反例教學法在高中數學教學中的應用

江蘇省梁豐高級中學

施冬芳

美國數學家蓋爾鮑姆提出：“數學由證明和反例構成，并朝著證明與反例構造發展.”反例是指通過變換事物的屬性，引發思辨，從反面凸顯出事物的本質屬性的例證.證明是通過已知為真來確定某一事物的真實性，反例則是用已知為真揭露另一個判斷是虛假的，兩者的目的都是為了揭露事物的本質屬性，它們呈相輔相成的關系.

新課標明確提出：“數學教學應用實例進行合情推理，讓學生在猜測、探索、演繹推理中確定結論的正確性，或構造反例來駁回錯誤的猜想.”反例的構造能凸顯概念及定理的本質特征，讓學生在反思中發現錯誤，加深對知識的理解與掌握程度；同時，構造反例還可打開學生的逆向思維，幫助學生從反面理解所學知識，培養學生解決問題的能力.

1 反例法在分類討論中的應用

任何一個結論的成立都離不開一定條件的輔助，每種數學思想方法的應用也有其相應的范圍.高中數學相對復雜，不少問題的結論并不唯一，分析時需根據問題的特點，從若干類出發，將一個大問題轉化為一個個小問題.這種根據實際情況分類，再逐個突破研究的數學思想就是常見的分類討論思想.

然而，當我們遇到的命題似真似假時，利用反證法常會出現分類不全或假設錯誤，導致解題失敗.而反例的構造，則能凸顯問題的本質，快速解決問題.解題中，學生常會遇到一些問題無法直接求解，此時巧妙地從問題的反面進行分析，可使問題變得更加簡單.

例1已知關于x的方程x2+2ax+2a2-1=0至少有一個負實數根，則實數a的取值范圍是什么？

解析：此題若從正面來論證，需分別從三種情況來分析.①存在兩個負實數根；②正、負實數根各一個；③存在一個零根，一個負實數根.

若分別討論以上三種情況，不僅過程繁瑣、冗長，還容易出現失誤.本題若構建反例，設方程無負實數根時實數a的范圍為A，則方程至少有一個負實數根時a的范圍即為A的補集.

點評：本題若從正面論證，需耗費大量的時間與精力，而從反例的角度去分析，則使繁雜的問題變得簡捷很多.因此，遇到分類討論的問題時，不要受思維定式的影響，應從多角度去思考、分析問題，必要的情況下通過反例的構造，能讓冗長的問題變得短小、精煉.

2 反例法在概念教學中的應用

高中數學概念比較抽象，有些學生在學習概念時不得法，憑借死記硬背來掌握概念，因對概念的內涵缺乏深刻理解，而導致在概念的表達或應用時錯誤百出.倘若在概念形成的教學階段，能讓學生從深層次剖析概念的內涵，辨析常見錯誤產生的原因，則能幫助學生從反面或側面挖掘出概念的本質，建構完整的認知.將反例法應用到概念教學中，對一些基礎薄弱的學生而言，能改變他們所存在的概念模糊或認識不完整的狀況.

比如，對韋達定理的認識，學生的思維受原有認知經驗的束縛，常認為兩根之和為一次項系數的相反數，兩根的積為常數項.妥妥地忽略了定理中一個很重要的條件：平方項的系數未必是1.

這是一個可以避免的錯誤，教師在教學時，可向學生提出：ax2+bx=c=0兩根的和是-b，積為c，這種說法對嗎？

若學生認為這種說法是錯誤的，教師就趁機追問，錯在哪兒？

通過反例的構造，不僅能彌補學生思維中對韋達定理認識不全的問題，還能讓學生對概念學習產生新的認識，為后期的學習奠定基礎.

3 反例法在錯題教學中的應用

教學中，不少學生受慣性思維的影響，解題時會想當然地按照自己的意愿給出相應的結論.為了避免思維定式帶來的副作用，教師可引導學生在適當的時候應用反例，激發學生的認知沖突，通過矛盾的解決來獲得問題的本質.

不論f(0)=0還是f(-x)=-f(x)的計算，這些錯誤發生的關鍵性因素，還是因為學生對于奇函數的定義沒有達到深刻理解的程度，對f(0)=0的適用范圍沒有產生足夠的認識.為了讓學生找到錯誤產生的根源，避免此類問題的再次發生，筆者構造了反例問題，達到幫助學生糾錯，提升思維的作用.

問題(1)a=1是怎么得到的？(根據f(0)=0得來.)

(2)是不是奇函數就一定有f(0)=0？(f(x)是奇函數時，f(-x)=-f(x)?f(-x)+f(x)=0，f(0)=0.)

(4)回顧第(2)個問題，來分析另一個學生的答案.(函數f(x)定義域為D，如果0∈D，根據f(0)=0可以得到a=1；如果0?D，根據20+a=0?a=-1；也可以利用特殊值f(1)+f(-1)=0?a=±1.)

通過以上環環相扣的問題，容易發現，函數f(x)定義域為D，如果0∈D，就一定存在f(0)=0；而0?D，f(x)為奇函數時，就一定存在20+a=0，a=-1.

隨著設問、追問，以及反例的應用，學生經歷了探究錯誤根源的過程，并在不斷的思考、分析與推理中更進一步理解問題的本質.

正例與反例是相互對立又統一的關系，教學中若想單純地憑借正例解決一切問題，這是不現實的.很多時候，反例能襯托出知識的核心，讓不易發現的錯誤暴露于學生的思維中.因此，筆者常將反例法應用到錯題教學中，以激活學生的思維，幫助學生提煉知識，達到融會貫通的目的.

4 反例法在特殊情況中的應用

特殊與一般是相互對立又相互依賴的關系，有些問題可把它們的特殊情形作為突破口，從獨特的性質或變化規律中，找出解題途徑，實現從特殊中發現一般的規律，又用特殊來否定一般的目的.因此，將反例應用于特殊情況中，是實現問題突破的重要方法之一.

例3判斷正誤：如果函數f(x)與其反函數f-1(x)的圖象存在交點，那么此交點一定在直線y=x上.

面對此題，若從正面去判斷比較麻煩，而反例的應用，則能使判斷過程變得清晰，簡潔.本題若用“函數y=-x”作為反例，即可判斷，問題也就得以解決.但不少學生遇到此題時，并不能一下子就想到用反例法，這就需要教師在日常教學中多加引導，讓學生有更多機會接觸到類似的問題.如此，對培養學生的創新意識與逆向思維具有深遠的影響.

其實，反例教學法除了應用于以上幾種情況，還有更多、更廣泛的應用范圍，在此就不一一舉例說明，但它對數學教學的重要影響有目共睹.教學中，教師應引導學生在恰當的時候，靈活應用反例，以增強學生對知識的理解，提高解題能力的同時形成良好的數學思想.

總之，反例教學法對數學概念、定義、解題等教學具有重要影響.它能提高學生對謬誤的識別能力，錘煉學生的數學思維，為抽象邏輯思維與逆向思維的發展奠定基礎，還能幫助學生形成辯證統一的思維品質，為學生的可持續性發展與數學核心素養的形成夯實基礎.