APOS理論在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中的應(yīng)用
——以“三角函數(shù)概念課”為例

◎陳科融 鄭伯川

(西華師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息學(xué)院，四川 南充 637000)

1 引 言

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，但當(dāng)下學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)效果不理想，主要包括兩方面原因：(1)數(shù)學(xué)概念本身較抽象，學(xué)生理解有難度；(2)教師只充當(dāng)知識(shí)的傳授者，在教學(xué)過(guò)程中忽視學(xué)生的主體性，枯燥地向?qū)W生灌輸課本上的數(shù)學(xué)概念，不注重引導(dǎo)學(xué)生感知構(gòu)建新數(shù)學(xué)概念的必要性，導(dǎo)致學(xué)生知其然不知其所以然教師在這種情況下要求學(xué)生熟練運(yùn)用新習(xí)得的數(shù)學(xué)概念進(jìn)行解題，正確率會(huì)如何呢？為了提高解題正確率，學(xué)生只能求助于大量的習(xí)題，從眾多習(xí)題中尋找數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)在雙減政策以及高效學(xué)習(xí)的教育環(huán)境下，題海戰(zhàn)術(shù)不再適用于數(shù)學(xué)教學(xué)，故教師科學(xué)地設(shè)計(jì)概念教學(xué)對(duì)學(xué)生掌握數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)至關(guān)重要那么在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中教師該如何進(jìn)行數(shù)學(xué)概念教學(xué)呢？

杜賓斯基基于建構(gòu)主義提出了數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的APOS理論該理論指出了學(xué)生習(xí)得數(shù)學(xué)概念的四個(gè)階段：操作、過(guò)程、對(duì)象、圖式其中，操作階段指學(xué)生初步感知數(shù)學(xué)對(duì)象，充分感知數(shù)學(xué)概念建立的必要性；過(guò)程階段指學(xué)生通過(guò)外界幫助和自主探索，感受數(shù)學(xué)概念的形成過(guò)程，并抽象出數(shù)學(xué)本質(zhì)；對(duì)象階段指學(xué)生通過(guò)多樣化的數(shù)學(xué)表征，概括數(shù)學(xué)概念，使其具有操作性，并可以簡(jiǎn)單運(yùn)用數(shù)學(xué)概念解題；圖式階段指學(xué)生在數(shù)學(xué)思想方法的指導(dǎo)下，形成與其他數(shù)學(xué)概念、規(guī)則、圖形之間的穩(wěn)定聯(lián)系，即形成綜合的心理圖式APOS理論能夠彌補(bǔ)當(dāng)前傳統(tǒng)數(shù)學(xué)概念教學(xué)的不足，尊重學(xué)生的主體性，充分考慮學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)，更有利于學(xué)生理解、掌握數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)故基于此理論設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)概念教學(xué)過(guò)程、改進(jìn)數(shù)學(xué)概念教學(xué)方法是可行的

人教版高中數(shù)學(xué)教材(2019年)將三角函數(shù)的內(nèi)容前置到必修一的第五章(2004版的教材中，三角函數(shù)內(nèi)容位于必修四的第一章)，位于指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)、數(shù)學(xué)建模板塊(建立函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題)的后面，不僅再次使用研究函數(shù)的數(shù)學(xué)思想、方法，同時(shí)將三角函數(shù)作為一種刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)生活的工具，足以體現(xiàn)其重要性對(duì)學(xué)生來(lái)講，三角函數(shù)是一種“新”函數(shù)(與初中的三角函數(shù)數(shù)學(xué)本質(zhì)并不相同)，其自變量與因變量的特殊對(duì)應(yīng)關(guān)系也是以前未遇到過(guò)的，因此，多數(shù)學(xué)生對(duì)三角函數(shù)概念的學(xué)習(xí)存在困難故此處重點(diǎn)通過(guò)闡述三角函數(shù)概念的詳細(xì)教學(xué)過(guò)程說(shuō)明APOS理論在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中的具體應(yīng)用，并且重點(diǎn)分析學(xué)生在教師引導(dǎo)下的數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)過(guò)程

2 三角函數(shù)概念教學(xué)過(guò)程及其設(shè)計(jì)意圖

2.1 操作階段：復(fù)習(xí)舊知，聯(lián)系實(shí)際，激發(fā)新疑

進(jìn)入操作階段，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手操作，回憶相關(guān)數(shù)學(xué)概念，奠定知識(shí)基礎(chǔ)教師可通過(guò)一系列的提問(wèn)將學(xué)生已有的知識(shí)串聯(lián)起來(lái)：“前幾節(jié)課我們研究了任意角以及角度與弧度的互化，那如何畫(huà)任意角呢？先回憶一下，再寫(xiě)一寫(xiě)、畫(huà)一畫(huà)，然后對(duì)照課本完善自己的答案”

