優化教學設計 促進深度學習
——以概念教學“函數的奇偶性”為例*

侯 斌 萬金珠

(江蘇省太湖高級中學 214125) (江蘇省無錫市濱湖區教育研究發展中心 214072)

《數學課程標準》明確指出：中學數學課堂教學應揭示數學的本質，重視知識的生成和發展過程及其背后的思想．但當前很多教師的概念教學仍舊是“一個定義，幾點注意”，與新課標的要求相去甚遠．課堂教學不能僅僅是陳述事實，更重要的是探索過程以及在此過程中所表現出來的理性和科學精神．筆者今年上了一節題為“函數的奇偶性”的大市公開課，通過反復磨課和評課，對于概念教學中如何進行教學設計以更好地促進學生的深度學習有了更深的體會．現將這節課的教學設計和實施過程進行整理和反思，敬請同行專家批評指正．

1 教學呈現與設計說明

1.1 情境引入

問題1 如圖1，剪紙是中國的傳統民間藝術，圖案漂亮卻很復雜，怎樣剪省時省力？(折疊)

圖1

問題2 剪出來的圖形是一種怎樣的美？(對稱美)

問題3 它們分別對應我們數學中的哪種對稱關系？(軸對稱和中心對稱)

問題4 哪些函數圖象也具有類似的對稱性？怎樣判斷圖象的對稱性？

學生舉例，如：f(x)=x，f(x)=x2等具有對稱性，根據圖象運用軸對稱和中心對稱的定義判斷其對稱性．

問題5 函數f(x)=x3+x的圖象具有對稱性嗎？

(學生沉默……)

問題6 在研究函數單調性時我們有沒有遇到過類似的困難？當時是怎樣解決的？

學生聯想到類比研究單調性的方法，嘗試用數量刻畫函數的對稱性.

設計意圖由剪紙引出生活中的對稱性，激發學生的學習興趣；再將對稱這個概念從生活中遷移到數學中．設置問題5引發認知沖突，從而激發學生對新知的探求欲，而問題6類比單調性從“形”轉化到“數”的研究方法，既連接了新舊知識，也為用數量刻畫對稱性作好鋪墊．

1.2 概念構建

探究一量化對稱，初識“任意”

完成表格：

x…-3-2-10123…f(x)=x2…9410149…f(x)=|x|…3210123…

畫出圖象：

圖2

問題1 圖象有何共同特征？(關于y軸對稱)

問題2 仔細觀察表格中的數量特征，發現了什么規律？有何結論？(f(-1)=f(1)，f(-2)=f(2)，f(-3)=f(3)，…，歸納得f(-x)=f(x))

問題3 自變量取一對相反數時，對應函數值相等．結論是否具有一般性？可否證明？

設計意圖用函數的三種表示方法分別嘗試刻畫函數對稱性，在對比過程中學生發現：列表法刻畫對稱性不夠完善，不能取盡所有的數值；圖象法不夠嚴謹；唯有解析法能精確地刻畫函數的數量關系，因此嘗試用解析式刻畫對稱性．在此過程中滲透特殊到一般、數形結合的數學思想．學生在直觀感知圖象性質、尋找特值關系的過程中，逐步認識“任意x”的必要性．

探究二幾何演示，理解“任意”

問題1 教師用GeoGebra演示點P在f(x)=x2圖象上運動，提問圖象由什么元素構成？(點)

問題2 圖象關于y軸對稱的實質是什么？(點關于y軸對稱)

問題3 點P在圖象上，關于y軸對稱的點P′在哪里？(仍在圖象上)

問題4 圖象上任取一點P(x0,f(x0))，則點P(x0,f(x0))關于y軸對稱的點P′的坐標是什么？(P′(-x0,f(x0)))

問題5 點P′也在函數圖象上，坐標還能怎樣表示？(P′(-x0,f(-x0)))

問題6 兩種方式都表示點P′，可以得到什么結論？(f(-x0)=f(x0))

問題7 反之，若f(-x0)=f(x0)成立，如何理解這個等式？(橫坐標互為相反數時，相應的兩個函數值相等，即點關于y軸對稱．[2])

問題8 我們將具有以上特征的函數稱為 偶函數，能用符號語言概括偶函數的定義嗎？(?x∈R，f(-x)=f(x))

