變雙曲圓弧齒線齒輪切削仿真及參數優化

廖奎，侯力，張海燕，吳陽

(四川大學機械工程學院，四川成都 610065)

0 前言

變雙曲圓弧齒線圓柱齒輪(VH-CATT)是一種將圓弧齒線運用于齒輪齒線上的新型齒輪。與現有齒輪形式相比，其承載能力更強、傳動性能更優，具有廣闊的運用前景。VH-CATT由曲線齒錐齒輪衍生而來。20世紀初，由于普通漸開線齒輪普遍有著承載能力差的缺點，美國韋爾哈德最早提出將齒廓發展為圓弧形，并在曲線齒錐齒輪的研制中取得了較大成功。LITVIN和GUTMAN對該曲線齒錐齒輪的成形理論及接觸進行了深入研究。而在國內，隨著我國社會的不斷發展，實際機械工程對于齒輪的要求也越來越高，更多的科研工作者開始關注弧齒輪這一具有前景的研究方向，如吉林大學彭福華教授曾嘗試通過圓拉法提高弧齒圓柱齒輪的加工效率；曾韜等數學工作者對螺旋錐齒輪的嚙合理論進行了系統的研究等。

VH-CATT由于成形復雜，很難用普通的數控機床加工成形，所以需要使用高檔數控機床進行加工。但是這樣加工出來的VH-CATT為近似加工，存在有加工原理誤差、成本極高、很難工業化等缺點。因此，要實現VH-CATT的大規模工業化，其專用數控機床的研制就顯得格外重要。由于現在沒有專用的加工機床，其加工以及調整較為復雜。如果不對VH-CATT切削加工過程中的參數進行合理設置，就不易獲得理想的加工效率及加工質量。因此，本文作者分析VH-CATT的加工原理，進行VH-CATT的切削仿真并利用鯨魚算法優化切削參數。

1 VH-CATT切削加工成形原理

與傳統的圓柱齒輪相比，VH-CATT的齒線特殊，沿著與齒輪同軸的某一圓柱面展開的平面上呈圓弧形，而其他齒輪如直齒輪、斜齒輪等的齒線為直線與斜直線。VH-CATT傳動是較優的一種新型傳動方式。

如圖1所示，VH-CATT的嚙合齒線為空間曲線。從齒輪端面上看，在中間截面上其輪齒為漸開線齒廓，其余截面上均為變雙曲齒廓。VH-CATT的嚙合接觸線較同大小的直齒圓柱齒輪更長；齒面形狀為拱形，由凹面和凸面組成。因此，從理論上講，VH-CATT擁有更好的承載能力、傳動平穩性、疲勞強度。

圖1 齒輪軸側圖

如圖2所示，VH-CATT旋轉加工刀盤加工該齒輪過程中，刀盤沿軸的高速旋轉加工是齒輪銑削過程中的主運動，在刀盤做旋轉運動的同時，齒坯在平面做范成運動。這個運動為齒輪銑削過程中的進給運動，即齒坯沿著軸的水平運動與齒坯繞著軸的旋轉運動。加工完一個齒槽后，齒坯沿著軸移動回到初始位置，齒坯繞著旋轉分度，然后加工齒輪的下一個齒槽，直至整個VH-CATT齒面加工完成。

圖2 加工原理

2 VH-CATT切削模擬仿真

使用有限元模擬方法分析齒輪實際加工情況，可以分析刀具在實際加工過程中的作用力以及刀具其他特定切削性能的變化。通過分析不同切削參數下的切削力，綜合考慮切削參數對切削結果的影響。

對加工過程進行詳盡的模擬十分復雜，所以有必要對加工模型進行簡化。由于齒輪各個齒槽的切削過程相同，只需要完成一段齒面的仿真加工。而所要加工的變雙曲圓弧齒輪的齒廓弧線曲率半徑較大，所以可以在仿真時將工件作近似的直線處理并以長方體代替，如圖3所示。

圖3 切削近似處理模型

材料的本構關系對于有限元仿真十分關鍵，因為它一定程度上代表了材料的本質屬性。在此類型的仿真中，Johnson-Cook模型對金屬的力學行為具有很好的擬合性以及數值穩定性，可以方便地應用于有限元分析模型中。因此，本文作者采用Johnson-Cook模型，并將工件材料設置為45鋼，材料參數及其本構模型參數如表1—表3所示，將刀具材料設置為WC(碳化鎢)材料。在仿真過程中，為提高切削效率，將刀具設置為剛體模型。

