數學教學要讓學生品味到數學的“味道”

徐海周

(海南省儋州市第一中學 571700)

隨著我國數學課程改革的不斷推進和數學教學改革的不斷深入，我們的數學教學的確在幫助學生掌握基礎知識、提升數學學業水平方面取得了可喜的成績，但是我們卻忽視了學生“討厭數學”現象的發生，忽視了學生積極學習數學情感的快速消退．長此下去，最終會導致什么樣的結局呢？有一個事實最能回答這個問題：21世紀教育研究院的楊東平院長在一次論壇上提到，中國從20世紀80年代中期就參與高中階段的國際奧林匹克數學競賽，擁有了很多金牌得主，但是幾十年過后，人們發現很多人從數學領域消失了，而當年與他們同臺獲獎的其他國家的選手，有很多人已經成為數學大師．以上的事實足以說明我們的數學教學的生命力是如此脆弱、學生的可持續學習能力是如此低下！

為什么我們的數學教學會出現上述令人尷尬的局面呢？究其原因，許多數學教師受應試教育的影響，身心早已被“分數為王”的魔咒所禁錮，向學生灌輸考點、教授解題套路、傳授得分技巧成了教學的全部，在教學中有意加快進度、增大難度、提高強度，借此來提高分數．然而卻忽略了數學味道的提煉與生成，從而導致本該充滿力量的、自由的、唯美的、浪漫的、飽含故事的、應用廣泛的數學變得單調、枯燥、乏味，這是多么令人惋惜的事實．《普通高中數學課程標準(2017年版)》明確提出“數學教學要培養學生終身學習的能力”，這就要求數學教學不能再僅僅追求學生考取高分，更應該追求依附在高分之上的積極地學習數學的情感和態度．忽視這一點，恰恰是一些數學尖子從數學領域消失的真正原因．讓數學教學回歸本真，給我們的數學教學加點“料”，讓學生能夠品味到數學的“味道”，自然也就成為我們當前數學教學亟待改進的問題．

1 讓學生品味到數學是“有力”的

數學是什么？數學是一種改變世界的偉大力量！數學支配宇宙(畢達哥拉斯語)！數學教學首先要讓學生品味到數學的偉大力量．眾所周知，指數函數的爆炸性增長能產生巨大的力量，為了能讓學生感受到這種力量，在學習完指數函數的概念之后，我向學生拋出了這樣一個問題：世界最高的山峰珠穆朗瑪峰的高度是8 848.86 m(2020年12月8日測量)，而一張A4紙的厚度僅僅約為0.088 mm，對折1次其厚度增加為原來的2倍，對折2次其厚度增加為原來的4倍……假如紙張足夠大，一直對折27次，那么此時的厚度能否超過珠穆朗瑪峰的高度？問題一出，全班學生立即爭論起來，大多數學生認為紙張的厚度不可能超過珠穆朗瑪峰的高度，只有極個別學生認為能，但又無法提供證據．接下來我就讓他們計算紙張的厚度，學生很快就算出其厚度約為 11 811.2 m，當看到計算結果時，那些認為不能的學生是一臉的驚詫，從他們驚詫的眼神中可以看出指數函數的爆炸性增長產生的力量在他們的內心深處產生了不小的震動．

數學的力量可以決定一場戰爭的勝負！在學習完有限樣本空間與隨機事件之后，我就給學生講述二戰時期英美兩國利用概率知識贏得戰爭勝利的故事：太平洋戰爭初期，英美兩國急需將坦克、火炮、汽油、槍支彈藥等大量軍用物資運送到大西洋彼岸的作戰前線，為此，他們派遣了大量的護衛艦為運輸船隊護航，但是他們的艦隊常常遭到德國潛艇的襲擊，導致大量軍用物資還未送到前線將士手中就沉入了海底．當時，英美兩國又不可能增派大量護航艦只，如果運輸船隊不能及時將作戰物資運送到戰爭前線，等待他們的只能是慘?。敃r的美國海軍請教幾位數學家，數學家們運用概率論分析發現，艦隊與敵潛艇相遇是一個隨機事件，它具有一定的規律性：一定數量的船只，編隊規模越小，編次就越多，而編次越多，與敵人相遇的概率就越大．美國海軍接受了數學家的建議，命令船隊在指定海域集合，再集體通過危險海域，然后各自駛向預定港口．結果，使原來被擊沉25%的概率降低為1%，大大減少了損失，保證了物資的及時供應．故事講完了，同學們也深深地被數學的力量折服了．

