注重通法 揭示本質 落實素養
——以2022年高考數學全國甲卷文科12題的解法研究為例

四川省溫江中學

張 君 王奮際 張斌輝

1 真題再現

(2022年全國甲卷文科第12題)已知9m=10，a=10m-11，b=8m-9，則( ).

A.a>0>bB.a>b>0 C.b>a>0 D.b>0>a

2 試題分析

羅增儒教授把解題總結為“條件預示可知并啟發解題手段，結論預告需知并誘導解題方向”，解題的本質是尋找條件與結論的關系.題從兩種角度思考解題方案：一是綜合考慮條件與選項，做等價變形；二是直接從條件出發，推導結論.

觀察已知條件，a,b均為指數式與常數之差，作差后不易比較大小，又由于a,b無法判斷正負，作商也不易比較；再觀察選項發現，a,b都需要與0比較.故可考慮等價變形為三個對數值log1011，log910，log89的大小比較，即為思路1.

等價變形為三個對數值的大小比較，此時可以直接作差(解法1)或作商(解法2)比較，也可利用數列單調性(解法3)，函數單調性(解法4)或糖水不等式(解法5)比較.解法1～3不約而同地可以使用均值不等式將對數乘法轉化為加法，解法4則利用函數求導尋找單調性，解法5需要學生有一定積累.

由于條件中的三個表達式結構類似，可以考慮構造函數，利用函數單調性比較，即為思路2.此時可轉化為函數零點和單調性問題(解法6)，也可轉化為兩個函數圖象來分析問題(解法7)或指數函數圖象的增長速度問題(解法8).

如果將9m作為整體，避開對數運算，適當放縮，那么此題可轉化為尋找a的下界和b的上界問題(解法9).

上海市特級教師文衛星老師主張用思維導圖對解題思路加以形象總結[1]，此題解題思路可表示為如下思維導圖(如圖1).

圖1

3 一題多解

3.1 綜合條件與選項，恒等變形轉化

由9m=10知m=log910，比較a=10m-11與0的大小，等價于比較10m與11大小，等價于比較m=log910與log1011大小；同理，比較b=8m-9與0的大小，等價于比較m=log910與log89.至此，本題轉化為比較log1011,log910,log89三個數的大小.要比較這三個數有如下幾種方案.

解法1：(作差)由于三個對數不同底，考慮化同底之后作差.

同理可判斷log910

故有log101110log1011-11=0，b=8m-9=8log910-9<8log89-9=0.即a>0>b.故選：A.

解法3：將這三個數看作數列{logn(n+1)}的第8，9，10三項，先研究數列的單調性，比較logn(n+1)與logn+1(n+2)(其中n∈N*,n≥2)的大小.

所以ln2(n+1)-lnn·ln(n+2)>0，即

logn(n+1)>logn+1(n+2).

由此可得log89>log910>log1011.下同解法1.

點評：上述三種方法，先將對數化同底，基于同底對數沒有乘法，但可以相加，不約而同地利用均值不等式，最終完成解題.

解法4：令f(x)=logx(x+1)(x>1).

由1

xlnx<(x+1)ln(x+1).

因此，當x>1時，f′(x)<0，所以函數f(x)=logx(x+1)在(1,+∞)上單調遞減.

所以f(10)

同理log1011

綜上所述，log1011

3.2 形式同構，構造函數，逆用單調性，數形結合

解法7：令f(x)=xm-x-1(m=log910)，則f(9)=0.函數y=xm(m=log910)與y=x+1圖象的交點為(9,10)，如圖2所示.

由圖2可知，當09時，xm>x+1.所以8m<9，即b=8m-9<0；10m>11，即a=10m-11>0.所以a>0>b，故選：A.

圖2

解法8：如圖3，從下到上分別是函數y=8x，y=9x，y=10x的圖象，直線x=1與三條曲線分別交于點A，B，C，直線x=m(m=log910)與三條曲線分別交于點E，G，P.分別過點A，B，C作x軸的平行線依次交直線x=m于點D，F，H.因為y=8x，y=9x，y=10x的圖象上升速度依次加快，則DE

圖3

8m-8<9m-9=1<10m-10,

8m-9<9m-10=0<10m-11.

故選：A.

點評：解法4，6，7，8都構造了函數，但構造的函數各不相同.構造函數后，利用的函數性質也不同.可見，通法之下也有很多變化.

3.3 化異為同，適當放縮

解法9：顯然，m>1.依題意可得

所以a>0>b，故選：A.

點評：解法9綜合題目條件信息、指數函數單調性，巧妙放縮，達到“秒殺”的效果.

4 課本溯源

(2019年人教A版數學必修第一冊第141頁第13題)比較下列各題中三個值的大小[2]：

(1)log0.26,log0.36,log0.46；(2)log23,log34,log45.

我們來研究一下第(2)問.

所以ln23-ln2ln4>0，即log23>log34.

同理可得log34>log45.

綜上所述，log23>log34>log45.

點評：作差、通分后，利用基本不等式即可判斷ln23-ln2·ln4的符號.如果掌握了這種思想方法，那么考題中a與b的符號就容易聯想到利用基本不等式來判斷，這說明這道考題源于課本高于課本.因此，指導高三復習要立足課本，適當拔高，就能提質減負！

5 通法遷移

國務院《深化新時代教育評價改革總體方案》提出，要“改變相對固化的試題形式，增強試題開放性，減少死記硬背和‘機械刷題’現象”[3]，這要求教學中要重視通性通法，尋找解題本質，落實核心素養.

本文對2022數學甲卷文科12題的解法研究中，主要提出了三大類通法：一是綜合考慮條件和結論，等價變形后，作差、作商比較大小；二是結構相似，構造函數，利用函數性質，如單調性、圖象、增長趨勢等比較大小；三是利用放縮、特殊值，甚至泰勒展開等估計參數值的范圍比較大小.

這些“通法”當然也能遷移到其他高考題，例如：

(1)(2020·全國卷Ⅲ理科第12題)已知55<84，134<85.設a=log53，b=log85，c=log138，則( ).

A.a

A.a

A.c

6 一題多變

在高考題基礎上，筆者作了一些變式，讀者可以嘗試從通法入手，完成解題.

變式1已知a=101.1-6，b=91.1-5，c=81.1-4，則a，b，c的大小關系是( ).

A.a

變式2已知10m=11，a=8m-9，b=9m-10，則( ).

A.a>0>bB.a>b>0 C.0>b>aD.b>0>a

變式3已知9m=11，a=10m-12，b=8m-10，則( ).

A.a>0>bB.a>b>0 C.b>a>0 D.b>0>a

變式4已知5m=31，a=6m-42，b=7m-55，則a，b，c的大小關系是( ).

A.a>0>bB.a>b>0 C.b>a>0 D.b>0>a

提示：(1)B. (2)C. (3)A. (4)C.