高考壓軸題的結(jié)構(gòu)特征與突破路徑探析*

2022-09-19 10:16:46劉綠芹

中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2022年9期

關(guān)鍵詞：關(guān)聯(lián)解決問題結(jié)構(gòu)

劉綠芹

(浙江師范大學(xué)教師教育學(xué)院 321004 江蘇省鹽城市教師發(fā)展學(xué)院 224001)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》(2017年版2020年修訂)中關(guān)于評價(jià)提出了“要有利于考查學(xué)生的思維過程、思維深度和思維廣度”的要求，而高考數(shù)學(xué)壓軸題正是體現(xiàn)該要求的載體之一.然而，從高三數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐來看，突破壓軸題卻是學(xué)生最頭疼的問題之一，主要表現(xiàn)為“一看答案就會,不看不會”.之所以會出現(xiàn)這樣的問題，主要是對壓軸題的內(nèi)在思維結(jié)構(gòu)水平要求沒有深刻的認(rèn)知，不同的問題有著不同的思維結(jié)構(gòu)水平要求，同時(shí)，學(xué)生解決問題時(shí)，也能夠表現(xiàn)出其思維結(jié)構(gòu)水平.因此，我們可以從壓軸題的思維結(jié)構(gòu)水平方面，尋找突破壓軸題的路徑.

1 思維結(jié)構(gòu)的理論基礎(chǔ)與水平劃分

對于思維結(jié)構(gòu)，在不同的研究領(lǐng)域有著不同的闡釋、理解與劃分標(biāo)準(zhǔn).在高中數(shù)學(xué)壓軸題突破方面，我們以SOLO分類理論作為思維結(jié)構(gòu)的理論基礎(chǔ)，該理論是澳大利亞學(xué)者彼格斯(Biggs)和科利斯(Collis)兩位教授在皮亞杰認(rèn)知發(fā)展階段論的理論基礎(chǔ)上發(fā)展起來的.SOLO分類理論認(rèn)為，學(xué)生回答具體問題時(shí)所表現(xiàn)出來的思維結(jié)構(gòu)是可觀察的、可檢測的，稱為“可觀察的學(xué)習(xí)結(jié)果結(jié)構(gòu)”(Structure of the Observed Learning Outcome).由此可見，雖然人們很難根據(jù)皮亞杰的分類法認(rèn)定學(xué)生處于哪一個(gè)發(fā)展階段，但卻可以根據(jù)SOLO分類理論，判斷學(xué)生在回答某一具體問題時(shí)的思維結(jié)構(gòu)處于哪一層次.目前，SOLO分類理論不僅已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于理科，諸如數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)等，還應(yīng)用于歷史、地理、英語等文科類學(xué)科的教學(xué)和評價(jià)上.

學(xué)習(xí)是一個(gè)逐漸積累、不斷演進(jìn)的過程，學(xué)生對某一內(nèi)容的理解存在多個(gè)不同的中間水平.根據(jù)SOLO分類理論，可將思維結(jié)構(gòu)水平劃分為五個(gè)層次：前結(jié)構(gòu)水平(P)、單點(diǎn)結(jié)構(gòu)水平(U)、多點(diǎn)結(jié)構(gòu)水平(M)、關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平(R)和抽象擴(kuò)展結(jié)構(gòu)水平(E).在前結(jié)構(gòu)水平層次上，學(xué)生無法找到解決問題的相關(guān)素材以及線索，只能用一些與問題毫不相關(guān)的內(nèi)容來解答，解決不了具體問題.在單點(diǎn)結(jié)構(gòu)水平層次上，學(xué)生只能夠找到解決問題的線索和相關(guān)素材中的個(gè)別，依然無法解決相關(guān)問題.在多點(diǎn)結(jié)構(gòu)水平上，學(xué)生找到了解決問題的多個(gè)線索或多個(gè)孤立的相關(guān)素材，但未能有效整合這些素材，同樣無法真正解決問題.在關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平層次上，學(xué)生不僅能夠找到解決問題所需的線索以及所需的相關(guān)素材，而且能夠?qū)⑦@些相關(guān)素材進(jìn)行整合與關(guān)聯(lián)，能夠解決相關(guān)問題.在抽象擴(kuò)展水平結(jié)構(gòu)層次上，學(xué)生在找準(zhǔn)問題線索的基礎(chǔ)上，不僅能夠?qū)⑾嚓P(guān)素材進(jìn)行關(guān)聯(lián)，同時(shí)還能夠結(jié)合相關(guān)假設(shè)，解決相關(guān)問題，獲得新的解答、新的方法或新的結(jié)論.