表1 材料參數

表2 45鋼J-C模型參數

表3 45號鋼J-C 模型失效參數

設置材料模塊、分析步等模塊后，當模擬仿真完成后，由ABAQUS軟件的結果模塊中能夠觀看銑刀條切削過程中每一個時刻的模擬仿真，并且能夠獲得模擬仿真輸出的結果，如圖4所示。

圖4 銑刀切削仿真

3 仿真切削參數優化

3.1 鯨魚優化算法

鯨魚優化算法(Whale Optimization Algorithm，WOA)是模仿座頭鯨的狩獵行為提出的一種新型啟發式優化算法。目前的鯨魚算法與其他群優化算法相比，主要區別在于：它采用隨機或最佳搜索代理來模擬捕獵行為，并使用螺旋線來模擬座頭鯨的泡泡網攻擊機制。在WOA 算法中，種群內的每一只鯨魚所在的位置都是一個可行的解，這樣鯨魚群就可以包圍獵物并捕捉。

由于最優設計在搜索空間中的位置不是先驗已知的，WOA算法假定當前的最佳候選解是目標獵物或接近最優解。在定義了最佳搜索代理后，其他搜索代理將嘗試向最佳搜索代理更新它們的位置。捕食過程用數學表達式表示為

(1)圍困獵物

(+1)=()-

(1)

=|()-()|

(2)

式中：()為當前群體最優位置；、為系數；為當前鯨魚個體與最優位置之間的距離。

其中、的計算方式如下：

=2-

(3)

=2

(4)

(2)發泡網攻擊

首先是對獵物進行收縮包圍，這個過程依靠降低值實現，其位置更新按照公式(5)進行，并在接下來的時間內按照螺旋線公式更新位置，其表達式為

(+1)=′cos(2π)+()

(5)

式中：′=|()-()|是當前情況下的鯨魚最優位置與鯨魚個體之間的距離；為對數螺旋形狀常數；是-1～1之間的隨機數。

(3)隨機搜索

(+1)=(+1)-

(6)

=|()-()|

(7)

式中：()表示當前情況下隨機一個個體的位置。

3.2 模型設計變量

一般情況下，在整個加工過程中，將對切削過程影響較大的變量作為設計變量,對優化結果起不到重大作用的變量通常作為常數。一定的簡化處理對于模型來說是必要的，若使用太多的變量，可能會使計算求解的過程變得異常復雜，增加一些不必要的工作，增加難度。在VH-CATT加工過程中，使用必要的切削參數條件作為優化變量，包括：主軸轉速(r/min)，每齒進給量(mm)，切削深度(mm)。

3.3 目標函數

本文作者旨在獲得較小的切削力和較高的加工效率，因此選取單件加工時間和切削力作為優化目標。

3.3.1 單件加工時間

單齒槽加工基本時間為

=2++

(8)

式中：為單齒槽加工基本時間(min)；為齒坯回轉時間(min)；為切入齒坯時間(min)；為工進、工退時間(min)。

齒槽加工如圖5所示。

圖5 齒槽加工示意[11]

由圖5可得:

(9)

式中：

=+++

(10)

=

(11)

式中:為銑刀齒數。對于任意一個齒槽加工，設加工步長為，相應地，齒坯在軸方向上的運動距離為:

(12)

則一個齒槽加工過程中總的切削刀數為

(13)

在實際加工過程中，取正整數，所以文中對進行取整。

一個齒槽加工完成以后，開始加工下一個齒槽前需要重新對刀。重新對刀時，齒坯只需要在軸方向后退，同時繞軸旋轉：

(14)

=

(15)

則：

(16)

式中：為分度角速度。

單件加工基本時間為

=

(17)

(18)

3.3.2 切削力函數建模

切削力與銑削參數之間的關系沒有明確的表達公式，本文作者使用指數公式對切削力進行模擬。若在進行模擬試驗時，將所有的試驗遍歷，會損耗許多不必要的時間與精力，所以本文作者使用三因素三水平正交試驗法來提高試驗的效率。

正交試驗選取的參考因素為主軸轉速(r/min)、切削每齒進給量(mm)、切削深度(mm)，表4所示為正交試驗的因素水平及仿真試驗結果。

表4 仿真試驗結果

設置切削力的經驗模型為

(19)

