指向高階思維的初中數學解題教學
——以2021年蘇州中考第18題為例

楊新蕓 王 超

(鹽城師范學院數學與統計學院 224002) (南京師范大學教師教育學院 210024)

近年來，高階思維成為基礎教育研究的熱點．《義務教育數學課程標準(2022年版)》再一次強調了核心素養的培養，而高階思維正是落實核心素養的重要途徑．同時，數學解題教學是中學數學教學的重要組成部分，本文試圖以一道中考數學題為例探究如何更好地開展指向高階思維的初中數學解題教學．

1 高階思維的內涵

所謂高階思維，Resnick指出高階思維是非算法的、復雜的，可能會產生多種解決方案，需要應用多種標準，自我調節，而且往往具有不確定性．鐘志賢認為高階思維就是發生在較高認知水平層次上的心智活動或較高層次的認知能力．布魯姆的教育目標分類理論將認知領域分為知識、領會、運用、分析、綜合和評價，而高階思維在教學目標分類中表現為分析、綜合、評價．段茂君、鄭鴻穎等人認為高階思維是指能夠批判性、創造性地解決復雜問題并體現不規則性、復雜性、多樣性、不確定性、自我調節性等特征的高水平心智活動．Hwang等人認為高階思維包括批判性思維、創造性思維及問題解決能力三部分．Lewis等人認為高階思維包括批判性思維、問題解決、決策、創造性思維等．另外，還有周瑩等人認為數學高階思維包括數學批判性思維、數學創造性思維、數學問題解決能力和數學元認知能力等．

下面，本文將從解題能力、創新性思維以及批判性思維等方面來探討如何在初中數學解題教學中培養學生的高階思維，希望能對初中數學教學有所裨益．

2 指向高階思維的解題教學活動

例題

(2021年蘇州中考第18題)如圖1，射線

OM

,

ON

互相垂直，

OA

=8，點

B

位于射線

OM

的上方，且在線段

OA

的垂直平分線

l

上，連結

AB

，

AB

=5，將線段

AB

繞點

O

按逆時針方向旋轉得到對應線段

A

′

B

′，若點

B

′恰好落在射線

ON

上，則點

A

′到射線

ON

的距離

d

=

．

圖1

2

.

1 搭橋建路 提高學生問題解決能力

學生在解決問題時常常會遇到思維障礙，教師自然不能直接呈現答案，而是應該建立起從問題到結論的橋梁，引導學生自己突破思維障礙，從題設條件走到解決問題的終點，從而提高學生分析問題、解決問題的能力．

問題1 旋轉具有哪些性質？結合題圖，我們可以得到哪些條件呢？(可以適當添加輔助線)

圖2

分析 旋轉不改變形狀，故有

AB

=

A

′

B

′=5，由對應點到旋轉中心的距離相等可知

OA

=

OA

′=8，

OB

=

OB

′，由任意一對對應點與旋轉中心的連線所構成的旋轉角相等可知∠

AOA

′=∠

BOB

′，等等

.

于是學生就自然而然地連結線段

OB

,

OA

′，這就構成兩個新的三角形△

OAB

和△

OA

′

B

′(圖2)．

問題2 我們最終要求的是什么，在圖中又可以怎樣表示？

分析 題目要求的是點

A

′到射線

ON

的距離

d

．過點

A

′作

A

′

G

⊥

ON

，垂足為

G

，要求的距離

d

即為線段

A

′

G

的長度．

問題3 這時候圖上有哪些特殊的圖形，哪些又是與我們最終要求的結果相關的？

分析 其實圖中的特殊圖形很多：△

OA

′

B

′也可以通過△

OAB

旋轉得到，所以二者全等；圖中還有一系列直角三角形，進一步分析就可以發現這些直角三角形的對應角分別相等．結合我們要求的

A

′

G

的長度，可以發現

A

′

G

既可以看做Rt△

OA

′

G

的一條直角邊也可以看做△

OA

′

B

′里邊

OB

′上的高．

這三個問題的目的在于引導學生從題目所給的條件出發進行分析，然后從所要求的結果出發進行分析，最后綜合對條件和結論的分析，建構從條件到結論的橋梁．這些問題也是一些比較通用的問題，對于其他問題的求解也具有一定的適應性，長期如此提問，學生可以逐漸內化問題串為自己的解題策略，在解決其他問題過程中能夠對自己提出這類問題，從而自己搭建解題的橋梁，逐步提高自己解決問題的能力．

2

.