思維結(jié)構(gòu)水平劃分針對的是學(xué)生回答或解決問題時(shí)所反應(yīng)出來的學(xué)習(xí)結(jié)果的結(jié)構(gòu)，是對學(xué)生的思維水平進(jìn)行質(zhì)性劃分，其聚焦點(diǎn)為學(xué)生.而思維結(jié)構(gòu)水平要求是針對具體問題而言，通過對問題的分析，提出解決問題時(shí)需要學(xué)生具備什么樣的結(jié)構(gòu)水平，其聚焦點(diǎn)為問題.對于解決高考壓軸題而言，需要根據(jù)試題進(jìn)展的不同階段，提出具體的思維結(jié)構(gòu)水平要求，并針對性地進(jìn)行突破，力求讓更多的學(xué)生達(dá)到更高的思維結(jié)構(gòu)水平.

2 壓軸題的思維結(jié)構(gòu)特征

高考數(shù)學(xué)壓軸題之所以難度大，是因?yàn)樗鼘λ季S結(jié)構(gòu)的要求有別于普通試題.在普通綜合類數(shù)學(xué)試題中，往往注重循序漸進(jìn)，思維結(jié)構(gòu)水平要求起點(diǎn)低，一般是從單一結(jié)構(gòu)水平(U)出發(fā)為主，終點(diǎn)多為關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平(R).在進(jìn)展過程中，逐步要求，逐級提升，呈線性狀態(tài).而高考數(shù)學(xué)壓軸題的思維結(jié)構(gòu)水平要求起點(diǎn)較高，多以多點(diǎn)結(jié)構(gòu)水平(M)為起點(diǎn)，抽象擴(kuò)展水平(E)為終點(diǎn)，其思維結(jié)構(gòu)水平要求呈逐漸加速形態(tài)，如下圖.因此，探析壓軸題思維結(jié)構(gòu)水平要求特征將有助于進(jìn)一步明確突破路徑.

圖1 試題進(jìn)展與思維結(jié)構(gòu)水平要求的關(guān)系

2.1 單一結(jié)構(gòu)水平為表象，多點(diǎn)結(jié)構(gòu)水平為實(shí)質(zhì)

在高考壓軸題中，經(jīng)常會出現(xiàn)一類題設(shè)較短、知識背景看似簡單的問題，乍一看是單一結(jié)構(gòu)水平(U)要求，但實(shí)則是多點(diǎn)結(jié)構(gòu)水平(M)要求.該類試題常常將以鮮明的單點(diǎn)知識為表象，但在試題解決的進(jìn)程中不知不覺地需要帶入其他知識點(diǎn)或解題方法，僅憑單一結(jié)構(gòu)水平無法解決相關(guān)問題的.

例1

(2021年高考全國乙卷第19題)設(shè){

}是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，數(shù)列{

}滿足已知

成等差數(shù)列

(1)求{

}和{

}的通項(xiàng)公式；(2)記

分別為{

}和{

}的前

項(xiàng)和

證明：從該題的表面條件來看，是等比數(shù)列問題，然而數(shù)列{

}中的

間又有特殊的關(guān)聯(lián)關(guān)系，顯然，該問題不得不引入等差數(shù)列的知識——等差中項(xiàng)，運(yùn)用

=2×3

,再結(jié)合

=1，可解出進(jìn)而{

},{

}的通項(xiàng)公式不難得出

根據(jù)第(1)問可知從結(jié)構(gòu)上看，分子是等差數(shù)列，分母是等比數(shù)列，究竟用等差數(shù)列求和公式還是等比數(shù)列求和公式解決該問題呢？顯然，

既不是等差數(shù)列的求和，也不是等比數(shù)列的求和，單純靠一種方法已無法解決該問題，需要引入新的解決問題方法——錯(cuò)項(xiàng)相減法，即在兩邊同乘得再將兩式相減，得其中即為新轉(zhuǎn)化的等比數(shù)列求和問題，至此，第(2)問不難解決

