基于輪廓誤差補償的機械臂自適應非奇異終端滑模控制

朱大昌，杜寶林，盤意華，崔翱東

(廣州大學機械與電氣工程學院，廣東廣州 510006)

0 前言

隨著現代工業技術的快速發展，工業機器人作為一種高新數字化生產裝備，其制造系統運動精度的要求也越來越高。然而，由于機械臂長期運行、關節零部件磨損老化等緣故，導致機械臂在工作中容易發生各種無法預知的擾動現象，并將直接影響機械臂的加工精度及可靠性。為解決系統不確定性因素對機械臂運行性能的影響，研究人員致力于設計一種高魯棒性控制器以對不確定性因素進行補償，如模糊控制、滑模控制、自適應控制和神經網絡控制等。其中，滑模控制本質上是一類特殊的非線性控制，控制系統的結構不固定，而是在動態過程中根據系統當前的狀態進行變化，從而迫使系統按照預定滑動模態的狀態軌跡運動，且滑動模態可以進行設計并與對象參數及擾動無關，被廣泛應用于非確定機械臂精確軌跡跟蹤控制技術領域。AMER等針對機器人模型參數不確定性、負載干擾等對軌跡跟蹤精度的影響，提出了一種模糊滑模控制方法。其中，在滑模控制中，狀態跟蹤誤差快速收斂性是重要的性能指標之一。然而，基于線性滑模面設計的傳統滑模控制只能保證系統狀態漸進收斂到平衡點，而不是有限時間收斂。非奇異終端滑模控制通過在滑模面引入非線性項，可明顯加快狀態跟蹤誤差的收斂速度。SU和ZHENG針對不確定性機械臂全局有限時間跟蹤問題，提出一種完全消除奇異性的積分滑模面及其終端滑模控制方法，并證明了滑模面及其跟蹤誤差的全局收斂性。

滑模控制為非線性系統提供了一種有效而穩定的控制策略，但在設計過程中依賴于系統不確定性的先驗知識，這種假設過于保守，在實際中很難預先估計系統隨機故障參數和擾動等不確定性的界值。為解決這一問題，通常過高估計切換增益以削弱不確定性估計對控制系統的影響，但會引起高頻抖振現象。BOUKATTAYA等針對實際應用中可能出現的系統不確定性上界未知問題，提出了一種新的自適應非奇異快速終端滑模控制。徐傳忠和王永初采用徑向基神經網絡自適應方法在線估計不確定因素的上界，并根據滑模控制和反演方法設計反演滑模控制器，解決建模誤差和不確定干擾的多關節機械臂軌跡跟蹤問題。

目前對機械臂軌跡跟蹤控制的焦點在于如何提高各關節控制器對于系統不確定性因素的抗干擾能力及跟蹤性能，而對于機械臂系統不確定性直接影響末端執行器輪廓跟蹤精度等方面的研究則相對有限。在實際加工過程中,令人關注的往往是機械臂末端執行器的加工精度，但是由于機械臂多關節耦合，即使每個關節都配備了高性能的跟蹤控制器，也不足以確保零件整體的輪廓加工精度。針對正交結構數控機床的高精度輪廓控制，FANG和CHEN提出了交叉耦合控制方法，利用輪廓誤差對各軸進行補償進而提高機床各軸的協調性，以提高加工工件的輪廓精度。OUYANG等針對多自由度串聯機器人的輪廓控制進行研究，提出了一種基于末端執行器輪廓誤差和關節跟蹤誤差的交叉耦合PD控制律，從而保證了機器人末端執行器的輪廓跟蹤精度。此外，由于輪廓運動控制本質上是與軌跡相關的，而擬加工非光滑路徑拐點處位置、速度和加速度突變等現象可能會導致機構共振問題。為進一步提高輪廓運動性能，有必要將交叉耦合技術與笛卡爾空間軌跡規劃技術相結合，從而引入必要的協調機制，設計交叉耦合輪廓補償與參考位置預補償相互協調的統一框架，進而從更大范圍內研究與實現機械臂高速高精度運動。

本文作者設計一種新的非奇異終端滑模函數，并采用該函數設計非奇異終端滑模控制器；采用自適應技術對機械臂運行過程中的系統集總不確定性進行補償；利用有限時間穩定理論證明所設計的控制器具有有限時間穩定的效果。將交叉耦合控制技術與拋物線過渡軌跡規劃技術相結合，設計交叉耦合輪廓補償與參考位置預補償相互協調的統一框架，通過提高各關節的協調性，削弱系統不確定性對機械臂末端執行器輪廓跟蹤精度的影響，從而實現末端執行器對預設加工路徑的精確跟蹤控制。

