摸球問題 有型可循*

福建省石獅市第一中學

李桂娟

在古典概率問題中，有一類物品抽取問題，其概率的計算較為困難，如抽簽、隨機取數、次品抽取等.但如果能建立某種模型，將要解決的概率問題通過適當的轉化，讓它適用于該模型，往往能使問題更清楚，更容易看出問題本質.

引例一個袋子內有6個大小一樣的小球，其中4個是黑球，2個是白球.

(1)從中任意取出3個球，求既有黑球又有白球的概率；

(2)從中不放回地依次取出3個球，求第三次摸到白球的概率；

(3)從中有放回地依次取出3個球，求第三次摸到白球的概率.

分析：以上三個問題，分別代表了古典概型中摸球問題的常見三種類型.

(1)一次性摸取.

摸球的特點：一次性摸取，元素不重復，無順序.解決的方法：組合的思想.

(2)逐次、每次不放回摸取.

摸球的特點：逐次、每次不放回摸取，元素不重復，但有順序.解決的方法：排列的思想.

(3)逐次、每次有放回摸取.

摸球的特點：逐次、每次有放回摸取，元素重復，同一個球每次被摸到的概率都一樣.解決方法：獨立重復試驗中某事件發生的概率不變.

為了方便起見，把上述的第一種類型(一次性摸取)和第二種類型(逐次、每次不放回摸取)，統稱為不放回摸球模型.第三種類型(逐次、每次有放回摸取)，稱為有放回摸球模型.

模型的析出：

不放回摸球模型——解決的方法：組合或排列的思想.

有放回摸球模型——解決的方法：獨立重復試驗中某事件發生的概率不變.

在不放回摸球模型和有放回摸球模型中，最后一次摸到白球的概率是一樣的.能否得到一般性的結論？

變式1一個袋子內有a+b個大小一樣的小球，其中a個是黑球，b個是白球.

(1)從中不放回地依次取出k個球(1≤k≤a+b)，最后一次摸到白球的概率為多少?

(2)從中有放回地依次取出k個球(1≤k≤a+b)，最后一次摸到白球的概率為多少?

分析：變式1是引例的推廣.

解：(1)問題等價于“從a+b個球中任意取出k個球進行排列，求第k個球是白球的概率”，所求概率

反思：在不放回摸球模型和有放回摸球模型中，第k次摸到白球的概率是一樣的.但是思考的方式卻不同.在有放回摸球模型中，每次摸到白球都是獨立的，從而只考慮第k次即可，不需要考慮前面k-1次摸球的情況；在不放回摸球模型中，前一次摸球會影響后一次摸球，所以整個摸球過程要當成一個整體考慮.

變式2(高考題改編)已知6只動物中有1只患有某種疾病，需要通過化驗血液來確定患病的動物.血液化驗結果呈陽性的即為患病動物，呈陰性的即沒患病.下面是兩種化驗方法：

方案甲：逐個化驗，直到能確定患病動物為止.

方案乙：先任取3只，將它們的血液混在一起化驗.若結果呈陽性則表明患病動物為這3只中的1只，然后再逐個化驗這3只，直到能確定患病動物為止；若結果呈陰性則表明患病動物為另外3只中的1只，然后再逐個化驗另外3只，直到能確定患病動物為止.

(1)用X表示依方案甲所需化驗次數，求X的期望；

(2)用Y表示依方案乙所需化驗次數，求Y的期望.

分析：這是一道以摸球為背景的概率問題.

問題等價于：有6個大小一樣的小球，其中5個是黑球，1個是白球.

方案甲：依次不放回地摸球，直到能確定摸出白球為止.

方案乙：從中任取3個球，若這三個球含白球，則繼續從這3個球中依次不放回摸球，直到能確定摸出白球為止；若這三個球不含白球，則繼續從另外含白球的3個球中依次不放回地摸球，直到能確定摸出白球為止.

屬于不放回摸球模型.解決的方法：組合或排列的思想.

解：化驗次數X的所有可能取值是1，2，3，4，5.

因此，方案甲所需化驗次數X的數學期望

(2)化驗次數Y的所有可能取值是2，3.

當Y=2時，有兩類：

第一類，第一次任取的3只是含患病的，則繼續從這3只中逐個化驗，第一次就抽到患病的；

第二類，第一次任取的3只是不含患病的，則繼續從另外含患病的3只中逐個化驗，第一次就抽到患病的.

這兩類事件互斥，概率為

同理，當Y=3時，也有兩類：

第一類，第一次任取的3只是含患病的，則繼續從這3只中逐個化驗，第一次抽到不患病的，第二次不論是抽到不患病的還是抽到患病的，都能確定哪只是患病動物，化驗結束；

第二類，第一次任取的3只是不含患病的，則繼續從另外含患病的3只中逐個化驗，第一次就抽到不患病的，第二次不論是抽到不患病的還是抽到患病的，都能確定哪只是患病動物，化驗結束.

這兩類事件互斥，概率為

因此，方案乙所需化驗次數Y的數學期望

反思：本題也可以從對立事件的角度來求X=5與Y=3的概率.

研究以摸球為背景的概率問題，我們可以在解題中以如下思路思考問題：不放回摸球模型解決的方法是利用組合或排列的思想；有放回摸球模型解決方法是利用獨立重復試驗中某事件發生的概率的不變性.善于利用對立事件，是探求解題捷徑的重要手段之一.

在摸球情景下，正確地求解概率問題，必須要具備一定的排列組合知識，熟悉并掌握必要的“概率模型”，會靈活運用分類與討論、化歸與轉化等數學思想.