由此可見，該題僅靠單一的等比數(shù)列的公式或等差數(shù)列的公式是無法解決的，必須引入新的知識和方法，只有在多點(diǎn)結(jié)構(gòu)水平的基礎(chǔ)上才能解決問題

2 多點(diǎn)結(jié)構(gòu)水平為臺階，關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平為核心

高考壓軸題一般設(shè)置多問，難度逐步遞進(jìn)，呈臺階式發(fā)展，知識方法的使用也呈現(xiàn)出多樣態(tài)，并相互關(guān)聯(lián)

此類問題以多點(diǎn)結(jié)構(gòu)水平要求為基礎(chǔ)，搭建臺階，但徹底解決相關(guān)問題則需要達(dá)到關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平要求

例如，圓錐曲線問題往往與直線一起出現(xiàn)，并以直線的變化為主線，主導(dǎo)著試題的變化與發(fā)展方向

在實(shí)踐中，多點(diǎn)結(jié)構(gòu)水平能夠解決多個(gè)相對獨(dú)立的基本問題，但由于直線的變化，導(dǎo)致相關(guān)知識之間的聯(lián)系較為密切，問題變得錯(cuò)綜復(fù)雜

顯然，單點(diǎn)結(jié)構(gòu)水平無法解決相關(guān)問題，這就需要關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平來解決問題

例2

(2019年全國卷Ⅱ第21題)已知點(diǎn)

(-2,0),

(2,0),動點(diǎn)

(

)滿足直線

與

的斜率之積為記

的軌跡為曲線

(1)求

的方程，并說明

是什么曲線

(2)過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交

于

兩點(diǎn)，點(diǎn)

在第一象限，

⊥

軸，垂足為

，連結(jié)

并延長交

于點(diǎn)

①證明：△

PQG

是直角三角形；②求△

PQG

面積的最大值

該題的結(jié)構(gòu)是以橢圓為框架，以直線變化為核心，構(gòu)建圓錐曲線中的基本圖形——三角形

第(1)問中，僅需運(yùn)用斜率之積為和橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程即可解決問題，求得

的方程為第(2)問中，根據(jù)條件，由直線

逐步演變至

及

,逐步形成△

PQG

，并證明該三角形是直角三角形，求該三角形面積的最大值

顯然，該題演變至此，已無法僅靠橢圓的知識和方法來解決問題，需要將橢圓、直線、函數(shù)等關(guān)聯(lián)起來解決問題

第(2)問中的第①小問通過“設(shè)而不求”的方法，即設(shè)直線

的方程為

(

>0)，將其與橢圓方程組成方程組，求得含參數(shù)的

點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(

),(-

, -

),(

,0)，其中進(jìn)而將直線

與橢圓組成方程組，得到含參數(shù)的

點(diǎn)坐標(biāo)，并求得

的斜率為至此，該小題得證

對于第②問，它是在第①問的基礎(chǔ)上，得到故△

PQG

的面積由此，該問題演變成了函數(shù)求最值的問題，即令可將問題轉(zhuǎn)化為基本不等式問題，從而求解出△

PQG

的最大值

從整體上看，該題一步一個(gè)臺階，拾級而上，逐步關(guān)聯(lián)各種數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)方法，最終解決問題

3 關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平為基礎(chǔ)，抽象擴(kuò)展水平為目的

高考數(shù)學(xué)壓軸題之所以難，是因?yàn)閴狠S題不僅要求學(xué)生具有扎實(shí)的基礎(chǔ)，還要求能夠?qū)⒍喾N數(shù)學(xué)知識、方法、思想等關(guān)聯(lián)、融合，并在此基礎(chǔ)上，跳出原有體系框架，進(jìn)行抽象擴(kuò)展，獲得新的解決問題的途徑與方法

擴(kuò)展抽象水平必須建立在關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平的基礎(chǔ)之上，它是思維結(jié)構(gòu)水平中的最高層次

因此，高考的最后一道壓軸題主要以該水平為命題的出發(fā)點(diǎn)，考查學(xué)生的抽象擴(kuò)展能力

例3

(2021年新高考Ⅰ卷第22題)已知函數(shù)

(

(1-ln

)

(1)討論

(

)的單調(diào)性；(2)設(shè)

為兩個(gè)不相等的正數(shù)，且

，證明：該題的條件較為簡潔，只有唯一的一個(gè)，即函數(shù)