2 讓學生品味到數學是“有用”的

數學是一門應用十分廣泛的科學，我國著名的數學家華羅庚教授曾指出：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，生物之謎，日用之繁，無處不用數學．”華老的這番話深刻地揭示了數學應用的深入性與廣泛性，可是數學的這些應用太過高深，只接受過高中數學教育的學生根本體會不到，要想使學生體會到數學是有用的，務必從學生身邊的生活實際尋找實例．

在學習完基本不等式之后，我給學生設計了一個問題：油價經常波動，給汽車加油，“每次加300元”與“每次加40升”，哪一種加油方式更省錢？接著，我就引導學生分別計算這兩種方式加油的平均油價，在假設“兩種方式各加了兩次油，價格分別為

a

元

/

升、

b

元

/

升”的前提下分別算得它們的平均價格分別為學生根據所學的基本不等式的知識很快得到這時學生才明白還是“每次加300元”的方式更劃算．

在學習了概率的基本性質之后，我給學生設計了一個問題：美國曾搞過一種電視大獎游戲，有3扇關閉著的門，其中2扇門后面各有一只羊，另一扇門后面有一輛汽車，一個游戲參與者和一個主持人．游戲參與者隨機選定了一扇門，在不打開此扇門的情況下，主持人打開另一扇有羊的門，此時，主持人問游戲參與者是否更改自己剛才的選擇．這時，我問學生假如你就是那個游戲參與者，你是否更改自己剛才的選擇呢？問題一出，學生個個猶豫不決，于是我就引導學生利用所學的對立事件的概率知識計算“改”與“不改”這兩種選擇獲得汽車大獎的概率，學生很快算得它們的概率分別為當得出概率結果后一切也就真相大白了．雖然只是應用數學知識解決了日常生活中的一些小事，但是學生依然能夠品味到數學是“有用的”．

3 讓學生品味到數學是“美”的

英國數學家羅素指出：“數學，如果正確地看，不但擁有真理，而且也具有至高的美．”法國著名雕塑家羅丹也曾指出：“美是到處都有的，對于我們的眼睛，不是缺少美，而是缺少發現．”相比于其他事物的美而言，數學的美是理性的美、深邃的美，不易被發現、更不易被品味．如果在教學中教師不給予學生機會與指導，學生是很難發現、感知、品味到數學的美的．因此，在教學中，運用數學學科知識展現數學的美、揭示事物美的原理，理應成為數學教學不可或缺的一部分．

在學習橢圓的方程時，我一改以往帶領全體學生一起推導橢圓的標準方程的做法，而是將全班學生分成兩組：第一組“以直線

F

F

為

x

軸，以過點

F

且垂直

F

F

的直線為

y

軸”建立平面直角坐標系推導橢圓的方程；第二組“以直線

F

F

為

x

軸，以線段

F

F

的垂直平分線為

y

軸”建立平面直角坐標系推導橢圓的方程．推導完畢后，要求這兩組學生分別將推導的方程展示到黑板上：(

a

-

c

)

x

+2(

a

-

c

)

cx

+

a

y

=(

a

-

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)①；(

a

-

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)

x

+

a

y

=

a

(

a

-

c

) ②．沒有比較就沒有發現，這兩種方程一比較，學生就容易發現方程②的簡潔美了．但如果教師不引導，學生對于橢圓方程美的品味也只能至此而已．為了發現方程更多的美，接下來我又引導學生將方程②中的

a

-

c

換成

b

，這時方程②變為方程

b

x

+

a

y

=

a

b

③．此時，方程的美又提高了一個層次，但還不夠美，接著再引導學生將方程③的兩端除以

a

b

，終于得到了橢圓最美的方程至此，橢圓的標準方程的對稱美由此顯現．這樣做雖然占用了一些寶貴的課堂教學時間，但我認為這是值得的，因為英國理論物理學家狄拉克告訴我們：“使一個方程具有美感，比使它去符合實驗更重要．”

4 讓學生品味到數學是“自由”的

德國著名數學家康托爾曾指出：“數學的本質在于他的自由．”高中數學的很多知識是自由開放的，而教材只展示了其“冰山一角”，還有很大一部分內容可供學生自由思考與自主探究．不要讓教師的思維、觀念與眼界限制了數學的自由．教學時可以鼓勵引導學生大膽地去探究發現，讓數學的自由在學生的腦海里發揮到極致．