隨后，教師緊抓學(xué)習(xí)新概念“任意角”的原因，同時(shí)聯(lián)系實(shí)際生活，步步逼問(wèn)，讓學(xué)生充分體會(huì)研究還沒(méi)有完成，迫切地想要填補(bǔ)缺失的數(shù)學(xué)序列，從而準(zhǔn)確地刻畫(huà)周期性運(yùn)動(dòng)“還記得為什么要引進(jìn)任意角的概念嗎？我們研究任意角是為了刻畫(huà)周期性變化現(xiàn)象——圓周運(yùn)動(dòng)，我們將該運(yùn)動(dòng)過(guò)程抽象成圓上任意一點(diǎn)的位置變化過(guò)程”“大家都喜歡看科幻小說(shuō)，類(lèi)似的，數(shù)學(xué)家也喜歡想象，當(dāng)刻畫(huà)了圓周運(yùn)動(dòng)這種特殊的周期性現(xiàn)象之后，他們就將目光轉(zhuǎn)向了一般的周期性現(xiàn)象，例如月亮圓缺、潮汐變化、地球自轉(zhuǎn)引起的晝夜交替變化和公轉(zhuǎn)引起的四季交替變化，這些又該如何進(jìn)行刻畫(huà)呢？”

通過(guò)復(fù)習(xí)舊知和教師的提問(wèn)引導(dǎo)，學(xué)生明確了本節(jié)課的任務(wù)——用數(shù)學(xué)語(yǔ)言準(zhǔn)確刻畫(huà)周期性運(yùn)動(dòng)，同時(shí)可隱約感知與本節(jié)課相關(guān)的一部分?jǐn)?shù)學(xué)對(duì)象與方法，點(diǎn)、變化、函數(shù)等“數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，是研究現(xiàn)實(shí)世界中空間形式、數(shù)量關(guān)系和結(jié)構(gòu)特征的一門(mén)學(xué)科我們以前也研究過(guò)生活中的變化現(xiàn)象，例如利用指數(shù)型函數(shù)刻畫(huà)數(shù)據(jù)的爆炸式增長(zhǎng)、用對(duì)數(shù)型函數(shù)研究生物的死亡年份等，對(duì)于周期性運(yùn)動(dòng)這個(gè)新的變化過(guò)程，你有聯(lián)想到研究它的方法嗎？”

【設(shè)計(jì)意圖】教師從復(fù)習(xí)舊知入手，利用問(wèn)題幫助學(xué)生理清圓周運(yùn)動(dòng)、任意角、周期性運(yùn)動(dòng)之間的關(guān)系，同時(shí)聯(lián)系生活實(shí)際，讓學(xué)生從數(shù)學(xué)知識(shí)和實(shí)際生活需求兩個(gè)方面充分感知建立一個(gè)新的數(shù)學(xué)概念的必要性，同時(shí)通過(guò)提示“變化現(xiàn)象”“指數(shù)型函數(shù)”等為活動(dòng)階段提供研究數(shù)學(xué)對(duì)象的方法，即利用研究函數(shù)模型的方法研究該變化現(xiàn)象

2.2 過(guò)程階段：建立相關(guān)數(shù)學(xué)量之間的關(guān)系

由于學(xué)生前期已經(jīng)具有研究部分基本初等函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，故對(duì)函數(shù)模型的建立以及研究路徑很熟悉，可以通過(guò)模仿明確可通過(guò)建立平面直角坐標(biāo)系研究新的數(shù)學(xué)對(duì)象，教師再通過(guò)問(wèn)題幫助學(xué)生理清大致思路即可：“如何建立新模型呢？其與‘點(diǎn)的圓周運(yùn)動(dòng)’又有何關(guān)系？”學(xué)生就可以將數(shù)學(xué)對(duì)象放到直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的圓周運(yùn)動(dòng)是一種特殊的周期運(yùn)動(dòng)，遵循從特殊到一般的原則，要想研究其運(yùn)動(dòng)，就應(yīng)繼續(xù)進(jìn)行點(diǎn)的圓周運(yùn)動(dòng)的研究“確定研究工具——平面直角坐標(biāo)系之后，你能獲得哪些數(shù)學(xué)量？它們之間有什么聯(lián)系呢？”