設計意圖用點坐標刻畫函數的性質是研究形的基本方法．通過對點坐標的研究把幾何問題代數化，使學生理解兩個“任意”：一是圖形的對稱性對任意點都成立；二是任意關于y軸對稱的圖形都有該數量關系．

探究三抽象概括，揭示特征

問題1 圖象關于y軸對稱具有一般性，定義域一定為R嗎？(不一定．不妨設定義域為I，?x∈I，f(-x)=f(x))

問題2 如果在f(x)=x2的圖象上去掉點(1,1)，圖象還關于y軸對稱嗎？定義域取[-3，2]呢？(都不是軸對稱圖形)

問題3 那么我們對偶函數又有什么新的認識？(偶函數的定義域關于數0對稱)

問題4 能完善偶函數的抽象定義嗎？(?x∈I，都有-x∈I且f(-x)=f(x))

設計意圖通過分析、觀察、歸納得偶函數的定義是本節課的核心部分，充分引導學生發現和歸納定義域的特征，有利于學生豐富和完善偶函數的概念，加深對定義的理解．

探究四概念形成，深化理解

如果函數f(x)是奇函數或偶函數，則稱函數f(x)具有奇偶性．

問題1 歸納奇函數與偶函數的異同點：

偶函數奇函數定義域關于數0對稱圖象(形)關于y軸對稱關于原點中心對稱定義(數)?x∈I,都有-x∈I,且f(x)=f(-x)?x∈I,都有-x∈I,且f(x)=-f(-x)

問題2 如何說明一個函數不是偶函數？

不是偶函數只需滿足“?x∈I，-x?I”或“?x∈I，有f(-x)≠f(x)”．因此，用自然語言描述：定義域不關于數0對稱或舉特例說明，如f(-1)≠f(1)．

問題3 判定奇偶性的方法和步驟是什么？

方法：圖象法和定義法．步驟：①看(定義域)；②找(等量關系)；③下結論．

設計意圖讓學生通過類比獨立推導奇函數的定義，培養其創新能力和探索意識．從四種命題的角度來看，若“函數f(x)滿足?x∈I，都有-x∈I，且f(-x)=f(x)，則f(x)是一個偶函數”為真命題，則逆否命題“若函數f(x)不是偶函數，則?x∈I，有-x?I或f(-x)≠f(x)”也為真命題.處理時不用過多強調，只需理清邏輯關系．

1.3 概念應用

例(1)判斷函數f(x)=5x的奇偶性；

(2)函數變成f(x)=5|x|，f(x)=5x2,x∈[-1,2]呢？

問題1 是否存在既奇又偶的函數呢？(比如y=0)

問題2 根據奇偶性可以將函數分為哪幾類？

設計意圖使學生掌握判斷奇偶性的步驟以及圖象法、特值法、定義法等幾種判斷方法．

1.4 拓展提升

圖3

思考：(1)圖3是函數f(x)=x3+x圖象的一部分，你能根據奇偶性畫出函數在y軸左邊部分的圖象嗎？

(2)想一想：能否通過添加項使函數f(x)=x3+x仍是奇函數？非奇非偶函數？偶函數？既奇又偶函數？

設計意圖(1)與解決情境提出的問題前后呼應，判斷函數的奇偶性后自然得出圖象的對稱，體現了學習奇偶性的必要性．(2)是對教材思考題的改編，添加項的探究讓學生在課堂上進行操作，學生利用大屏上的GeoGebra操作尋找規律，促進對奇偶性概念的深度理解．

2 教學感悟

2.1 情境喚醒——聯想與結構

本課是學生繼函數單調性之后第二次接觸到用代數方法刻畫函數的幾何特征(對稱性)，對他們而言探索思路和研究方法還比較陌生．教師通過具有中國傳統文化色彩的剪紙藝術引入生活中的對稱性，引導學生聯想到函數圖象中的對稱性，將生活經歷與本課所學相聯系，使知識具體化．情境引入問題6的目的是喚醒學生以往的學習經驗，聯想到函數單調性中曾經學習過的用代數方法刻畫幾何特征，當“形”不能解決時，轉為“數”的定量刻畫．在融入以往的學習經驗之后，學生就可能產生聯想：想到類比單調性的研究方法來研究函數的奇偶性．學生經過兩次聯想之后，知識就有了生長的根基．本課所學習的關于奇函數和偶函數的定義、非偶函數和非奇函數的概念、判斷函數奇偶性的方法和步驟這些相關知識細碎又龐雜，教師通過探究四的問題1～3這三個問題指導學生梳理、建構知識體系，使枝干清晰、細節豐滿[3]．而學生根據當前的學習活動去激活以往的經驗，以融會貫通的方式對學習內容進行組織從而建立自己的知識結構，這正是深度學習的特征之一．