(

(1-ln

)，再無其他信息

問題也較為清晰，第(1)問討論該函數(shù)的單調(diào)性，第(2)問是在等式的基礎(chǔ)上，證明不等式

該題的第(1)問屬于基礎(chǔ)題，不難解得

(

)的單調(diào)增區(qū)間為(0,1)，單調(diào)減區(qū)間為(1,+∞)

然而，該題的第(2)問卻無法直接看出與條件函數(shù)

(

(1- ln

)及第(1)問的聯(lián)系，試題難度突然陡增，導(dǎo)致一些學(xué)生在此結(jié)束該題

但一部分具備了關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平的學(xué)生能夠繼續(xù)探索，他們想到了將第(2)問中的條件“

”與主題干中條件“函數(shù)

(

(1-ln

)”相關(guān)聯(lián)，這是解決問題的關(guān)鍵，于是有了整理“同類項(xiàng)”，構(gòu)造函數(shù)的想法，將“

”變形為隨后卻發(fā)現(xiàn)，不具備函數(shù)

(

)的結(jié)構(gòu)特征，不滿足

(

)，于是一部分學(xué)生便束手無策

到此，該題進(jìn)入了抽象擴(kuò)展水平要求階段，盡管該題

(

)≠

(

)，但若學(xué)生具備了抽象擴(kuò)展水平，能夠從

擴(kuò)展到從

擴(kuò)展到的話，即可獲得再令進(jìn)而將證明p

>2和

接下來再通過構(gòu)造函數(shù)，用導(dǎo)數(shù)的方法，結(jié)合第(1)問即可證得，從而問題得解

從該題的結(jié)構(gòu)來看，該是以關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平為基礎(chǔ)，主要目的是考察學(xué)生的抽象擴(kuò)展水平

3 壓軸題的突破路徑探析

突破壓軸題需要具備一定的基本知識和基本技能，僅僅處在前結(jié)構(gòu)水平和單一結(jié)構(gòu)水平上是無法有效突破壓軸題的，因此，壓軸題的突破路徑應(yīng)至少建立在多點(diǎn)結(jié)構(gòu)水平之上，否則無法實(shí)施.

3.1 注重核心內(nèi)容的周邊知識積累，提升多點(diǎn)結(jié)構(gòu)水平

作為綜合題的高考數(shù)學(xué)壓軸題，不可能僅僅由一種知識構(gòu)成，它往往是圍繞某一核心內(nèi)容做文章，并配以其他知識作為補(bǔ)充，以求達(dá)到綜合的效果.根據(jù)往年的高考試卷統(tǒng)計(jì)，在高中數(shù)學(xué)的眾多考點(diǎn)中，能夠設(shè)置為高考數(shù)學(xué)壓軸題的核心知識較為明確，一般為函數(shù)綜合、導(dǎo)數(shù)綜合、數(shù)列綜合和解析幾何綜合四大類.在突破這些壓軸題時(shí)，不僅需要對這些核心知識有較為深刻的掌握，同時(shí)，還要對周邊相關(guān)知識有一定量的積累，例如，解決函數(shù)類壓軸題需要用到的周邊知識有集合、方程、導(dǎo)數(shù)、不等式等；解決導(dǎo)數(shù)類壓軸題需要用的周邊知識有函數(shù)及其性質(zhì)、幾何、不等式等；解決數(shù)列類壓軸需要用的周邊知識有函數(shù)、方程、不等式等；解決解析幾何類壓軸題需要用到函數(shù)、向量、方程、不等式等.

在探尋壓軸題突破路徑時(shí)，除了深入掌握核心知識外，要特別注重梳理核心內(nèi)容的周邊知識，它們往往就是突破壓軸題的一個(gè)節(jié)點(diǎn)，缺少了任何一個(gè)都將影響問題的解決.在實(shí)踐中，通過對周邊知識的梳理，我們往往能找到突破壓軸題的相關(guān)知識.因此，扎扎實(shí)實(shí)的多點(diǎn)結(jié)構(gòu)水平是突破壓軸題的基礎(chǔ).

3.2 挖掘多種知識間的隱藏聯(lián)系，形成關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平

高考數(shù)學(xué)壓軸題中的多種知識是試題結(jié)構(gòu)中的節(jié)點(diǎn)，這些節(jié)點(diǎn)之間通過數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法構(gòu)成各種各樣的聯(lián)系，然而，聯(lián)系往往又是隱性的，并不表露于試題，因此，挖掘多種知識間的隱藏聯(lián)系是解決壓軸題的核心，挖掘出壓軸題中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思想是突破壓軸題的重要途徑.

