幾何直觀素養培育的基本路徑
——以“勾股定理”數學實驗教學為例*

孫朝仁 張 靜

(江蘇省蘇州市高新區實驗初級中學 215000) (江蘇省蘇州市教育科學研究院 215004)

《義務教育數學課程標準(2022年版)》將“幾何直觀”作為初中學段核心素養的主要表現之一，并明確其內涵為“運用圖表描述和分析問題的意識和習慣．”具體分為4個層次：一是能夠感知各種幾何圖形及其組成元素，依據圖形的特征進行分類；二是根據語言描述畫出相應的圖形，分析圖形的性質；三是建立形與數的聯系，構建數學問題的直觀模型；四是利用圖表分析實際情境和數學問題，探索解決問題的思路．幾何直觀的作用就在于“把握問題的本質，明晰思維的路徑”，不止于把復雜的數學問題變得簡明、形象，更在于通過思維交往，探索解決問題的思路，預測結果．

本文主要以“勾股定理”實驗教學為思維交往執行載體，通過識圖抽象、畫圖建模,以及算圖推理等思維交往方式，在“直觀懂”的組織運演過程中，產生新思路、新方案和新方法，促進學生核心素養的長足發展．

1 識圖抽象：幾何直觀素養培養的先行組織

識圖抽象就是在直觀觀察的基礎上，通過對事物共同屬性的概括，剔除概念的非本質屬性，抽象出概念本質特征的一種認知行為傾向．心理學認為，直觀是從感覺的具體對象背后，發現抽象的、理想的能力．就這一認識來說，識圖抽象的前提是呈現先行組織材料，識圖抽象的過程是直觀到具體，識圖抽象的結果是抽象與表征．換句話說，識圖抽象本身就是一種幾何直觀，是一種先行組織行為，是直觀引起的行為潛能的持久的心理變化．

蘇科版初中數學教材設置的“章頭圖”，一方面突出了概念的直觀，另一方面凸顯具體概念的本質特征．這有助于學生站在系統的高度認識數學，從直觀過渡到抽象，建立概念表象，形成概念認知產生式．七年級數學第1章“數學與我們同行”的設置，旨在引領蘇科版整套教材教學導向，讓學生從生活到數學、從活動到思考、從具體到抽象、從圖形直觀到概念客觀，形成概念產生式．因此，圖形是從實物和模型第一次抽象后的產物，也是形象、直觀的語言表征，是識圖抽象的結果形態，是幾何直觀素養發展的先行組織行為．

一般情況下，抽象的理論概念“只有通過更為具體的解釋這些概念的模型才能描述世界”．也就是抽象往往需要從具體開始，帶有“特殊→一般→特殊”的思想意義．數學教育中的“問題情境”抑或“先行組織”都是數學抽象的思維基礎，是概念形成的思維運行載體，是幾何直觀作用的結果．蘇科版教材中的“數學實驗室”“數學活動”“閱讀”“讀一讀”“小結與思考”“課題學習”都是一種先行組織材料，起到幾何直觀的作用，促進學生對數學概念的理解與把握．當然，數學作為科學是不可以有情境的，但作為數學教育是可以有情境的．這能讓學生從具體到抽象，從感性到理性，這就是一種幾何直觀素養．而識圖抽象的意義就在于讓學生更好地理解數學，讓學生在直觀的識圖中，獲得概念抽象的能力，從而發展幾何直觀、用好先行組織材料．為此，在識圖抽象層面需要做好三個方面的工作：一是確立適合的學習目標，為識圖提供具體指向；二是在識圖的過程中進行自然的數學抽象，形成事實概念；三是用好先行組織材料，讓學生在“模型→圖形→文字→符號”這個抽象的過程中，建立客觀概念．

不妨以“勾股定理”的概念發生為實驗載體，從“跳一跳，夠得到”的學習目標出發，說明識圖抽象的微言大義，突出幾何直觀的躍遷作用，強調用好“先行組織材料”的指導意義，落實核心素養發展的根本任務．具體識圖抽象過程如下：

(1)學習目標的確立

目標1是在具體情境中，探索勾股定理，發展合情思想；目標2是在應用勾股定理求直角三角形的未知邊長中，發展數形結合思想．這里的第一個目標的關鍵詞是“探索”，第二個目標的關鍵詞是“應用”，前者指向概念合情思想的建立，后者旨在建立數感、符號意識，以及形成初步的數形結合思想．無論探索還是應用，都是“具體→直觀→畫圖”的先行組織行為，這為識圖抽象提供思維交往的基礎．

