以問題串為驅動的課堂教學設計
——以“方程的根與函數的零點”為例

◎榮 霜 程國忠

(西華師范大學數學與信息學院，四川 南充 637002)

數學家哈爾莫斯有一句名言：“問題是數學的心臟”為了在課堂教學中更好地調動學生的積極性，激發學生的數學學習興趣，教師可以通過提出問題，以問題串為驅動開展教學而好的數學問題需要具有以下特征：(1)好的數學問題可以與實際生活相聯系，讓學生體會到“數學從生活中來，到生活中去”，并深刻地認識到數學與實際生活的密切關聯；(2)數學問題要具有趣味性，讓學生能夠充分體會到數學學習過程中的樂趣，從而樂于學習；(3)好的數學問題應具有一定的應用價值和教育價值，從而吸引學生、感染學生；(4)好的數學問題應具有發展性、探索性，可以進一步引申、拓展和推廣；(5)好的數學問題應具有一定的難度，不能讓學生依靠簡單的模仿就能夠輕松地解決問題，要易于理解，但又具有一定的挑戰性

一、問題驅動的課堂教學模式

問題驅動的課堂教學模式是以問題為驅動，借助問題開展教學，使學生在解決問題的過程中掌握基礎知識和基本技能，感悟數學思想方法的一種教學模式問題驅動的教學模式可以強化學生的內部學習動機，提高學生的認知內驅動力而認知內驅動力的產生大部分來源于學生對于未知事物的好奇以及對未解決問題的求知欲，因此，教師在課堂教學中適時地提出好的數學問題能夠有效激發學生的求知欲，調動學生的積極性，從而提高課堂教學效率關于什么是好的數學問題，文章開頭已經進行了討論，這里不再贅述

教師在借助問題進行課堂教學時應尤其注意問題的難度與關聯度其一，對于問題的難度來說，如果教師提出過于簡單的問題，學生運用已學的知識便能夠輕易得出答案，他們便會產生疑惑：“我用已經學過的方法就能解決的問題，為什么還要費時、費力學習新的方法？”而難度過大的問題又會使學生產生畏懼心理，打擊學生學習的積極性，對本節課要學習的新知望而卻步因此，教師提出的問題難度要適中，具有一定的挑戰性，使學生經過學習才能夠解決其二，若教師提出的問題之間毫無關聯，或者提出的問題是學生完全陌生的，學生便會感到突兀，對其內部學習動機起到負強化作用，使學生喪失學習興趣因此，教師在設計問題時要注意從學生熟悉的事物入手，同時設計的問題之間要互相關聯，做到環環相扣，層層遞進，以問題串的形式呈現，強化課堂的整體性和連貫性

接下來筆者以“方程的根與函數的零點”這個課題為例進行論述說明“方程的根與函數的零點”在高中數學知識體系中有著至關重要的地位，本節內容為后續學習“二分法求方程的近似解”奠定了基礎，同時，本節內容中滲透的方程與函數以及數形結合的數學思想方法是高中數學學習過程中的重要思想方法因此，筆者選取本節內容，以問題串為驅動進行了如下的教學設計

二、教學設計

(一)教學分析

本節課的內容選自人教A版高中數學必修一的第三章第一節，是“函數與方程”章節的第一課時學生在初中階段已經學習過二次函數和一元二次方程，并初步掌握了利用函數圖像研究函數性質的能力，這為本節課知識內容的學習打下了一定的基礎，但還缺乏將函數與方程聯系起來的思想方法本節內容既是對學生初中所學知識的承接，又為后續學習二分法做了鋪墊，有著承上啟下的作用