一是函數(shù)綜合壓軸題中蘊(yùn)含著函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸、分類討論、待定系數(shù)法、構(gòu)造法等數(shù)學(xué)思想與方法；二是導(dǎo)數(shù)綜合壓軸題中蘊(yùn)含著數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化、換元等數(shù)學(xué)思想與方法；三是數(shù)列綜合壓軸題中蘊(yùn)含著函數(shù)與方程、等價(jià)轉(zhuǎn)換、分類討論、構(gòu)造法、數(shù)學(xué)歸納法等數(shù)學(xué)思想與方法；四是解析幾何綜合類壓軸題中蘊(yùn)含著等價(jià)轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類討論、待定系數(shù)法、參數(shù)法等數(shù)學(xué)思想與方法.由此可見，數(shù)學(xué)思想與方法并不固定屬于某一類壓軸題，它可以存在于不同的問題類型里，這些隱藏著的數(shù)學(xué)思想與方法是多種知識間的紐帶，通過它們可以將壓軸題由繁化簡、由難轉(zhuǎn)易.

因此，當(dāng)學(xué)生處在關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平層次上時(shí)，能夠發(fā)現(xiàn)壓軸題中多種知識的隱藏聯(lián)系，并通過數(shù)學(xué)思想與方法，游刃有余地將不同類型的知識進(jìn)行互相轉(zhuǎn)換、重新組合，將其轉(zhuǎn)變成熟悉的數(shù)學(xué)問題，進(jìn)而使壓軸題得到突破.

3.3 密集發(fā)散性思維觸角，突破抽象擴(kuò)展水平

突破高考壓軸題除了需要具有廣泛的基礎(chǔ)知識、靈活的思想方法外，還需要具有密集的發(fā)散性思維觸角，能夠敏銳感知到與問題相關(guān)的各種內(nèi)容、各種思路.發(fā)散性思維的觸角越多越敏銳，則突破抽象擴(kuò)展水平的可能性越大，解決壓軸題的可能性也將越大.

解決高考壓軸類問題時(shí)，需要思維由已知分別發(fā)散到高度相關(guān)的內(nèi)容、一般相關(guān)的內(nèi)容或較少相關(guān)的內(nèi)容.在平時(shí)的實(shí)踐過程中，要有意識地關(guān)注與提煉看似邊緣知識里的核心內(nèi)容，以此來密集發(fā)散性思維觸角，同時(shí)，要注重提煉其中的核心方法與核心思想，以提升發(fā)散性思維觸角的敏銳度，達(dá)到隨時(shí)抽象與擴(kuò)展的要求.然而，鑒于人的思維層次從關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)提升到抽象擴(kuò)展結(jié)構(gòu)需要付出巨大的努力，指望所有的學(xué)生達(dá)到更高層次是很不現(xiàn)實(shí)的.因此，在平時(shí)教學(xué)過程中，教師要特別注重因材施教，盡量讓每個(gè)學(xué)生在數(shù)學(xué)中得到最大可能的發(fā)展，但不勉強(qiáng)每一個(gè)學(xué)生都達(dá)到抽象擴(kuò)展水平.

4 結(jié)束語

高考壓軸題千變?nèi)f化，在基于SOLO分類理論的思維結(jié)構(gòu)視域下，突破高考壓軸題需要教師深入分析多種不同類型的高考壓軸題，明確各種壓軸題的思維結(jié)構(gòu)要求，并由此選擇不同的思維結(jié)構(gòu)水平進(jìn)階路徑.同時(shí)，要劃分不同學(xué)生現(xiàn)有壓軸題思維結(jié)構(gòu)水平，并根據(jù)不同的學(xué)生給予不同的突破路徑及具體策略，在學(xué)生明確了自己的等級水平后，再進(jìn)一步激發(fā)其深入學(xué)習(xí)的欲望.當(dāng)壓軸題的思維結(jié)構(gòu)要求與學(xué)生的現(xiàn)有思維結(jié)構(gòu)水平相匹配時(shí)，突破高考壓軸題將不再是可望而不可及的目標(biāo).