2 一題多解 培養學生創新性思維

教師要引導學生從不同角度多方位思考問題，培養學生的創新性思維．根據上面對題目的分析，可以從兩個方向去思考：一是將

A

′

G

看做Rt△

OA

′

G

的一條直角邊，二是將其看做△

OA

′

B

′中邊

OB

′上的高

.

由此可以得到以下三種不同解法．解法1 (三角形相似)設

OA

的垂直平分線

l

交射線

OM

于點

F

．有

OB

=

AB

=5，

OF

=

FA

=4．由勾股定理可得

BF

=3．由于

A

′

B

′是由

AB

繞點

O

旋轉所得，故有

OA

=

OA

′=8，∠

AOB

=∠

A

′

OB

′．又由∠

OG

′

A

=∠

OFB

=90°，所以△

OA

′

G

∽△

OBF

．故有代入可得解法2 (三角函數)設

OA

的垂直平分線

l

交射線

OM

于點

F

，有

OB

=

AB

=5，

OF

=

FA

=4．由勾股定理可得

BF

=3．由于旋轉，有

OA

=

OA

′=8，∠

AOB

=∠

A

′

OB

′，也就有sin∠

AOB

=sin∠

A

′

OB

′，即代入可得解法3 (等積法)設

OA

的垂直平分線

l

交射線

OM

于點

F

，則

OB

=

AB

=5，

OF

=

FA

=4．由勾股定理可得

BF

=3．由旋轉易證得 △

OA

′

B

′≌△

OAB

，故

S

△′′=

S

△，即代入可得

圖3

一方面教師通過展示不同解法，鼓勵學生不局限于一種方法解題，從多方面、多角度去看待問題，讓學生發散思維．但另一方面要讓學生明白這些不同解法之間并不是完全沒有聯系的，它們在本質上具有一致性．這道題的三種解法都歸結于通過旋轉的性質尋找相等條件，構造全等三角形．同時我們也要用批判性的思維去看待各種解法．例如，有學生構造了線段

BF

旋轉后的對應線段

B

′

H

，通過射影定理或等積法求出點

H

到射線

ON

的距離

HE

，再通過中位線定理求得點

A

′到射線

ON

的距離(圖3)．不得不表揚學生是細致且全面地分析了題目中的條件的，但是對于條件與結論之間的本質聯系還是理解得不夠透徹，所以迂回地先去求了點

H

到射線

ON

的距離．

2

.

3 變式訓練 促進學生的深層理解

通過一道題目的講解讓學生透徹領悟一個類型的題目往往很難．為了讓學生更加深刻地感受線段繞線段外一點旋轉的問題，就補充了變式1．

變式1 如圖4，射線

OM

,

ON

互相垂直，

OA

=6，點

B

位于射線

OM

的上方，且在線段

OA

的垂直平分線

l

上，連結將線段

AB

繞點

O

按逆時針方向旋轉得到對應線段

A

′

B

′

.