(二)教學目標

知識與技能：理解函數零點的概念，能夠運用零點存在性定理解決簡單的數學問題

過程與方法：初步體會方程與函數的數學思想方法，能夠熟練完成方程的求根問題與函數零點問題之間的相互轉化

情感、態度、價值觀：在學習零點的概念以及零點存在性定理的過程中感悟方程與函數的思想方法、數形結合的思想方法以及從特殊到一般的思想方法

(三)教學重、難點

重點：函數零點的概念，零點存在性定理

難點：掌握零點存在性定理，并辨析其使用條件

(四)教學過程

(1)問題導入

問題1：下列方程分別有幾個實根？你是如何判斷的？你聯想到了什么？

①2-3=6； ②-2-3=0； ③ln+2-6=0

【設計意圖】前兩個方程比較簡單，從熟悉的一元一次方程和一元二次方程入手，學生能夠輕松求得答案，同時，教師可以引導學生通過方程聯想到與之相對應的函數對于第三個方程，學生雖然能夠聯想到與之對應的函數=ln+2-6，但依然無法求解，從而設下懸念，激發學生的求知欲問題1的設計既考慮到了問題難度的適宜性，從第一小題到第三小題難度依次增加，并在第三小題為學生設下了需要本節課學習的新知才能解決的問題，又考慮到了新舊知識的關聯度，由熟悉的方程引入，使學生易于接受，同時設下懸念，激發學生的求知欲

(2)探求新知，得到概念

學生在解決問題1的過程中發現，問題1中的方程都能與函數聯系起來，在此基礎上，教師可引導學生思考方程與函數之間到底有著什么樣的聯系

問題2：請完成下面的表格，并觀察方程的根與之相對應的函數圖像間有怎樣的關系

方程f(x)=0x2-2x-3=0x2-2x+1=0x2-2x+3=0方程f(x)=0的根函數y=f(x)的圖像函數y=f(x)與x軸的交點坐標

【設計意圖】在問題1的基礎上提出問題2，幫助學生將“數”的問題與“形”的問題相結合，通過完成表格中的內容，學生能夠清晰、直觀地觀察出一元二次方程的實數根同二次函數的圖像與軸的交點坐標之間的關聯，得出一元二次方程的實數根就是與之相對應的二次函數圖像與軸交點的橫坐標的值，并從中初步體會數形結合的思想方法問題2與問題1之間有較好的關聯度，是對問題1的進一步思考探究，同時，問題2本身具有較好的發展性和探索性，讓學生從特殊的方程推廣到一般方程進行探究

問題3：其他方程與相對應的函數圖像之間也有這樣的關系嗎？

【設計意圖】問題3是在問題2的基礎上做進一步拓展、延伸，從一元二次方程與二次函數圖像間的關系推廣到一般方程與相對應的函數圖像間的關系，引發學生進行思考探究，使學生在探究的過程中體會從特殊到一般的數學思想方法當學生指出其他方程與相對應的函數圖像同樣具有這樣的關系時，教師引出本節課的新知

函數零點的概念：對于函數=()，我們把使()=0的實數叫作函數=()的零點

問題4：從函數零點的概念中，你能看出哪些等價關系？

方程()=0有實數根?函數=()有零點?函數=()的圖像與軸有交點

【設計意圖】問題4可培養學生的概念辨析能力，讓學生從函數零點的概念中找出等價關系，培養學生的歸納總結能力，深化學生對函數零點概念的理解同時，問題4通過三者的等價關系突出了函數零點的特殊地位：一方面，函數的零點等價于相對應方程的根，這是函數零點在“數”方面的意義；另一方面，函數零點等價于函數圖像與軸交點的橫坐標，這是函數零點在“形”方面的意義，加深了學生對數形結合思想的理解和掌握

(3)課堂練習，鞏固概念

問題5：函數()=(-5)(+9)(-6)的零點是( )

A.(5,0),(-9,0),(6,0) B.5，-9，-9,-9，6

C.(0,5),(0,-9),(0,6) D.5,-9,6

【設計意圖】問題5可讓學生進一步認識到函數的零點并不是由坐標表示的“點”，而是一個實數，由此加深學生對函數零點概念的理解

問題6：現在我們可以解決問題1中ln+2-6=0的實數根的問題了嗎？可以找到=ln+2-6的零點嗎？

教師在幾何畫板中向學生展示函數=ln+2-6的圖像，幫助學生解決問題

追問：如果不借助幾何畫板，我們能判斷這個函數有幾個零點嗎？

【設計意圖】在得到函數零點的概念之后，借助新知解決問題1中未解決的問題，通過作出函數=ln+2-6的圖像，可以清晰看到函數圖像與軸只有一個交點，由此得到問題1的答案，方程ln+2-6=0有且僅有一個實數根同時，利用追問設下新的懸念，對于不方便直接作出函數圖像的問題如何判斷函數零點，以此引出零點存在性定理問題6的提出加強了課堂的整體性、連貫性，既解決了問題1中未解決的問題，又為進一步探究零點存在性定理做了鋪墊