1 機械臂動力學模型

1.1 機械臂動力學建模

采用牛頓-歐拉遞推方法，自由度機器人動力學方程為

(1)

由于建模誤差等不確定因素，式(1)可以寫為

(2)

(3)

機械臂動力學模型具有如下特性：

特性1，慣性矩陣()為對稱正定矩陣且有界：

(4)

(5)

式中:為任意非奇異矩陣。

特性3,重力力矩()有界：

(6)

式中:為正定常數。

1.2 機械臂隨機故障擾動模型

考慮機械臂系統存在恒偏差故障，由式(2)可得其故障模型為

(7)

(-)=diag[(-),(-),…,(-)]

(8)

式中:表示故障函數對第個狀態方程的影響。

故障函數模型如下：

(9)

式中:>0表示未知故障的進化律。

2 控制器設計

2.1 非奇異終端滑模控制

機械臂關節空間軌跡跟蹤誤差定義為

=-

(10)

式中:∈×1為預設參考輸入軌跡。

設計一種新的非奇異終端滑模函數為

(11)

式中:、∈×,分別為正定對角系數矩陣;>0;和為奇數，且滿足1<<2;sgn(·)為符號函數。

則式(11)對時間求導得：

(12)

機械臂滑模控制律構造過程如下：

根據式(11)中給定的非奇異終端滑模函數，選擇正定的Lyapunov函數形式如下：

(13)

式(13)對時間求導，并將式(12)代入可得：

(14)

將式(7)代入式(14)，可得：

(15)

式(15)經簡化整理，可寫成如下形式：

(16)

因此，等效控制可選擇為

(17)

令系統集總不確定性為

=-

(18)

則函數的上界值估計為

(19)

非奇異終端滑模控制律設計為

(20)

簡化式(20)可得：

=-(||+sgn()||)

(21)

2.2 自適應非奇異終端滑模控制器

如式(21)所示的非奇異終端滑模控制器的設計依賴于集總不確定性的上界值，即將假設為范數有界。但在實際工程中很難預先估計故障參數和擾動等不確定性的界值。為解決這一問題，采用自適應算法對系統的集總不確定性進行在線估計。

(22)

則選擇正定的Lyapunov函數為

(23)

式中：為正整數。

則式(23)對時間求導得：

(24)

設計自適應律為

(25)

因此，自適應非奇異終端滑模控制器設計為

(26)

則自適應非奇異終端滑模控制系統結構如圖1所示。

圖1 自適應非奇異終端滑模控制系統結構框圖

2.3 有限時間穩定性分析

引理1：有限時間穩定性的擴展Lyapunov函數可描述為

(27)

式中：>0；>0;0<<1，()滿足任何在處的不等式。

則對應的穩定時間可以表示為

(28)

證明：選擇Lyapunov函數為

(29)

則式(29)對時間的導數為

(30)

將式(12)代入式(30)整理得：

(31)

將控制律(26)代入式(31)可得：

(32)

(33)

(34)

式中:?1。

由于：

(35)

則：

(36)

整理式(36)可得：

(37)

根據引理1，所設計的自適應非奇異終端滑模控制器為有限時間穩定。

當=0，穩定時間表達如下：

(38)

3 基于交叉耦合的輪廓誤差補償機制

傳統機械臂軌跡跟蹤控制系統主要基于機械臂動力學模型，設計前饋補償和反饋控制策略以對機械臂各關節的跟蹤性能進行優化，通過各運動關節控制器作用使得機械臂各關節的跟蹤誤差各自漸進收斂到零域附近，進而間接提升機械臂末端執行器的加工精度。由于機械臂末端執行器跟蹤的是時變點而不是空間輪廓，可能導致末端執行器離開預設加工輪廓線，以趕上采樣時刻軌跡指定的參考位置，導致“徑向收縮”現象。

本文作者通過機械臂各關節軸的跟蹤誤差信息估計末端執行器實時輪廓誤差，進而通過交叉耦合技術將輪廓誤差分配到各關節控制器中，通過各運動軸的附加補償作用產生整體補償效果沿輪廓誤差方向的補償機制，以提高機械臂末端執行器的輪廓跟蹤精度。

3.1 輪廓誤差建模

由于軌跡輪廓可通過軌跡規劃插補擬合成直線輪廓或圓形輪廓，不失一般性，此節以直線輪廓為例，建立如圖2所示的輪廓誤差模型。

圖2 平面直線輪廓誤差建模

圖2中:點為機械臂末端執行器的實際位置;為設計的參考點;為輪廓誤差;、分別為末端執行器跟蹤誤差的軸與軸誤差分量;為參考軌跡與軸的夾角。

輪廓誤差定義為當前位置與期望輪廓曲線之間的最短距離，則平面直線輪廓誤差可表達為

=+

(39)