若點

B

′恰好落在射線

ON

上，那么線段

AB

旋轉時掃過的面積為

．

圖4 圖5

根據旋轉添加輔助線

OA

′,

OB

，這樣我們就又構成了兩個全等三角形△

OAB

和△

OA

′

B

′．要求線段

AB

旋轉時掃過的面積，也就是求圖5中陰影部分的面積．通過割補可得到

S

=

S

扇形′-

S

△+

S

△′′-

S

扇形′=

S

扇形′-

S

扇形′，從而由扇形面積公式就可計算出結果．但是這樣的割補稍有一些復雜，學生可能會出現一些小問題．實際上我們可以把思路稍加轉換：由于△

OA

′

B

′可以由△

OAB

得到，我們就可以將左上角的一小塊陰影部分旋轉到右下角(圖6)，這時候就很容易得到陰影部分的面積

S

=

S

扇形′-

S

扇形．

圖6

變式2 在直角坐標系

xOy

中，

A

(3,4),

B

(6,-2)，線段

AB

繞點

O

按逆時針方向旋轉得到對應線段

A

′

B

′，使一端點正好落在

y

軸上，試求另一點的橫坐標．變式3 在直角坐標系

xOy

中，

A

(

a

,

b

),

B

(

a

,

b

)，線段

AB

繞點

O

按逆時針方向旋轉得到對應線段

A

′

B

′，使一端點正好落在

y

軸上，試用

a

,

b

,

a

,

b

的代數式表示另一點的橫坐標．變式2和變式3是在直角坐標系的情境下考慮原題的一般化，題目中沒有明確指出旋轉之后哪個端點落在

y

軸上，需要分類討論．變式2探究的是線段

AB

與

x

軸相交的情況，變式3則是將線段

AB

更加一般化為任意的線段，解題所需的思維層次也更高．在這樣的情況下，我們依然可以類比之前的方法，將

A

′

G

看做△

OA

′

B

′中邊

OB

′上的高，通過等積法進行求解．

2

.

4 解題反思 培養學生批判性思維

解題后進行反思，這是學生應該養成的好習慣，所以在解題教學的最后也要及時引導學生進行批判性的反思．一方面是要讓學生對自己、對他人進行批判，也就是用批判性的眼光對自己以及同學的解題過程進行思考；另一方面也是引導學生從多個角度、多個方面對整節課的內容進行反思總結，促進學生更好地完善自己的認知結構．下面是針對例題的教學提出的一系列的反思型問題：

問題1 解決上面一系列問題的過程中我們運用到了哪些知識和解題方法？

問題2 我們是怎樣對題目進行思考分析的？

問題3 在解決問題的過程中大家都出現了哪些錯誤？如何避免出現這些錯誤？

問題4 在自己解題的過程中你遇到了怎樣的障礙？又該如何突破這樣的障礙？

其中問題1和問題2是對這節課內容的總結與反思，加深對所涉及的旋轉、全等和相似、三角函數等知識以及這些知識之間聯系的印象，對等積法、割補法等解題方法以及解題策略進一步回憶、整合，使學生能夠較好地將知識串聯起來，完善自己的認知結構．問題3和問題4則是對自己以及對他人的批判，批判性地反思在解題過程中出現的問題和困難，進一步梳理如何在下次解題的過程中避免出現這樣的問題，突破這樣的障礙．

3 指向高階思維的解題教學的幾個注意點

數學教學不僅要讓學生掌握知識與技能，更重要的是要讓學生在學習過程中增長智慧．所以在指向高階思維的數學解題教學中還有以下一些要注意的問題．

3

.

1 教學內容重構

數學解題教學不應該只是簡單地將學生需要講解的題目按序號一一進行講解，教師應當在解題教學前做好充足的準備工作

.

一方面，要將所要講解的題目進行深入的剖析

.

同一章節的題目會側重不同的知識點，同一知識點下的題目會涉及不同的解法，不同章節的題目也可能具有相同的解題思路．教師要做的就是將這些題目分類以及串聯，將同一類型的題目放在一起講解．另一方面，要適當拓展題目

.

有時僅憑一兩道例題難以使學生真正領悟某一類題型或者某一種思想方法的本質，需要適當增加一些不同情境、不同思維層次的變式練習，這樣才能使學生得到能力上的鍛煉．

3

.

2 課堂需要通過開放性問題串聯

傳統的課堂提問更傾向于采用封閉的、單一的、指向性明確的問題．在數學解題教學的課堂中，很多教師也都習慣性地把解題過程拆成細碎的小問題，例如“題目中已知

AB

=

OB

，那么△

OAB

是什么特殊三角形呢？”這種問題學生不需要多加思索就能脫口回答，于是整道題的教學過程無比順暢，學生對每一個問題都能輕松回答，但再次遇到這一類的問題時學生還是束手無策．所以指向高階思維的數學解題課堂需要用開放性問題代替封閉式問題．開放性問題不是學生用一個字、一個詞就能簡單回答的，它需要學生經歷一定的思考、推理．并且部分問題應該具有一般性，能夠使學生將其逐漸內化為自己的解題策略或者一種解題思路．

3.3 教學需要培養學生自我分析評價的能力

在進行解題教學前，教師可以先制作一張錯題分析表，大致如表1所示．

表1 錯題分析表

錯題題號錯誤原因分析解題方法主要涉及的知識點涉及的其他知識點

讓學生在課前進行自我分析評價、嘗試完成此表．經過教師的講解后，進一步補充、完善此表．通過此表，學生可以更加清晰地了解自己欠缺的知識以及未能完全掌握的方法．