾角余弦值的基礎上加上整數τ，使函數值完全為正值，其中τ≥1，其值通常取1。將τ+cosαi的倒數ξ作為權值評價指標，即方向評價函數。則考慮距離和方向的機器人末端位置誤差權值評價函數可以定義為：

其中：γi=1/di、ξi=1/（τ+cosαi）；μ1和μ2為權值系數，決定權值評價指標γ和ξ在總權值中所占的 比 重，當μ1=1、μ2=0時，距 離 評 價 函 數 起 作用，當μ1=0、μ2=1時，方向評價函數起作用；r為加權冪指數，通常情況下r=1。

所構建的插值補償方法可以用各參考點的位置誤差預測出立方體網格中任意定位點的位置誤差ΔP′=(ΔX′，ΔY′，ΔZ′)T：

由此，本文將機器人工作空間劃分為一系列立方體網格，在立方體網格中分析了定位點與各參考點之間距離和夾角的關系，構建了距離評價函數和方向評價函數，從而綜合提出一種包含距離和方向的誤差相似度評價函數。

3.4 基于誤差相似度的位置誤差補償方法

由3.1節分析可知，在空間網格中，誤差具有相近相似原理，當定位點和網格參考點比較接近時，其兩點之間的誤差更具有相似性，空間插值算法在此網格頂點處所占的權值也要比其他網格頂點處所占的權值要大。由3.2節分析可知，距離評價函數權值分配比較平均，而本文所提方法方向評價函數對于較近的定位點具有更大的權值，使得定位點能分配到距離較近的參考點更多的誤差，從而能得到比較好的插值效果。但是，在實際應用中，機器人末端位置誤差的空間相似性在x、y、z三個方向上存在差異，并不能保證三個方向的誤差相似性都是一致的，因此可以使用式（16）計算網格各參考點的誤差加權平均和和 對應網格定位點ΔP在x、y、z三個方向上的誤差相似度：

其中：qi1為γ構建的權值，qi2為ξ構建的權值。根據式（16）可知，若網格各參考點的誤差加權平均和與插值定位點的誤差差距越小，則誤差相似度ω越大；若網格各參考點的誤差加權平均和與插值定位點的誤差差距越大，則誤差相似度ω越小。比較x、y、z各方向誤差相似度ω1和ω2的大小，如式（17）所示：

在x、y、z三個方向上，若某個方向的誤差相似度ω1大于或等于ω2，則采用距離評價函數進行插值補償；若某個方向的誤差相似度ω1小于ω2，則采用方向評價函數進行插值補償；分情況使用使得兩種權值能夠發揮出本身的特性，即各網格參考點與插值定位點誤差相似性較好時，由于方向評價函數權值差異大，ω2將大于ω1，此時插值結果較好；若各網格參考點與插值定位點誤差相似性一般時，由于距離評價函數權值比較平均，ω1將大于ω2，此時插值結果較好。因此，兩種權值在不同的情況下使用將使得插值結果優于單一權值的插值結果。同時需要注意的是，文中提出的兩定位點對應的各關節轉角較接近，機器人各關節轉角通過較小的改變就可以從一點移動到下一點，則可以認為當兩點位置比較接近時，其末端位置誤差具有相似性。

通過3.3節提出的包含距離和方向的誤差相似度評價函數，本節在此基礎上考慮了實際應用中坐標軸各方向的誤差相似性存在差異，構建了一種各向異性的誤差補償方法，該方法的有效性將在第4部分通過實驗進行驗證。

3.5 誤差補償方法

通過空間插值預測出定位點的位置誤差，將該誤差補償到機器人末端名義位置上就可以得到補償值，用補償后的末端坐標逆解出關節角，用該關節角驅動機器人就可以提高機器人的絕對定位精度。若想驗證其補償后的精度，則用測量儀器測量該定位點的實際位置。機器人末端位置補償后為：