其中：為經驗修正系數；、、為影響因素；為切削力。

對模型公式取對數得：

lg=lg+lg+lg+lg

令上式中lg=、lg=、lg=，lg=、lg=，則經驗模型的線性方程為

由上文分析可知，各變量對于水資源消耗影響的動態效應存在著省域差異，為了進一步探討城鎮化各因素對水資源消耗影響的區域差異，本文將我國30個省份按照國家統計局地區劃分［22］的方法分為東北、東部、中部、西部4個區域，研究區域的劃分及所包含省份見表5。

=+++

(20)

通過仿真數據建立經驗模型的多元線性回歸方程組可表示成矩陣形式：

=+

其中:

采用最小二乘法估計，設、、、為、、、的最小二乘估計，所以回歸方程為

(21)

多元性線性方程組參數的最小二乘估計矩陣為

=()

(22)

式中：為的轉置矩陣;()為的逆矩陣。

通過Origin軟件對試驗數據進行擬合，并利用MATLAB軟件對其運算進行檢驗，獲得多元線性回歸方程的系數，得到影響切削力的轉速、進給量和切深的優化模型：

(23)

通過進一步計算，可以算出殘差平方和即剩余平方和，記為。

所以有：

=-α

(24)

經計算得出=0.021，越小說明回歸方程表達變量之間統計相關關系的精確程度越高，回歸分析的效果越好。

經擬合回歸得到變量與優化模型之間的函數關系后，需對其進行顯著性檢驗。常用的顯著性檢驗方法有檢驗和檢驗，二者在本質上是一樣的，文中選用檢驗法。統計變量為

(25)

分析利用Origin計算得到的切削力方差表，可以得到方差分析統計量，包括均方誤差、自由度、顯著水平等，如表5所示。

表5 方差統計結果

假設顯著性水平=0.05，查表可知>095(38)=882，且<0.01，由此可知所得到的優化模型與變量之間具有良好的函數關系。

3.3.3 函數確定

對于具有多個目標函數的優化問題，一直較難解決，很難得到滿足多個目標的最優解。一般將多目標轉換為單目標優化，常用的方法有兩種，一種是加權求和法，另外一種是引入一個極大熵函數來對其進行簡化。本文作者采用加權求和法，簡化以后所對應的單目標優化函數為

min(,,)=min(+)

(26)

式中：、為權重，且+=1。

利用專家打分法或層次分析法等對權重進行確定，得到兩個量綱不同的目標函數。因此，需進行量綱歸一化處理：

式中：、分別為單目標函數優化的最大值與最小值；、分別為單目標函數優化的最大值與最小值。

最終得到的單目標優化函數為

min(,,)=min(+)

(27)

3.4 約束條件

優化設計選擇變量的設置并不是任意的，必須對它進行一定約束。機床銑削加工參數選擇在滿足加工工藝要求、機床條件等基礎上建立約束條件，使優化結果更符合實際加工要求。決策變量應滿足以下約束條件。

(1)主軸轉速約束條件：<<，其中為機床最低主軸轉速，為機床最高主軸轉速。

(2)每齒進給量約束條件：<<，其中為機床最低進給量，為機床最高進給量。

(3)刀具對切削的約束條件。切削深度的增加可能造成刀具的折損，所以刀具的切削深度不能大于刀具的最大切深，即0<<，其中為刀具的最大切深，單位為mm。

3.5 優化結果與分析

利用MATLAB進行鯨魚算法的編程，對齒輪加工過程中的切削參數進行優化，設置最大迭代次數為500、搜索代理數為30。

算法開始運行后，鯨魚會開始在區域內進行捕食，每一次迭代位置更新，都會向最優值靠近，最后得到的最優位置就是期望得到的結果。由圖6可以看出，在迭代近200次后接近收斂。優化后的結果如表6所示。

圖6 WOA迭代收斂結果

表6 優化結果

4 結論

(1)本文作者分析了變雙曲圓弧齒線圓柱齒輪的成形原理及加工過程，利用ABAQUS完成了其切削加工過程的模擬仿真。

(2)根據模擬仿真得到的試驗數據建立了切削力的預測模型，通過建立回歸模型、模型擬合數據與顯著性檢測等手段，驗證了所建切削力預測模型的可靠性，表明在加工齒輪時，利用該模型能夠合理選擇切削參數。

(3)基于鯨魚算法，對VH-CATT的加工切削參數優化問題進行了研究，建立了以加工效率與較小切削力為目標的函數優化模型，并通過加權求和法與歸一化處理將它轉化為單目標函數優化模型，得到優化后的切削參數為主軸轉速=189.3 r/min，每齒進給量=0.046 mm，切削深度=1.89 mm。