基于非線性磨削模型的穩態與顫振抑制的研究

楊鐸，陳添定，李鶴，饒成飛

(1.大連大學機械工程學院，遼寧大連 116622；2.東北大學機械工程與自動化學院，遼寧沈陽 110819)

0 前言

在機械加工過程中，工件的加工質量與切削過程的穩定性有關。當過程參數選擇不當時，會發生切削顫振，導致加工的零件質量不滿足工藝要求。針對這一問題，許多學者進行了研究。

為抑制顫振，提高加工質量，許多學者也進行了相關研究。KONG等通過對主軸轉速進行混沌攝動，成功抑制了車削過程中的顫振。MORADIAN等采用自適應滑模控制抑制鏜削過程中的再生顫振。LI等采用變剛度的方法抑制深孔鏜削過程中的顫振。吳勝利等采用雙時間延遲動力學模型，通過周期性改變砂輪和軋輥的轉速，抑制了軋輥磨削過程中的顫振。

以上研究中大多考慮的線性模型和切削力非線性模型，而在軋輥磨削中，砂輪相較于軋輥為弱剛度結構。因此，本文作者引入Duffing振子作為砂輪結構非線性，建立三自由度磨削系統非線性動力學模型，研究穩態葉圖邊界曲線附近參數變化對磨削過程穩定性的影響。為抑制邊界曲線附近的顫振，采用混沌攝動方法抑制顫振。

1 磨削系統動力學模型

磨削系統通常由床身、頭架、尾架、磨頭、縱橫托板等部件組成。砂輪在水平和豎直方向產生運動，而工件只在水平方向擁有一個自由度，系統的動力學模型簡圖如圖1所示。圖中:、、分別為砂輪的質量、阻尼、剛度；、、分別為工件的質量、阻尼、剛度；、分別為砂輪和工件的轉速；、分別為砂輪和工件的位移。

圖1 磨削系統動力學模型

根據磨削系統動力學模型，建立磨削系統動力學方程：

(1)

(2)

(3)

由于砂輪在豎直方向的運動，在磨削過程中，砂輪與工件表面會產生一個夾角，如圖2所示，但可以看出砂輪在豎直方向的位移遠小于工件半徑與砂輪半徑之和，因此假設文中的角度為0。

圖2 砂輪豎直方向運動示意

(4)

()=+()-(-)-()+

(-)

(5)

式中：為砂輪與工件的磨削重疊率；和分別為磨削過程中砂輪和工件的旋轉周期，表達式為

(6)

砂輪與工件之間的法向磨削力為，為砂輪與工件之間的磨削系數，為有效磨削寬度。當磨削深度為0時，即砂輪表面離開工件表面，法向磨削力變成0，則：

(7)

為砂輪與工件之間的切向磨削力:

=sign()

(8)

由于砂輪在豎直方向的運動，砂輪表面與工件表面在接觸點的相對磨削速度為:

(9)

將公式(5)—(8)代入公式(1)(2)(3)，整理可得

(10)

(11)

(12)

2 磨削過程穩態與分岔分析

根據實際工況選定軋輥磨削系統主要參數如表1所示。

表1 磨削系統參數

采用MATLAB中的數值分析工具箱DDEBIF-TOOL對軋輥磨削系統延遲微分方程進行求解。當磨削重疊率=1時，得到系統的穩態葉圖如圖3所示。可以看出，穩態邊界曲線將參數平面劃分成兩部分，穩態邊界以上為不穩定磨削區域，穩態邊界以下為穩定磨削區域，其中穩態邊界與極限磨削寬度之間的區域稱為條件穩定區域，而極限磨削寬度之下的區域稱為無條件穩定區域。

圖3 穩態圖

根據圖3，當減少磨削寬度到無條件穩態區域時，可以提高磨削過程的穩定性，從而提高磨削工件的質量。但是，當磨削寬度較大時，要選擇合適的工件轉速才能使得磨削過程保持穩定，即過程參數要位于條件穩定區域。而在實際的軋輥磨削加工過程中，為提高加工過程的穩定性，通常參數值都選在遠離穩態邊界區域，甚至選在無條件穩態區域，這不僅限制了軋輥磨削效率，而且增加了企業的成本。因此，本文作者對穩態邊界附近過程參數變化對磨削過程穩定性的影響進行研究。

