數控插齒機熱誤差模塊化穩健性預測模型建立

李淋，蔡站文，楊勇，李建剛

(1.重慶理工大學機械工程學院，重慶 400054；2.哈爾濱工業大學機電工程與自動化學院，廣東深圳 518055)

0 前言

隨著機床設計與制造技術日趨成熟與完善，熱誤差已經成為數控加工設備最大誤差源，制約其加工精度的進一步提升。因此，近年來數控加工設備的熱誤差建模理論逐漸成為國內外研究的熱點。周寶倉、DAI等針對大型數控磨齒機，通過建立磨齒機熱誤差試驗平臺，研究砂輪與工件軸的徑向熱誤差隨溫度變化的關系，揭示成形磨齒機熱誤差與溫度之間的關系。YANG、LIU等針對干式滾齒機的熱變形誤差特征，利用灰狼優化算法和神經網絡建立了誤差補償模型，泛化性良好。苗恩銘、WEI、LIU等采用多種算法建立了Leaderway V-450數控加工中心關鍵點的溫度和主軸向的熱變形量預測模型，大幅提升了熱誤差穩健性。目前，國內外對數控插齒機的研究主要集中在幾何誤差和回轉誤差，并取得了較好的成果和發展，然而，對數控插齒機床進行熱誤差建模的研究卻很少。為此，本文作者以YKS5132DX3型數控插齒機為試驗對象，研究其熱誤差規律及建模方法。

基于數控插齒機固有的主軸進給系統結構帶來的傳動間隙，在加工齒輪的過程中隨著溫度的上升間隙增大，進而產生波動性的熱變形，提出一種熱誤差模塊化建模方法。因特性曲線不同，對于傳統的熱誤差曲線，綜合應用常規的模糊聚類與灰色關聯度理論進行溫度敏感點的選擇，同時利用多元線性回歸模型建立熱誤差補償模型。對于模塊化建模方法，選取均值平滑法處理熱誤差曲線；與傳統的建模方法進行比對，驗證所提建模方法的穩健性。

1 溫度敏感點的選擇理論及回歸模型

熱誤差建模包括溫度敏感點的選擇和建模算法兩項關鍵理論。溫度敏感點即熱誤差模型的輸入變量，對提升模型的預測精度和穩健性起著決定性作用。為減小溫度敏感點之間的共線性和提升溫度敏感點與熱誤差之間的關聯性，依據傳統的模糊聚類結合灰色關聯度的敏感點優化方法，對試驗數據進行溫度敏感點的篩選及分析，并運用多元線性回歸算法建立熱誤差與溫度敏感點之間的函數關系。

1.1 溫度敏感點優化方法

(1)模糊聚類

①采用相關系數法建立溫度測點模糊聚類相似矩陣=[]×，,=1,2,…,(為溫度測量點數)，表示第個和第個溫度測點之間的相關系數，計算公式為

(1)

式中：為離散的測量時間點；為試驗數據長度。

→→()→…→2

(2)

(2)灰色關聯度

在系統發展過程中，如果兩個因素變化的態勢是一致的，即同步變化程度較高，則可以認為兩者關聯度較大；反之，則兩者關聯度較小。文中采用鄧氏關聯度計算公式，即:

(3)

式中：代表熱誤差；代表第個溫度測點觀測值；()、()分別代表熱誤差和第個溫度測點的第個觀測值；(,)為熱誤差和第個溫度測點之間的灰色關聯度，由各個觀測值的關聯度[(),()]求平均值而來。[(),()]計算公式如下：

[(),()]=

(4)

式中:為分辨系數，∈[0，1]，一般取=0.5。

根據以上公式計算出數控機床熱誤差與各個溫度點數據之間的關聯度。關聯度越大，說明該溫度點變化趨勢和熱誤差相似程度較大。選用每類中關聯度最大的傳感器作為溫度敏感點參與熱誤差建模。

根據模糊聚類結合灰色關聯度相結合的方法，最終確定、軸兩個方向熱誤差對應的溫度敏感點分別為、，、。

1.2 多元線性回歸模型

多元線性回歸是研究一個因變量與多個自變量之間相關關系的模型，在工程應用中被國內外學者大量使用，也是數控機床熱誤差補償控制技術中常使用的預測模型建模方法。根據機床的熱誤差實際情況，建立以多個關鍵溫度敏感點測量的溫度增量為自變量，以熱變形量為因變量的熱誤差模型，其通用公式為

=+1+2+…++

=1,2,…,

(5)

式中:(1,2,…,)為關鍵溫度敏感點溫度測量增量值;(，，…，)為溫度變量的系數;為熱變形量;為與實際測量值存在的偏差，也稱殘差。

2 數控插齒機床熱誤差試驗設計

2.1 試驗方案

為避免錯過溫度敏感點，溫度傳感器應盡量布置在熱源附近且盡可能多地布置。為此采用熱像儀對數控插齒機的工作溫度進行測量，再根據經驗對插齒機可能的溫度敏感點進行測量。本文作者對YKS5132DX3數控插齒機主軸、向進行熱誤差測量試驗，各傳感器的安放位置及作用如表1所示，具體分布位置如圖1所示。