式中:=-sin、=cos為交叉耦合算子。

3.2 基于交叉耦合輪廓補償自適應滑模控制

采用交叉耦合方法設計輪廓運動控制器如下：

(40)

式中：、分別為輪廓運動控制器的比例增益和微分增益。

基于交叉耦合的自適應非奇異終端滑模控制器可設計為

(41)

式中:∈×1，為補償整流增益，用于校正輪廓誤差補償的各軸分量。

其控制系統框圖如圖3所示。

圖3 基于交叉耦合的自適應滑模控制系統框圖

4 數值仿真

為驗證所設計算法的控制性能，將所提出的控制器應用于二自由度剛性機械臂輪廓跟蹤控制中，仿真模型結構簡圖如圖4所示。

圖4 二自由度機械臂

建立該機械臂動力學模型為

(42)

=0

=(+)cos+cos(+)

=cos(+)

設置==1 kg；==0.2 m；==0.1 m;=0.64 kg·m,=0.16 kg·m；=9.8 m/s。

建立機械臂工作空間與關節空間的誤差關系如下：

=()

(43)

式中:為工作空間的誤差向量;為關節空間誤差向量;()為二自由度機械臂雅可比矩陣，定義為

(44)

則輪廓誤差可表達為

=[,]=[,]()

(45)

該機械臂輪廓誤差補償整流增益設計為

[,]=[,]()

(46)

考慮系統內部建模誤差及外界隨機干擾對其運動控制性能的影響，關節摩擦和干擾項分別建模為

(47)

(48)

4.1 未經規劃的路徑跟蹤仿真分析

設置仿真時長為3 s，令系統仿真步長為0.00 1 s，取系統初始狀態為=[-0.2,1.2]，軸、軸方向軌跡分別設計為

為驗證所設計的基于交叉耦合控制的自適應非奇異終端滑模控制器(CCCANTSMC)的有效性，將所提方法與PID控制器、非奇異終端滑模控制器(NTSMC)、自適應非奇異終端滑模控制器(ANTSMC)進行對比。PID參數設置為=diag[2 500,2 500],=diag[150,150],=diag[650,650]。對于非奇異終端滑模控制器，其控制參數設置為:=3,=diag[0.5,0.5]，=diag[0.2,0.2],=diag[15,15],=diag[150,250],=5;自適應律參數設置為=0.1。輪廓運動控制器的比例增益和微分增益設置為=80,=30,=12。

圖5、圖6所示分別為關節1、2的軌跡跟蹤響應和末端執行器輪廓跟蹤響應。表1所示為各控制器仿真性能比較。

表1 各控制器仿真性能比較結果

圖5 關節1、2的軌跡跟蹤響應(規劃前)

圖6 末端執行器輪廓跟蹤響應(規劃前)

為便于比較，取平均跟蹤誤差為性能指標：

(49)

由圖5、圖6和表1可知：所設計的控制器在初始階段能快速對輪廓誤差進行優化，并且各關節的跟蹤性能也得到改善；但是在相鄰直線段的連接拐點處,由于速度、加速度的突變導致各控制器的控制性能都有一定程度的削弱。

4.2 拋物線過渡軌跡規劃路徑跟蹤仿真分析

為分析工作空間非光滑路徑拐點處位置、速度突變對機械臂運行性能的影響，令各控制器的參數與上一小節保持一致，在相鄰直線段間采用拋物線過渡規劃技術光滑過渡，則直線段各插補點位置設置為

(50)

式中:、為直線起始位置;Δ、Δ分別為軸和軸的位置增量;為歸一化因子。

選用PID控制器進行性能對比，PID參數設置為=diag[3 500,3 500],=diag[150,150],=diag[650,650]。對于自適應非奇異終端滑模控制器，其控制參數設置為:=3,=diag[0.5,0.5]，=diag[0.2,0.2],=diag[10,10],=diag[80,180],=5;自適應律參數設置為=0.1。輪廓運動控制器的比例增益和微分增益設置為：=80、=30、=12。

圖7、圖8分別展示了關節1、2的軌跡跟蹤響應和末端執行器輪廓跟蹤響應。表2所示為規劃后各控制器仿真性能比較。可知：經拋物線過渡的路徑規劃，在直線段的連接拐點處各控制器的控制性能都有一定程度的提升。所設計的控制器在兩關節動態性能存在差異的情況下，末端執行器具有更好的輪廓跟蹤性能；與非耦合控制方法相比，所設計控制系統的末端執行器輪廓跟蹤誤差更小，各關節穩態誤差均在10rad以內，并對外界干擾具有良好的魯棒性。