2.2 探究促進——活動與體驗

在概念教學中，教師應該關注以學生為主體的主動活動是否充分、學生是否充分感知到概念的產生和發展、學生在活動中有怎樣的學習體驗，以及除了知識以外有沒有體會到更深刻的學科思想方法．本課基于學生的活動和體驗進行探究設計，情境引入的問題5通過引發認知沖突從而激發學生對所學內容的求知欲，有效激發學生的學習興趣．在概念構建部分，探究一讓學生體會解析法刻畫函數對稱性的必要性；探究二揭示了函數關于y軸對稱所滿足的恒等關系；探究三揭示定義域的對稱性并完善了偶函數的定義；探究四則是由學生自主探索得到奇函數的定義并深化對奇偶性概念的理解．在探究過程中，學生親歷概念的發現、形成、發展的過程，通過活動與體驗主動建構知識體系，發展了數學抽象、邏輯推理等核心素養．而學生的活動與體驗正是深度學習的學習機制，也是深度學習的特征之一．

2.3 問題驅動——本質與變式

深度學習的著眼點在于教師通過怎樣的方式引導學生掌握知識的本質．這節課上，教師以有效提問為抓手幫助學生搭建認知的階梯，進而把握概念的本質．教師通過探究二的問題1和問題2向學生揭示研究函數圖象性質的一般思路：用點坐標來研究函數性質．仍舊是在探究二部分，教師通過問題3～6構成的問題串一氣呵成，得到了奇函數所滿足的恒等式，至此概念本質即奇函數的定義呼之欲出．變式也是幫助學生形成正確概念的必經之路，比如探究三的問題1，教師通過變式進行追問，引導學生進一步反思偶函數定義域的特征；問題2則給出定義域非對稱的變式，學生在正反對比中發現、歸納出偶函數的定義域關于數0對稱．教師通過問題串、追問的形式以及正反變式進行舉例，引導學生全面把握知識之間的內在聯系．學生形成對學習對象進行深度加工的意識與能力，把握知識本質，并能在本質基礎上進行變式，也是深度學習的特征之一．

2.4 任務引領——遷移與應用

知識要通過遷移和應用轉化成為學生個體的學習經驗.在探究四部分，教師組織學生類比偶函數的定義得奇函數的定義，在此過程中，知識發生了遷移．概念應用部分的例題是對函數奇偶性的簡單應用，問題1和問題2對學生應用所學知識解決問題的能力要求更高．事實上，聚焦學科內容、具有挑戰性的學習任務更需要學生有綜合的能力和創新的意識，可以更好地促進學生的深度學習．例如情境引入部分的問題5其實是為拓展思考部分的學習任務埋下伏筆．總共兩個任務：(1)根據一半圖象作出另一半圖象；(2)添加項使其變成四種函數中的任意一種．根據函數奇偶性，任務(1)不難完成．任務(2)的情境開放且答案不唯一，精彩紛呈的答案更能體現學生在課堂教學中的主體地位．學生解決問題的手段也是多樣的，既可以借助GeoGebra畫圖尋找答案，也可以從“數”的角度去思考，學生綜合運用本節課所學知識完成任務的過程就是高層次的遷移和應用．學習內容的深刻性與豐富性，學生學習的主動性、積極性都在完成任務的過程中得以體現．而遷移與應用也是深度學習的特征之一．

3 結語

通常認為，深度學習具有以下一些特征：聯想與結構、活動與體驗、本質與變式、遷移與應用．在概念教學中如何促進學生深度學習的發生？教師可以通過創設恰當的問題情境喚醒學生以往學習經驗；通過教學活動使經驗得到提升和結構化；通過設置合理的探究活動引導學生充分展開活動與體驗，主動進行知識建構；通過設計有效的提問讓學生的思維外顯，幫助學生理解數學的本質；通過設計具有挑戰性的學習任務引導學生完成學習任務，促進知識的遷移與應用．以上策略均能促使學生的深度學習真實有效地發生．廣大教師應該深刻認識到概念教學的育人價值，明確概念教學的出發點和目標方向并設計好探索路徑，以促使學生走向深度學習并發展其數學核心素養．