表1 傳感器安放位置

圖1 傳感器安放位置

2.2 試驗安排

測量時，工作臺轉速設定為500 r/min，主軸以恒定的進給速度380 mm/min作往復運動，每完成一個循環(約3.5 min)主軸停轉15 s，以測量主軸、向熱誤差，并通過溫度測量系統采集該時刻的溫度數據，測量試驗持續時間均達7 h以上。

在室內無空調狀況下一共進行了兩批次試驗，結果如表2所示，熱誤差曲線如圖2所示。以K1批次試驗數據為例，圖3給出了各溫度點的溫度曲線。

表2 各試驗批次主軸轉速和環境溫度

圖2 K1、K2批次試驗數據的熱誤差曲線 圖3 K1批次試驗測溫點溫度

3 熱誤差模型建立與預測精度分析

以、軸方向熱誤差為例，利用多元線性回歸模型，分別采用傳統方法和模塊化方法對該方向熱誤差進行建模和預測精度分析，驗證模塊化建模方法的穩健性。

預測殘余標準差的大小用于表示擬合或預測精度，殘余標準差越小，表明擬合或預測誤差越小，精度越高。其計算公式為

(6)

3.1 傳統熱誤差建模方法

將敏感點溫度代入多元線性回歸算法進行建模，結合2批次、方向上的數據建立模型1、1、2、2。

1：=7.23+5.87-0.4

2：=7.62+5.21+0.42

1：=-4.97-3.10+0.46

2：=-6.99-2.66+0.83

基于、和、代入多元線性回歸算法建立的各批次模型，相互預測的殘余標準差如表3所示，其中擬合看成模型對自身的預測。用多元線性回歸模型對K1批次試驗進行預測，結果如圖4所示。

表3 傳統建模方法的多元線性回歸模型的預測殘余標準差 單位:μm

圖4 模型R1x在主軸x、y方向上的熱誤差預測值

3.2 模塊化熱誤差建模方法

針對數控插齒機固有的結構引起的波動性的熱變形，采用簡單實用的平均法對圖3所示的熱誤差曲線進行數據處理，對處理后的數據采用傳統的建模方法。

計算公式為

(7)

式中：～為熱誤差測量值；()～()為數據處理之后的熱誤差值。

根據式(7)，得到各批次試驗處理后的熱誤差數據如圖5所示。

圖5 各批次試驗x、y向數據處理前后對比

將敏感點溫度代入多元線性回歸算法進行建模，結合2批次、方向上的數據建立模型′1、′1、′2、′2。

′1：=7.40+5.65-0.28

′2：=7.65+5.16+0.22

′1：=-4.96-3.09+0.43

′2：=-6.98-2.64+0.74

基于、和、代入多元線性回歸算法建立的各批次模型，對K1、K2批次、方向處理前的數據進行預測，相互預測的殘余標準差如表4所示，其中擬合看成模型對自身的預測。

表4 模塊化建模方法的多元線性回歸模型的預測殘余標準差 單位:μm

從表3和表4可以得出以下結論:

(1)兩種建模方法對主軸向的預測殘余標準差都很穩定，相差不超過1 μm，說明模型1、2、′1、′2具有穩健性。

(2)對于主軸向來說，模型2、′2對K1批次的預測殘余標準差(4.42、4.48 μm)比模型1、′1對K2批次的預測殘余標準差(1.99、1.98 μm)約高3 μm。說明利用K1批次建立的模型對K2批次的穩健性比利用K2批次建立的模型對K1批次的穩健性較差。

(3)對于K1批次，模塊化建模方法的模型′2的預測殘余標準差(7.68 μm)低于傳統建模方法模型2的預測殘余標準差(7.73 μm)。

3.3 穩健性精度分析

根據K1、K2的溫度數據,用上述模型對數控機床主軸在、方向熱誤差進行預測。

模型對主軸向的預測殘余值的分布范圍如表5所示。

表5 K1批次數據在主軸x方向的預測殘余值分布范圍

模型對主軸向的預測殘余值的分布范圍如表6所示。

表6 K1批次數據在主軸y方向的預測殘余值分布范圍

由表5、表6可知：

(1)傳統建模方法在主軸向的預測殘余值分布范圍在0～12 μm 的概率(90%)大于模塊化建模方法的概率(89%)，模塊化預測殘余值在不同范圍的分布較均勻，說明模塊化建模方法具有較高穩健性。

(2)傳統建模方法在主軸向的預測殘余值分布范圍在0～8 μm 的概率(96%)大于模塊化建模方法的概率(95%)，模塊化預測殘余值在不同范圍的分布較均勻，說明模塊化建模方法具有較高穩健性。

4 結論

(1)針對數控插齒機固有的主軸進給系統出現熱誤差波動性熱變形，采用平均法處理數據，并提出模塊化建模方法，以模糊聚類方法和多元線性回歸建立了誤差補償模型。與傳統建模方法相比較，模塊化建模方法模型的穩健性得到了有效提升。

(2)模塊化建模方法具有積極理論意義及較好前景，計劃將此模塊化補償方法在五軸機床中進行應用和驗證，同時針對不同型號機床的特殊性進行分析，將模塊化處理方法推廣應用。