在學習完等差數列和等比數列這兩個章節后，我就啟發學生思考：有沒有等和數列、等積數列或者其他數列呢？學生通過查閱資料研究發現的確有等和數列與等積數列，只不過它們都是過于簡單的周期數列，沒有研究價值所以才沒有給予太多關注．除此之外，學生們還發現了“從第三項起，每一項等于它的前兩項之和的”斐波那契數列、“從第四項開始，每一項都是前面兩項與前面三項的和”的帕多瓦數列、Prufer數列……學生對數列的認識與思考一下子也就自由開朗了許多．在學習完橢圓和雙曲線這兩個章節后，我也啟發學生思考：有沒有“到兩個定點的距離之商等于一個常數”“到兩個定點的距離之積等于一個 常數”的曲線呢？學生通過查閱資料研究發現的確有以上兩種曲線，它們分別為“阿波羅尼斯圓”與“卡西尼卵形線”．有好幾個學生對此非常感興趣，還用幾何畫板或GeoGebra畫出了不同形狀的卡西尼卵形線．雖然這些知識高考并不一定涉及，但通過我的引導，數學自由的味道也就深入人心了．

5 讓學生品味到數學是“有故事”的

數學是一門既古老又年輕的科學，年輕是因為數學在不斷地發展創新，古老是因為其歷史悠久．很多數學知識都像一位飽經滄桑的老人，一路走來伴隨著許多“故事”，但因其被發現的年代太過久遠，導致無法從字面上去認識、理解和接受它．比如高中數學中的“函數”這一概念，從17世紀被德國數學家萊布尼茲最先以“幾何量”的形式提出，到19世紀被我國清代數學家李善蘭翻譯成中文的“函數”，其間200多年的歷史長河中經歷了五次重大的演變，如果不給學生介紹它的歷史故事，學生是很難體會到如今數學教材中“集合對應說”定義形式是何等的嚴謹與簡約！為了能夠讓學生了解這一漫長曲折的歷史，在帶領學生學習完這一概念后，我就以問題為抓手給學生講好函數的故事：

(1)已知兩個函數

f

(

x

)與

g

(

x

)，若當

x

>0時，

f

(

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)=

g

(

x

)，那么，當

x

<0時，

f

(

x

)與

g

(

x

)是否相等，若相等，說明理由；若不相等，請舉例說明．(借助學生思考回答此問題的機會，教師可以向學生講述一場發生在18世紀有關函數定義的“解析說”與“變量依賴說”之爭的故事)(2)現有這樣一個解析式請判斷這個解析式能否作為一個函數的解析式？若能，請指出它的“三要素”；若不能，說明理由．(可以告訴學生這個函數是德國數學家狄利克雷給出的，因此被稱為“狄利克雷”函數

.

借助學生思考回答此問題的機會，教師可以向學生講述一場發生在19世紀有關函數定義的“變量依賴說”與“變量對應說”之爭的故事)以上事實證明，在我們的日常數學教學中適時地給教學增添一些史料以使其更具“故事”味，不僅能幫助學生加深對數學知識本質的理解，更能增強學生的數學歷史責任感，促使他們更加珍惜這些來之不易的人類智慧的結晶

.

無怪乎法國數學家朗之萬曾提出：“在數學教學中，加入歷史是有百利而無一弊的．”

6 讓學生品味到數學是“浪漫”的

數學不僅僅有冰冷枯燥的一面，更有溫情浪漫的一面！數學的味道不僅蘊藏在我們的課堂教學里，更是彌漫在我們的日常生活里，教師在適當的時候讓學生嗅一嗅，則能達到意想不到的效果．青蔥少年，情竇初開，向異性表達愛意是他們最想干的事，但又是最不擅長的事．浙江大學數學系教授蔡天新曾指出：“數學是最浪漫的，它比世界上任何語言都要煽情．”因此，在教學之余，向學生展示一下用數學語言寫的情詩還是挺受學生歡迎的．在學習完圓錐曲線之后，我就給學生布置了兩個動手的作業：

(1)利用幾何畫板或GeoGebra在同一個坐標系中畫出方程所表示的曲線；

(2)利用幾何畫板或GeoGebra在不同坐標系中畫出方程

x

=-6|sin

y

|所表示的曲線．

圖1

圖2

當學生繪制出圖1和圖2時，一個個驚訝、激動、興奮不已，原來用數學知識也可以寫情書，真是太可愛了！

在學生高三即將畢業時，我就利用數學中的名詞給他們寫寄語：憂愁是可微的，快樂是可積的，在未來趨于正無窮的日子里，幸福是連續的，對你的祝福是可導的且大于零，祝你每天快樂 的復合函數總是最大值．這樣，將情感用數學來 表達，讓數學味彌散到學生生活的每一個角落，用數學“浪漫”的味道點亮學生枯燥乏味的求學生活．

7 結語

在數學教學中，廣大一線數學教師只有憑借豐富的數學“味道”去征服學生求知的“味蕾”，學生才會對數學從“動手”“動腦”到“動心”著迷，未來我們的學生才有可能成長為數學家，因為法國數學家努瓦列斯提醒我們：“數學家本質上是個著迷者，不迷就沒有數學．”