圖7 關節1、2的軌跡跟蹤響應(規劃后)

圖8 末端執行器輪廓跟蹤響應(規劃后)

表2 經拋物線過渡軌跡規劃后各控制器仿真性能比較結果

5 實驗驗證

實驗設備如圖9所示，機器人實驗樣機設計為一個平面二自由度機械臂，兩轉動關節采用交流伺服電機驅動，通過某公司的GTS-400-PV-PCI四軸運動控制卡，配合編碼器等數據采集模塊和模擬輸出模塊與實驗樣機形成閉環控制系統。

圖9 二自由度機械臂實驗平臺

為驗證所設計的控制器CCCANTSMC的工程實用性，將所提方法與PID控制器、自適應非奇異終端滑模控制器ANTSMC進行對比。

設置實驗時間為3 s，采樣點個數為30 001；設置PID控制器參數為：=diag[0.009,0.001 2]，=diag[3.5,0.8]，=diag[0.015,0.01]。對于自適應非奇異終端滑模控制器ANTSMC，其控制參數設置為=3，=5，=diag[0.5,0.5]，=diag[40.5,42.2]，=diag[12.05,12.05]，=diag[0.5,5.5]；自適應律參數設置為=0.2。輪廓運動控制器的比例增益和微分增益設置為：=0.05、=0.001,=0.002。圖10、圖11所示分別為機械臂關節1、2的軌跡跟蹤響應和末端執行器輪廓跟蹤響應。表3所示為各控制器實驗性能比較。

圖10 規劃前關節1、2的軌跡跟蹤響應(實驗條件下)

圖11 規劃前末端執行器輪廓跟蹤響應(實驗條件下)

表3 規劃前各控制器實驗性能比較結果(實驗條件下)

由圖10、圖11和表3可知：所設計的控制器相對于PID控制器具有更加優越的輪廓控制性能。在相鄰直線段的連接拐點處，由于位置、速度及加速度突變，各控制器在第1 s和第2 s會產生一定程度的性能退化，但所設計的控制器對這類突變的適應能力比PID控制器好，其中經交叉耦合補償的控制系統的輪廓跟蹤誤差較小。

為分析工作空間非光滑路徑拐點處位置、速度突變對機械臂運行性能的影響，令各控制器的控制參數保持不變。圖12、圖13分別展示了經拋物線過渡軌跡規劃的機械臂關節1、2的軌跡跟蹤響應和末端執行器輪廓跟蹤響應。表4所示為規劃后各控制器實驗性能比較。

圖12 規劃后關節1、2的軌跡跟蹤響應(實驗條件下)

圖13 規劃后末端執行器輪廓跟蹤響應(實驗條件下)

表4 經拋物線過渡軌跡規劃后各控制器實驗性能比較結果(實驗條件下)

由圖12、圖13和表4可知：所設計的控制器(CCCANTSMC)較PID控制器具有更加優越的控制性能。經拋物線過渡的路徑規劃，在相鄰直線段的連接拐點處各控制器的控制性能都會有一定程度的提升；從圖12、圖13可以看出:所設計的控制器在兩關節動態性能存在差異的情況下，末端執行器具有更好的輪廓跟蹤性能。與非耦合控制方法相比，所設計的控制律末端執行器輪廓跟蹤誤差更小，對外界干擾具有良好的魯棒性。

由于該實驗樣機兩關節均采用帶傳動裝置傳遞轉矩，在啟動時刻需要皮帶張緊過程，從而在初始階段對系統的跟蹤性能會產生一定程度的影響。

6 結論

本文作者針對工業機器人模型誤差、外部隨機擾動等不確定性因素對末端執行器輪廓跟蹤精度的影響，提出一種基于交叉耦合的自適應非奇異終端滑模控制方法。利用有限時間穩定理論證明了所設計的控制器具有有限時間收斂的效果；增強了各關節控制器的抗干擾能力，有效抑制了滑模控制的高頻抖振現象。將交叉耦合控制技術與拋物線過渡軌跡規劃技術相結合，設計交叉耦合輪廓補償與參考位置預補償相互協調的統一框架。通過提高各關節的協調性，削弱系統外部干擾、執行器故障等不確定性對機器人末端執行器輪廓跟蹤精度的影響，從而實現末端執行器對預設加工路徑的精確跟蹤控制，能夠獲得比傳統軌跡控制方法更高的輪廓控制精度。