(2)欣賞與思考的設置

包括兩個問題：問題1是數一數圖案(圖1)中3個正方形內小方格的個數，你有哪些發現？問題2是說說圖案的文化內涵，簡單畫出圖案蘊含的基本圖形，并說明畫法．問題1的設置，旨在讓學生從“直觀的數與算→三個正方形面積關系的初步建立→直角三角形三邊關系的初步確立”，即“9個小正方形+16個小正方形=25個小正方形”，也就是“兩個較小的正方形的面積和等于較大的正方形的面積”；問題2的設置，旨在讓學生經歷“模型→圖形→概念”，即“模型”是1955年希臘發行的一枚郵票，以此紀念畢達哥拉斯對“勾股定理”證明這一文化內涵．畫圖方法是以直角三角形的三邊為邊，向外作正方形，構造基本圖形 (圖2)，這就完成了“模型到圖形”的第一次識圖抽象，為概念符號的建立，以及文字表征奠定了直觀的先行組織行為，有效地落實了核心素養的發展目標．

圖1 圖2

2 畫圖建模：幾何直觀素養培養的心理前提

畫圖建模是引起幾何直觀能力變化的持久性心理傾向，是培養初中階段學生幾何直觀素養的思維途徑．“畫圖→建?！钡谋举|就是建立概念的心理原型，它起于“畫圖”，成于“建?！保K于“直觀的懂”．實驗教學過程中的“說一說”“做一做”“議一議”“試一試”都是畫圖建模的重要方式，是幾何直觀素養得以培養和緩存的心理前提．具體來說，我們通過畫“線段的垂直平分線”，不止于“會畫”，更在于通過“動手畫”，建立概念原型，揭示“線段垂直平分線上的點，到這條線段的兩個端點的距離相等”，促進線段是軸對稱圖形這一概念表象的建立；我們依據作法，畫“角的平分線”，不止于畫，不止于建立軸對稱性，更在于揭示畫法的合情依據(“邊邊邊”或SSS)，從而使得畫圖、猜想、驗證在實驗教育學體系內，有了高度的統一性．這就是一種實驗哲學，具體與抽象，或者畫圖與建模．在希爾伯特看來，了解一種理論的最好方法是找出然后研究那種理論的原型的具體例子．這里的“原型”可以理解為概念對象，而“具體例子”就相當于“舉例說明”的直觀作用．基于這樣的認識，畫角平分線、線段的垂直平分線，就是建立“軸對稱圖形”這一概念原型，形成概念產生式．

不難理解，幾何直觀是一種思維活動，是人腦對客觀事物及其關系的一種直接識別或猜測的心理狀態．畫圖本身就是一種幾何直觀，而“畫圖→建模”則是對象關系識別與建立的通用技術，有助于幾何直觀素養層級的提升與轉化，是學生直觀理解概念的思維抓手．《義務教育數學課程標準(2011年版)》在“課程內容”部分明確指出，在尺規作圖中，了解作圖的道理，保留作圖痕跡，不要求寫出作法．其中，“探討作圖道理+保留作圖痕跡”的過程就是畫圖建模的實踐形式，有助于建立識別和猜測，促進“直觀懂”的從天而降，落實概念的有質量形成．教師應當努力開發制作簡便實用的教具和學具，有條件的學?？梢越ⅰ皵祵W實驗室”供學生使用，這也在結論的背后，強調發展幾何直觀素養的重要性和方法指導．為此，在畫圖建模維度，需要做好三個方面的工作，方能提高幾何直觀素養培養的水平：一是任意畫圖，在辨別中形成直觀概念心理；二是畫一畫，在直觀猜想中建立概念屬性；三是變式畫圖，促進概念本質特征的形成，形成“完形”概念產生式．

不妨以“勾股定理”的概念形成為實驗載體，基于畫圖建模，突出幾何直觀素養培養的能力傾向，落實“直觀懂”的意義．具體實驗操作如下：

首先要求在方格紙上進行“畫一畫”活動．(1)任意畫一個直角三角形，兩條直角邊的長分別為

a

,

b

，斜邊為

c

，并以三邊為邊向外作正方形，其中兩個小正方形的面積與大正方形面積之間有怎樣的數量關系？寫出結論并說明理由；(2)任意畫一個銳角三角形，三邊長分別為

a

,

b

,

c

，并以三邊為邊向外作正方形，其中兩個小正方形面積與大正方形面積之間有怎樣的數量關系？任意畫一個鈍角三角形呢？為什么？活動(1)旨在讓學生從問題到建模，借助探討正方形面積關系，形成勾股定理的初步概念；活動(2)旨在讓學生通過補償畫圖，產生概念辨別心理，直接對概念對象進行理解與把握．其中，任意畫一個直角三角形是一種半開放問題，而任意畫一個銳角三角形和一個鈍角三角形，是一種變式畫圖，有助于學生在直觀畫中，形成猜想、形成辨別能力，突出直角三角形的三邊關系，這就是畫圖建模的思維通道，有助于幾何直觀素養的自然積淀．接下來，教師呈現3個所畫圖形(圖3)．其中，圖3(1)旨在強調割補法對勾股定理概念形成的不可或缺性，是幾何“三大語言”轉換的思維現場(

