數列求和的本源探究

◎李 安

(廣東省佛山市三水區實驗中學，廣東 佛山 528100)

數列求和是在數列的概念、通項公式、等差(等比)數列及其前項和等知識的基礎上自然生成的內容，它既是對上述基礎知識的運用，又是培養學生觀察、聯想、變形、轉化等數學能力，提高學生探尋規律意識,培養學生創新能力的良好素材《普通高中數學課程標準(2017年版)》指出，數學學科的核心素養包括數學抽象、 邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析數列求和不僅能考查學生的學科核心素養，還能考查學生觀察、歸納、轉化和創新等能力

中學數學的內容都有本質的精簡性、思想的樸實性，本源上都是自然且直觀的數列求和是研究具有一定規律的一列數的求和，其本源是探究基于數列代數結構特征的化簡過程，即將數列的前項和刻畫為關于項數的函數表達式

1 套路化方法求和的本源探究

好的數學教學的根本標準是“數學育人”，而數學的學科性質決定了數學育人方式的與眾不同研究一個數學對象需要“基本套路”，學生學會這樣的“基本套路”將對其終身發展產生很大的影響基于等差(或等比)數列代數結構特征的本源，我們可歸納出數列求和的以下套路化方法

1.1 公式法

基于等差、等比數列通項公式與前項和公式的代數結構特征，直接利用公式求和

A.=2-1 B.=3-2

C.=4-3D.=3-2

1.2 錯位相減法

{}為等差數列,{}為等比數列，則數列{·}的求和是基于數列{·}通項·的代數結構特征，利用等比數列求和的程序化過程——錯位相減法求和

2(2020年高考數學全國Ⅰ卷理科第17題)設{}是公比不為1的等比數列，為，的等差中項

(2)若=1，求數列{}的前項和

由題設，可得=(-2)-1

設數列{}的前項和為，則

=1×(-2)+2×(-2)+3×(-2)+…+(-1)×(-2)-2+×(-2)-1， ①

-2=1×(-2)+2×(-2)+3×

(-2)+…+(-1)×(-2)-1+×(-2)， ②

①-②，得3=1×(-2)+[1×(-2)+1×(-2)+…+1×(-2)-1]-×(-2)

1.3 并項法

已知等差數列{}的首項為、公差為，等比數列{}的首項為、公比為(≠1)，則數列①{(-1)}、數列②{}的求和({}滿足++1=或++1=)都是基于數列通項的代數結構特征進行并項求和，具體程序化過程如下

對于數列①{(-1)}：設數列{(-1)}的前項和為，則：

當為偶數時：當為奇數時：

=-+-+-…--1+

=(-+)+(-+)+…+(--1+)

=-+(-)+(-)+…+(-1-)

對于數列②{}：{}滿足++1=或++1=，設數列{}的前項和為，則：

當為偶數時：++1=當為奇數時：

=++++…+-1+

=(+)+(+)+…+(-1+)

=++…+-1

=+(+)+(+)+…+(-1+)

=+(++…+-1)

1已知{}的通項公式為=(-1)(3-2)，則=( )

A.15 B.12 C.-12 D.-15

由=(-1)(3-2)，得

2=6-2,2-1=-6+5,

∴2-1+2=3,

即+=3,+=3,+=3,+=3,+=3,

∴=3×5=15

故選A

1.4 裂項相消法

3(2017年高考數學新課標Ⅲ卷文科第17題)設數列{}滿足+3+…+(2-1)=2

1.5 分組法

已知數列{},{}的通項公式，則數列{±}的求和是基于通項±的代數結構特征進行分組求和

即2-1=1,2=，

∴++…+22=×1+×+×1+×+…+2-1×1+2×

=(++…+2-1)+(×+×+…+2×)

=3×[1+3+…+(2-1)]+6×(1×3+2×3+…+×3)

2 新情境數列求和的本源探究

近幾年高考數學全國卷在數列求和問題中設計了考查思維能力的新情境問題，加大了試題的靈活性，立足于“多考一點想，少考一點算”，以減少學生死記硬背和“機械刷題”的現象此類問題求解的本源是基于新情境數列的結構特征，通過觀察、歸納、挖掘、重構數列各項間的規律進行求和

5已知公比大于1的等比數列{}滿足+=20,=8

(2)記為在區間(0,](∈)中的項的個數，求數列{}的前100項和

由題設，可得=2，則有：

蘇聯數學教育家奧加涅相在《中小學數學教學法》一書中指出：“必須重視,很多習題存在著進一步擴展其數學功能、發展功能和教育功能的可能性……從解本題到轉向獨立地提出類似的問題和解答這些問題,這個過程顯然在擴大解題的‘武器庫’,學生利用類比和概括的能力在形成，辯證思維的獨立性以及創造思維性的素質也在發展”顯然，數列求和問題中的“情境”可以變換，但其本源是通過設置一定的“情境”對數列進行重構而產生新的規律，使習題潛在的發展功能和教育功能得到擴大，使學生的認知能力、辯證思維的獨立性以及創造思維性的素質得到了發展，自然也就獲得了解決一類問題的方法

2(2020年高考數學全國Ⅰ卷文科第16題)數列{}滿足+2+(-1)=3-1，前16項和為540，則=________

由+2+(-1)=3-1，得

當為奇數時，+2=+3-1；

當為偶數時，+2+=3-1

設數列{}的前項和為，

則=++++…++

=(+++…+)+(+++…+)

=[+(+2)+(+8)+…+(+38)]+

[(+)+(+)+(+)+(+)]

=[+(+2)+(+10)+(+24)+(+44)+(+70)+(+102)+(+140)]+(5+17+29+41)

=8+392+92=8+484

∵數列{}的前16項和為540，∴8+484=540，

∴=7

3(2016年高考新課標Ⅱ卷理科第17題)為等差數列{}的前項和，且=1，=28記=[lg]，其中[]表示不超過的最大整數，如[09]=0,[lg 99]=1

(2)求數列{}的前1000項和

由題設條件可求得數列{}的通項公式=，則有：

當1≤<10時，=[lg]=0；

當10≤<100時，=[lg]=1；

當100≤<1000時，=[lg]=2；

當=1000時，=[lg]=3

∴數列{}前1000項的和為

0×9+1×90+2×900+3×1=1893

3 結束語

教師在教學中要踐行數學的育人功能，發展學生的核心素養，奠定學生終生發展的基礎數列求和是數列的重要內容，是數列知識的綜合體現與應用，能培養學生的關鍵能力和學科素養因此，在教學中，教師不能只關注教科書式的“數列求和方法”，而應引導學生在實踐中深度思考數列求和的本源，引導學生挖掘數列的代數結構特征，使數列求和成為直觀的化簡計算這樣的教學實踐既發展了學生的認知能力、辯證思維能力和創造性素質，又提高了學生解決問題的關鍵能力和思維品質