此時(shí)對(duì)于確定角的研究基本完畢，但由于角的任意性，教師可利用幾何畫(huà)板變化角的大小，學(xué)生會(huì)自然地關(guān)注到上述三類(lèi)等量關(guān)系，并進(jìn)行類(lèi)比，嘗試尋找規(guī)律“由于角的任意性，我現(xiàn)在改變角的大小，其他的條件不變，你又發(fā)現(xiàn)了什么數(shù)量規(guī)律呢？請(qǐng)用語(yǔ)言簡(jiǎn)要概括”學(xué)生有了之前的研究經(jīng)驗(yàn)，可以輕易發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律：角不同，對(duì)應(yīng)的||,||,||不同；角相同，對(duì)應(yīng)的||,||,||相同隨后教師引導(dǎo)學(xué)生從簡(jiǎn)化運(yùn)算的角度提問(wèn)，討論將絕對(duì)值符號(hào)去掉是否可行“此處取絕對(duì)值的運(yùn)算過(guò)程比較麻煩，可以想辦法簡(jiǎn)化嗎？”學(xué)生憑借“集合”學(xué)習(xí)中的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，即分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，自行證明了在四個(gè)象限內(nèi)去掉絕對(duì)值符號(hào)并不影響總結(jié)出來(lái)的數(shù)學(xué)規(guī)律故可得到結(jié)論：角不同，對(duì)應(yīng)的,,不同；角相同，對(duì)應(yīng)的,,相同

這時(shí)總結(jié)得到的數(shù)學(xué)規(guī)律并不精致，教師還應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生從定性、定量?jī)蓚€(gè)角度深化理解三角函數(shù)的數(shù)學(xué)本質(zhì)“既然我們利用了函數(shù)的研究方法，那總結(jié)的數(shù)學(xué)規(guī)律可以定義為函數(shù)嗎？符合之前學(xué)過(guò)的函數(shù)定義嗎？”“確定函數(shù)的三要素是什么？是否可以將其與函數(shù)概念相對(duì)應(yīng)？”教師從函數(shù)的三要素出發(fā)進(jìn)行引導(dǎo)，從定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系、值域進(jìn)行分析，加深了學(xué)生對(duì)函數(shù)本質(zhì)的理解，又由于這里利用了三角形，同時(shí)又是函數(shù)模型，三角函數(shù)名稱(chēng)的由來(lái)也水到渠成“定義域是哪個(gè)數(shù)集？對(duì)應(yīng)關(guān)系是什么？值域又是什么？”此處教師需要引導(dǎo)學(xué)生注意，利用角度與弧度的互化才能完成從角到實(shí)數(shù)的轉(zhuǎn)化，定義域才能是數(shù)集，高中階段的函數(shù)并不是單純集合之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，要與映射的概念區(qū)分開(kāi)

【設(shè)計(jì)意圖】教師通過(guò)聯(lián)系已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，探索新數(shù)學(xué)對(duì)象的研究路徑，同時(shí)借助直角坐標(biāo)系和幾何畫(huà)板將幾何問(wèn)題代數(shù)化，將隱含的數(shù)量關(guān)系顯性化，同時(shí)滲透數(shù)形結(jié)合思想，簡(jiǎn)化運(yùn)算技巧，最終讓學(xué)生自行抽象出數(shù)學(xué)本質(zhì)本階段只是用粗略的數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行數(shù)學(xué)本質(zhì)的表述，這為下一階段用準(zhǔn)確、簡(jiǎn)潔的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述數(shù)學(xué)本質(zhì)奠定了基礎(chǔ)

2.3 對(duì)象階段：概念精致化與鞏固應(yīng)用

數(shù)學(xué)概念需要用簡(jiǎn)練、準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行表述，故下一步是概念“精致化”，即完善數(shù)學(xué)概念(概念的準(zhǔn)確表述與文字、符號(hào)、圖形語(yǔ)言的互化)學(xué)生可以對(duì)比初中的銳角三角函數(shù)知識(shí)定義三角函數(shù)的概念，教師只要稍加指導(dǎo)即可“模仿初中銳角三角函數(shù)的定義形式，請(qǐng)你為找到的任意角三角函數(shù)模型下個(gè)定義，可以采用圖形輔助理解”多數(shù)學(xué)生可以用數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行描述，但無(wú)法一次就表述精練、準(zhǔn)確，需要教師逐步引導(dǎo)、規(guī)范例如，對(duì)于正切函數(shù)，學(xué)生可能會(huì)遺漏定義域{|≠0}，通過(guò)教師提示，學(xué)生回憶起學(xué)習(xí)函數(shù)時(shí)要求分母不為零，再次深刻理解了三角函數(shù)的本質(zhì)，規(guī)范了函數(shù)的書(shū)寫(xiě)(函數(shù)書(shū)寫(xiě)一定要帶有定義域)

下一步，教師精選例題應(yīng)用概念，深化概念本質(zhì)，同時(shí)基于簡(jiǎn)化計(jì)算引入“單位圓”的概念

這里是利用例2求特殊角的三角函數(shù)值，繼續(xù)強(qiáng)化學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算，而表格形式暗含函數(shù)的另一種表示方法，為下節(jié)三角函數(shù)性質(zhì)的研究提供了知識(shí)基礎(chǔ)