a

+

b

=

c

)；圖3(2)和圖3(3)旨在讓學生建立一般三角形的三邊關系，即

a

+

b

>

c

或

a

+

b

<

c

．如果說任意畫建立了語言概念，那么辨別畫建立了特征概念，而“語言關系→圖形關系→符號關系”的轉換與建立，是勾股定理形成的標志，實現了畫圖建模的目標．

圖3

3 算圖推理：幾何直觀素養培養的運演條件

計算是一種邏輯推理，具有非完全演繹性，是直觀思維得以過渡的運演條件，是學生學好數學推理的基礎．算圖推理顧名思義，就是讓學生通過計算圖形的面積，在幾何思維的參與下，揭示概念對象的本質．在實驗教學過程中，“拼圖→算圖→公式”“畫圖→算圖→勾股定理”“打印紙→折紙→長與寬的比值的確立”“無蓋立方體的制作→規律的發現”，等等都是算圖推理的實驗形式，有助于直觀到抽象、直觀到建模、直觀到推理，形成“知其然，知其所以然”的直觀背后的運演能力．事實上，就當前的初中教育現狀來說，合格型數學教師依然是重視教知識，輕視教能力，課堂還是“一個概念+三項注意+復式練習”，“燒中段”現象極為普遍．就這一現象來說，課堂轉型亟待解決，概念使用亟待規范，方能讓學生在使用概念中形成概念能力，發展直觀素養．算圖推理是數學教育的一種“直觀懂”的方式，是將感性認識上升為理性認識的一劑思維良藥．在西方哲學家看來，直觀就是未經充分的邏輯推理而對事物本質的一種直接洞察、直接把握對象的全貌和對本質的認識．這里的“洞察→把握→對象本質”是算圖推理的重要環節，“洞察”在于幾何直觀，“把握”在于將感性上升為理性，“對象本質”在于關系性理解．正如斯根普指出的那樣，只有從工具性理解(幾何直觀)達到關系性理解(算圖推理)，學生才能把握數學對象的本質．

算圖推理起于直觀，終于邏輯，是邏輯推理的初級形式，有助于初中階段學生直觀地學好數學．在數學實驗算理學范疇，邏輯推理是從一些事實和命題出發，依據邏輯規則推出一個命題的思維過程．這里的“邏輯推理”是非完全演繹形式，屬于算理邏輯的一種形式．“拼圖→整式乘法+因式分解”“一提+二套+三分解”等都是算圖推理的常見邏輯運演形式．這有助于學生“知其所以然”，建立概念關聯．“邏輯規則”在數學實驗領域被解釋為實驗步驟，就像“分式游戲”活動中的規則那樣：每人制作幾張卡片，在卡片上寫一個簡單的整式或運算符號；將其中的兩張卡片分別放在分子、分母上，它們組成的式子是分式嗎？如果是分式，它什么時候有意義？它的值能為0嗎？這些“？”都是邏輯規則的外在表現形式，需要在直觀支持下的算理解釋，是對幾何直觀的有效反芻．為此，在算圖推理過程中，需要做好三個方面的工作：一是變式訓練，實現對概念的進一步把握；二是小結與思考，實現將課時概念上升為單元概念；三是概念關聯，在進一步實驗中，獲得直觀素養的關聯發展．

不妨以“勾股定理”的概念使用為實驗載體，運演算圖推理的實踐行為，落實直觀素養的系統培養目標．具體實驗過程如下：

首先呈現“使用概念”的算圖推理的3個問題．(1)在圖4中，當

x

=5，

y

=12時，

z

=

；當

x

=8，

z

=17時，

y

=

．(2)在圖4中，如果兩個小正方形的面積分別是81和144，則

z

=

．(3)如圖5，直線

l

上有3個正方形

a

,

b

,

c

，若

a

,

c

的面積分別為5和11，則

b

的面積是多少？

圖4 圖5

第(1)題是對勾股定理的工具性使用，第(2)題是回歸概念，第(3)題是關系性理解，在全等 變換思維的參與下，落實算圖推理，實現了將知識轉化為能力．如果說，前兩個問題是使用概念，則后一個問題是概念關聯，有助于課時概念上升為單元概念，發展了學生的使用概念和運演概念能力．

圖6 圖7

接著，呈現“小結與思考”板塊．(1)經歷上述“畫一畫”活動，你得到了怎樣的結論？(2)如圖6，若每個小方塊的面積都為1，畫出圖中以格點為端點且長度為5的線段；

(3)制作8張如圖7的直角三角形紙片，分別拼成邊長為

c

或(

a

+

b

)的正方形，你有何發現？

第(1)題是回歸概念，突出勾股定理核心概念的再認知活動；第(2)題是對概念的變式使用，為后續“勾股定理逆定理”的學習鋪設思維；第(3)題為勾股定理的驗證提供活動經驗，突破了傳統數學實驗的理解維度，立足于“系統概念”的建立，落實直觀素養的培養功能．如果說“小結與思考”的第一個問題屬于一種變式智慧，則后兩個問題屬于將課時概念上升為單元概念的新思想，很好地運演了算圖推理．這種將系統概念的工具性理解上升為概念的關系性理解，能促進概念對象的把握，這才是數學實驗未來課堂的樣態．