其中：P″為補償后的位置，P為名義位置，ΔP′為3.3節由式（15）插值得到的預測誤差。用實際值P′減去補償值P″即可得到補償后的誤差ε。

由式（19）可知，插值的精度為該定位點的實際誤差和預測誤差的差值，即殘差。

4 實 驗

為驗證本文所提補償方法，以某公司生產的六自由度EC66型機器人為實驗對象，其末端最大負載為6 kg，重復定位精度為0.03 mm，工作半徑為914 mm；機器人運動誤差的測量儀器為API激光跟蹤儀，測量精度為10μm+5μm/m。實驗平臺如圖7所示。

圖7 實驗平臺Fig.7 Experimental platform

本實驗在邊長為200 mm的立方體工作空間中進行網格劃分，網格的邊長為50 mm，網格數為64個。網格參考點為125個，為了說明文章所提方法的普遍適用性，在所選擇的工作空間中任意選取64個定位點進行誤差預測和補償。

4.1 坐標系參數預辨識

由于采集的網格參考點和定位點均是在激光跟蹤儀測量坐標系下的位置，而采集的關節角通過2.1節建立的運動學模型計算得到的機器人末端位置是在機器人基坐標系下得到的，為了統一坐標系，在進行空間插值補償之前需要將兩個坐標系對齊，找出機器人基坐標系在激光跟蹤儀測量坐標系下的位姿矩陣m0T，以及靶球中心相對于機器人末端法蘭中心的位姿矩陣6BT，由此可以得到機器人末端工具靶球反射中心相對于測量坐標系的坐標變換矩陣mB T：

4.2 空間插值補償

按照規劃的工作空間網格，利用激光跟蹤儀測量各網格參考點的實際位置，計算位置誤差，隨機選取定位點，利用本文提出的方法對定位點的誤差進行預測和補償，最后與現有的基于距離的插值補償方法進行對比。具體如下：（1）使用激光跟蹤儀測量立方體網格各個參考點的實際位置并從機器人控制器中讀取相應的關節角，將關節角帶入公式（2）中即可計算出機器人末端理論位置，將關節角和采集的實際末端坐標帶入公式（6）中即可得到各個網格參考點的位置誤差；（2）在機器人工作空間中隨機選取64個定位點進行測試，利用激光跟蹤儀測量這些點的實際末端位置和關節角，同步驟（1）即可得到定位點的末端理論位置和誤差，在這里將定位點的誤差稱為計算誤差；（3）采集每個網格的中心點坐標并計算出理論位置；（4）利用公式（12）~（14）計算出|KK0|、|KKi|、|K0Ki|、距 離 評 價 函 數 和 方 向 評 價 函數，最后得到權值評價指標qi；（5）根據前幾步計算得到的網格參考點誤差、定位點理論值、網格中心點坐標和權值評價指標qi，即可根據公式（15）預測出定位點的誤差，在這里將定位點的誤差稱為預測誤差；（6）將定位點的計算誤差和預測誤差做差即可計算出定位點殘差，即插值精度。

為了說明本文方法實現的步驟，從實驗數據中取出一個定位點，對比基于距離和基于夾角余弦值的兩種評價指標計算的權值差異，從而研究兩種評價指標分別在什么情況下起作用，該定位點到8個網格參考點的距離、夾角的余弦值、距離評價函數的權值和方向評價函數的權值如表3所示。

表3 評價函數權值Tab.3 Weights of evaluation functions

通過表3數據分析可以看出，定位點距離第七個網格參考點的距離比較近，夾角的余弦值也比較小，符合3.3節所提準則。同時可以看出距離評價函數的權值在第七個網格參考點處比較大，權值比較大的網格參考點分配給定位點的誤差是最多的，因此，若第七個網格頂點的誤差相似性比較好時，該定位點的插值效果比較好，但是距離評價函數的權值在其他網格參考點處分配比較平均，使得定位點最終插值的結果受到其他網格參考點處的誤差影響比較大。而方向評價函數在第七個網格參考點處的權值比其他網格參考點處的權值都要大很多，使得該網格參考點分配到定位點的誤差最多，同時受到其他網格參考點的誤差影響比較小。因此，方向評價函數相比于距離評價函數在距離定位點較近的網格頂點處獲得的權值大，更能充分發揮出誤差相似性的優勢。分別用距離評價函數和方向評價函數對該定位點補償后的結果如表4所示，距離評價函數插值補償后的誤差絕對值的最大值為0.09 mm，方向評價函數插值補償后的誤差絕對值的最大值為0.07 mm。