【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生結(jié)合教師的引導(dǎo)，自主定義三角函數(shù)概念，實(shí)現(xiàn)了文字、圖形、符號(hào)語(yǔ)言的順利轉(zhuǎn)化，加深了對(duì)三角函數(shù)本質(zhì)的理解，培養(yǎng)了表達(dá)規(guī)范、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)精神學(xué)生通過(guò)數(shù)學(xué)運(yùn)算充分感知了三角函數(shù)的本質(zhì)和計(jì)算步驟，同時(shí)由例1的計(jì)算引入“單位圓定義法”，便于以后的解題和計(jì)算，在充分理解數(shù)學(xué)本質(zhì)的基礎(chǔ)上強(qiáng)化了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，形成了相應(yīng)的技能

2.4 圖式階段：構(gòu)建思維導(dǎo)圖，完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)

數(shù)學(xué)概念錯(cuò)綜復(fù)雜，學(xué)生只有將習(xí)得的知識(shí)點(diǎn)形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，輔之習(xí)題的練習(xí)、總結(jié)、歸納和數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用，逐步形成個(gè)性、完善的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，才能真正掌握數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)三角函數(shù)是一種工具，將它與其他知識(shí)形成穩(wěn)定的聯(lián)系會(huì)發(fā)揮極其重要的作用(例如函數(shù)題中利用三角換元、解三角形中利用角的恒等變化等)，同時(shí)頻繁使用它有助于知識(shí)提取的快速性

教師在教學(xué)過(guò)程中可以采用“思維導(dǎo)圖”“課堂反思”的形式引導(dǎo)學(xué)生完善自己的認(rèn)知圖式“本節(jié)課你學(xué)習(xí)了哪些知識(shí)？可放在思維導(dǎo)圖的哪部分？又運(yùn)用了哪些數(shù)學(xué)思想和方法？請(qǐng)你寫(xiě)下來(lái)，然后小組交流”教師可以為學(xué)生提供適當(dāng)?shù)妮o助，提供部分思維導(dǎo)圖

由于學(xué)生對(duì)于知識(shí)的接受程度不同，故教師應(yīng)懷有“同中存異”的教學(xué)理念，對(duì)所有學(xué)生既有相同的要求，即掌握三角函數(shù)的概念及三角函數(shù)值的計(jì)算方法，又有不同的對(duì)待，即學(xué)習(xí)能力強(qiáng)的學(xué)生能夠明確三角函數(shù)與舊的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)間的聯(lián)系與差異，知識(shí)網(wǎng)絡(luò)清晰，同時(shí)能熟練運(yùn)用之前的解題經(jīng)驗(yàn)，而學(xué)習(xí)能力較弱的學(xué)生可能缺少個(gè)別知識(shí)節(jié)點(diǎn)，知識(shí)間的聯(lián)系、區(qū)別模糊，需要通過(guò)多樣性的習(xí)題繼續(xù)完善認(rèn)知網(wǎng)絡(luò)，深化其對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解所以，教師對(duì)課后習(xí)題的選取要具有層次性和多樣性，針對(duì)學(xué)生的差異布置不同類(lèi)型和難度的習(xí)題對(duì)于某些易錯(cuò)題、典型題，教師需要在習(xí)題課上再次講評(píng)，多次鞏固、深化數(shù)學(xué)概念本質(zhì)，讓所有學(xué)生都能達(dá)到基本的教學(xué)目標(biāo)，并且在自己的最近發(fā)展區(qū)內(nèi)取得一定的進(jìn)步

【設(shè)計(jì)意圖】教師通過(guò)對(duì)學(xué)生課上、課下的多重指導(dǎo)，讓學(xué)生將三角函數(shù)放入更大的數(shù)學(xué)認(rèn)知網(wǎng)絡(luò)中，形成更加完整的數(shù)學(xué)認(rèn)知圖式，為后續(xù)學(xué)習(xí)三角函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)奠定知識(shí)與思想方法基礎(chǔ)，同時(shí)提高自我監(jiān)控意識(shí)和能力，自覺(jué)構(gòu)建、完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)

3 結(jié) 語(yǔ)

為了增強(qiáng)APOS理論中四階段的可操作性，同時(shí)解決現(xiàn)有數(shù)學(xué)概念教學(xué)中的某些問(wèn)題，本文以三角函數(shù)概念課為例介紹了該理論在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中的應(yīng)用.改進(jìn)教學(xué)的目的之一是促進(jìn)學(xué)生的高效、深度學(xué)習(xí)，并且該理論的四個(gè)階段銜接緊密，沒(méi)有清楚的劃分點(diǎn)，故教師在實(shí)際教學(xué)過(guò)程中不能盲目使用APOS理論，機(jī)械區(qū)分四個(gè)階段，而應(yīng)從學(xué)生本位的教學(xué)理念出發(fā)，合理運(yùn)用該理論指導(dǎo)數(shù)學(xué)概念教學(xué)，將促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的深度理解落到實(shí)處