(4)解決問題，再探新知

問題7：判斷()=-2-4有幾個零點，你可以指出它的零點的大致范圍嗎？

圖1

【設計意圖】學生在利用剛學習的函數零點的概念解決該問題時，會發現如果從“數”的角度出發，通過計算方程的根解決問題較為復雜，而從“形”的角度出發，利用函數的圖像能更直觀地看出結果，并從中歸納、總結出零點存在性定理

(5)鞏固練習，課堂小結

問題8：現在可以不依靠函數的圖像判斷函數=ln+2-6的零點的大致范圍了嗎？如何判斷？

問題9：判斷以下命題是否正確，錯誤的話你能舉出反例嗎？

問題10：本節課你學到了哪些知識？體會到了哪些數學思想方法？

學生自主歸納，教師總結：本節課我們學習了一個概念、一個定理以及兩種數學思想方法

【設計意圖】問題10培養了學生的反思與歸納總結能力，在歸納總結的過程中加深學生對本堂課所學新知的認識與理解，以及對數形結合和從特殊到一般的數學思想方法的體會

三、教學反思與建議

(一)反思

本節課從引入到探究函數零點的概念共設計了四個問題，問題1從學生熟悉的方程入手，由易到難，由簡入繁，難度層層遞進，并設置了懸念，既給了學生解決問題的成功體驗及信心，又留下了挑戰，激發學生進行思考探究的興趣；問題2，3是在問題1的基礎上進行的進一步探究，在教師的引導下，學生進行自主探究，分享探究結果，并進行討論，在探究的過程中初步體會數形結合以及從特殊到一般的數學思想方法，充分發揮了學生在學習過程中的主體作用；問題4通過方程的實數根、函數的零點以及函數的圖像之間的等價關系的轉化，加深了學生對函數零點概念的理解，進一步體會了數形結合的數學思想方法

問題5，6的提出既幫助學生鞏固了剛學習的函數零點概念，又設置了新的懸念，引發學生進行新的思考，在此基礎上提出問題7，在教師的引導下，學生自主探究得出零點存在性定理；問題8利用函數=ln+2-6將整個課堂串聯起來，加強了整堂課的整體性；問題9，10幫助學生辨析概念，總結歸納，使整堂課更加完整

總的來說，本節課的設計以判斷方程的根的問題引入，既有學生運用已有知識便能解決的問題，又有具有一定難度、無法直接計算的問題，這激發了學生的求知欲學生利用已有知識無法從“數”的角度解決問題，進而從“形”的角度進行思考，借助函數圖像解決問題問題1到問題10的設置層層遞進，環環相扣，教師通過不斷提出新的問題的方式改變了傳統課堂“滿堂灌”的形式，以問題串為驅動激發了學生的求知欲，促進學生積極思考，并在解決問題的過程中使學生掌握本節課知識內容，感悟方程與函數以及數形結合的思想方法

(二)建議

現代數學教育強調教學要以學生的發展為本，提高學生的學習興趣，強化學生學習的內部動機，而以問題串為驅動的教學模式很好地實現了這一目標，該教學模式能夠在很大程度上激發學生的求知欲，促使學生積極主動地學習

教師在采用問題驅動的教學模式開展教學時需要注意以下幾點：首先，要適時提出問題，做到每個問題都有價值、有意義，避免由傳統課堂的“滿堂灌”變成為了提問而提問的“滿堂問”；其次，要設置合適的問題串將課堂串聯起來，加強課堂的整體性及連貫性；最后，提出的問題難度要適宜，并在提出問題后給予學生提示或引導，幫助學生理解和解決問題