表4 兩種評價指標插值結果Tab.4 Interpolation results of the two evaluation indexes

為了說明所提方法的普適性，將其余定位點分別使用距離評價函數和方向評價函數進行插值補償，補償結果分別如圖8和9所示，補償后誤差絕對值的最大值、平均值和標準差分別如表5和表6所示。從圖表中可以看出，距離評價函數和方向評價函數補償后的誤差差別并不是很大，但是距離評價函數補償后的結果在部分點處優于方向評價函數，方向評價函數在部分點處優于距離評價函數。因此，網格中定位點的分布不同，誤差相似性也會有所變化，并且實際應用中x、y、z各方向的誤差相似性也是不同的。由于方向評價函數的權值要大于距離評價函數，當各網格參考點與插值定位點誤差相似性比較好時，誤差相似度ω2將大于ω1，采用方向評價函數可以使其發揮誤差相似性的優勢，當誤差相似性一般時，采用方向評價函數只會放大誤差；而距離評價函數權值分配比較平均，當各網格參考點與插值定位點誤差相似性一般時，誤差相似度ω1將大于ω2，采用距離評價函數插值結果更好，當誤差相似性比較好時，采用距離評價函數將不能充分發揮誤差相似性的特性。同時，由于x、y、z方向的誤差相似性也是不同的，對于誤差相似性ω2大于ω1的方向采用方向評價函數，對于誤差相似性ω1大于ω2的方向采用距離評價函數，綜合兩種評價指標的優勢，使定位點的插值結果變得更好，使用本文所提空間插值補償法插值補償后的結果如圖10和表7所示。

圖8 距離評價函數插值補償后誤差Fig.8 Post-compensation error with distance evaluation function interpolation

圖9 方向評價函數插值補償后誤差Fig.9 Post-compensation error with direction evaluation function interpolation

表5 距離評價函數插值補償后誤差Tab.5 Post-compensation error with distance evaluation function interpolation

表6 方向評價函數插值補償后誤差Tab.6 Post-compensation error with direction evaluation function interpolation

結果表明：距離評價函數和方向評價函數插值補償后誤差最大值分別為0.14 mm和0.15 mm，標準差均為0.05 mm，本文方法插值補償后誤差最大值為0.11 mm，標準差最大為0.04 mm，誤差最大值比前述方法分別降低了21.4%和26.7%，標準差比前述方法降低了20%。上述最大值和標準差均是描述x、y、z方向中誤差最大方向的誤差。由此可知，本文提出的各向異性空間插值補償方法相比于單一權值插值方法插值補償后的精度有了明顯的提高。

圖10 復合評價函數插值補償后誤差Fig.10 Post-compensation error with composite evalua?tion function interpolation

表7 考慮距離和方向的復合評價函數插值補償后誤差Tab.7 Post-compensation error with composite evalua?tion function interpolation considering distance and direction

5 結 論

本文提出一種包含距離和方向的機器人定位誤差預測和補償方法。首先，建立了機器人運動學模型，在此基礎上，通過剛體微分運動學理論建立機器人位置誤差模型。通過對機器人工作空間中各定位點誤差關聯性的分析，構建包含定位點和參考點距離與方向的相似度評價函數，并基于評價函數提出一種各向異性的空間插值補償方法。實驗結果表明：提出的空間插值補償方法相對于傳統的反距離加權插值方法補償精度更高、各方向更均勻，補償后機器人在x、y、z方向定位誤差最大值下降到0.07 mm、0.11 mm、0.07 mm，從而驗證了該方法的有效性。