選擇特定的工件旋轉周期區間，畫出磨削系統關于工件旋轉周期的分岔圖，如圖4所示。可以看出：系統關于工件旋轉周期發生亞臨界分岔，當工件旋轉周期從較小值逐漸增大到較大值時，系統幅值首先保持不變，然后突然跳躍到一個較大的值，此時系統產生一個極限環；而當工件旋轉周期從較大值逐漸減小時，系統幅值首先逐漸減小，到達鞍-結分岔點時，突然減小為0，達到穩定狀態，而系統對應的極限環也隨之消失。上述過程中系統幅值的突變會對工件表面產生不可挽回的損害，嚴重的甚至會發生砂輪表面與工件表面分離的現象，從而產生砂輪與工件之間的嚴重碰撞。這種情形是非線性磨削模型所特有的，因此研究磨削中的非線性對于優化磨削過程參數具有重要意義。

圖4 分岔圖

為更加直觀地分析系統的穩態與分岔，對于圖4中的區域A，當初始進給量取較小值時，作出系統時間歷程曲線。如圖5(a)所示，此時系統處于穩態磨削過程；而當初始進給量取較大值時，系統時間歷程曲線如圖5(b)所示，此時系統處于不穩定磨削狀態，即發生磨削顫振。

圖5 圖4中區域A的時間歷程曲線

3 磨削顫振抑制

在實際生產過程中，磨削顫振的發生不僅會降低工件加工的表面質量，加劇機床的磨損，而且還會縮短刀具與機床的壽命，增加加工成本。因此，抑制顫振從而提高工件質量和降低加工成本對于企業具有重要意義。

對于大多數主動控制、半主動控制和被動控制方法而言，為抑制顫振，需要在機床上添加額外的輔助部件或者改動機床結構，這樣不僅增加了成本，而且所添加的輔助部件可能會降低機床的磨削剛度。而變主軸轉速簡單易操作，且不需要額外的部件，因此本文作者采用變主軸轉速的方法來抑制軋輥磨削加工過程中的顫振。該方法的基本原理是在磨削加工過程中，使主軸轉速在所設定的名義轉速附近連續或離散地變化，從而破壞顫振產生的條件，達到抑制磨削顫振的目的。連續變主軸轉速的公式為

()=+()

(13)

式中：為名義轉速；為攝動幅值；()為攝動時間序列。

文中采用混動控制策略來攝動砂輪轉速，從而破壞顫振產生的條件，達到抑制磨削顫振的目的。采用洛倫茲方程(Lorez Equations)和若斯勒方程(Rossler Equations)作為混動控制策略的攝動方程。洛倫茲方程為

(14)

為使洛倫茲方程產生混沌現象，普朗特數取10，瑞利數取30，取8/3。

若斯勒方程如式(15)所示，同理，為產生混沌現象，其參數、、取值分別為02、02、57。

(15)

基于MATLAB中的Simulink模塊，采用4階龍格-庫塔法求解洛倫茲方程和若斯勒方程，仿真時間為10 s，將方程解的時間序列作為變時間延遲模塊的輸入，從而攝動主軸轉速，在=5 s時施加混沌控制，混沌控制仿真結果如圖6所示。由圖6(a)可知，在沒有施加混沌控制時，磨削系統擁有較大的幅值，處于顫振磨削狀態。而在圖6(b)和(c)中，施加混沌控制后，系統的幅值在較短時間內達到穩定值，處于穩定磨削狀態。從圖6可以看出:文中所采用的洛倫茲方程和若斯勒方程混沌控制策略對于抑制磨削過程中的顫振均有良好的效果，可以提高磨削工件的質量，延長砂輪壽命，降低機床磨損，從而降低成本。

圖6 混沌控制仿真時間歷程曲線

4 結論

針對穩態葉圖邊界曲線附近軋輥磨削顫振問題，本文作者通過引入Duffing振子，建立了三自由度非線性磨削動力學模型?；贛ATLAB 延遲微分方程工具箱DDEBIF-TOOL，通過數值計算的方法，作出了非線性系統的分岔圖，分析了穩態葉圖邊界曲線附近參數變化對軋輥磨削穩定性的影響。結果表明：當軋輥磨削寬度保持不變時，對于指定區間的工件旋轉周期，當它從條件穩態區域進入到穩態顫振區域時，系統發生亞臨界Hopf分岔，出現系統幅值跳躍現象，不穩定磨削顫振發生，而對于工件旋轉周期位于鞍-結點左邊的情形，系統沒有發生顫振，說明這一區間的參數可以被用于穩定的軋輥磨削，從而增加了過程參數的選擇范圍，為實際軋輥磨削加工過程中參數選擇提供了參考。為抑制穩態邊界曲線附近軋輥磨削中產生的顫振，提出了一種混沌攝動的變主軸轉速抑制方法來抑制顫振。時間歷程曲線表明，當軋輥磨削系統被施加混沌攝動后，系統的幅值在較短的時間內極大地減小，說明該方法有良好的顫振抑制效果。研究結果為實際加工過程中軋輥磨削顫振抑制提供了一種新的思路。