彎曲元剪切波速試驗中圓柱狀試樣的尺寸效應研究

高彥斌，鄭曉軍，王 浩，戴梓儀

（1.同濟大學土木工程學院，上海 200092；2.同濟大學物理科學與工程學院，上海 200092）

引言

土的剪切波速是很重要的土體參數，在巖土工程中具有廣泛的應用，如計算土體的剪切模量，砂土場地的液化判別，劃分建筑場地類別等［1-4］。彎曲元法是一種簡單快速地確定土的剪切波速的室內試驗方法，常被安裝在固結儀、三軸儀、動三軸儀等土工儀器中測試標準尺寸試樣（直徑50 mm、長度100 mm 或直徑40 mm、長度80 mm 的圓柱狀試樣）的波速［5-6］。由于彎曲元法原理簡單，測試方便，近年來，其被越來越多地推廣應用于測試無側限條件下非標準尺寸試樣的剪切波速［7-8］。然而利用彎曲元測試土的剪切波波速時，接收波波形會受到多種因素的影響，從而影響剪切波速的測算精度。國內外學者從消除激發波近場的角度進行了大量的研究工作，認為試樣的尺寸、彎曲元的尺寸、測試系統與系統延時、激發信號的類型以及頻率的選擇等都是影響彎曲元準確測試剪切波速的因素［9-13］。但由于以往的研究集中在利用裝有彎曲元的土工儀器測試標準尺寸試樣的剪切波速，從而對試樣尺寸影響波速測試的認識不夠全面。文中著重研究在無側限條件下，利用彎曲元測試非標準尺寸試樣波速時，試樣尺寸對測試結果的影響，并將與試樣尺寸相關的近場效應與邊界反射統稱為試樣的尺寸效應。

近場效應，即當傳感器間距較近時，發射傳感器近場產生的壓縮波對接收傳感器接收到的剪切波波形的影響。一些學者研究了利用試樣的尺寸消除近場效應的方法，結果表明，近場效應與測試距離L與波長λ之比（即L/λ）有關，當L/λ大于2 時，近場影響就可以忽略［9］。Leong 等［14］則建議L/λ=3.33 測試結果最佳。這些研究結果表明，當發射波的波長一定時，試樣尺寸越長越有利于提高測試精度。然而在以往的測試中，發現即使L/λ 足夠大時，接收波形起跳點處仍然會出現反向提前到達的波形［7］。一些學者認為這種現象與試樣尺寸有關，特別是圓柱狀試樣的長細比，Ingale 等［12］給出已有試驗中采用的試樣的長細比L/D，大都在0.4至2.28之間且大部分為2.0，但對長細比影響波速測試的機理認識還不充分。Arroyo等［15］利用內徑為98.5 mm的固結儀測量了4 個不同長度圓柱狀黏土試樣的剪切波速，發現試樣的長細比對波形以及測試結果有顯著的影響。后來Arroyo 等［16］通過數值分析研究了試樣長細比對接收波形的影響，認為試樣側向邊界反射的P波影響了接收到的S波波形。Lee等［17］也得出相同的結論，并通過設計一組利用多次反射來計算試樣波速的試驗進一步驗證了彎曲元波速測試中邊界反射的存在。

利用彎曲元測試剪切波速VS的原理為：

式中：L'為直達剪切波的傳播距離，即彎曲元傳感器尖端之間的距離；Δt為直達剪切波在試樣中的傳播時間。由于上述各種影響因素的干擾，剪切波的傳播時間Δt的正確判斷成為一個難題。時域法是根據發射波形和接收波形的一些特征點位置來判斷剪切波傳播時間Δt的一種非常常用的方法，如圖1 所示，圖中S0、P0分別代表發射波的起跳點與峰值點，P1、S1、S2、S3分別代表接收波的峰值點、接收波的起跳點、反相峰值點、反相峰值點后回復到原點的點。這樣，判斷剪切波傳播時間的方法就有以下4 種：（1）S0-S1（起跳點法，start-start method）；（2）S0-S2；（3）S0-S3；（4）P0-P1（峰峰法，peak-peak method）。這些方法中，早期的研究中大多采用的是S0-S1（起跳點法）和P0-P1（峰峰法）法。后來經過系列比較實驗，部分學者認為S0-S3法較為合適、接近共振柱法所得波速［18-22］，部分學者［23］認為采用S0-S2是可靠的。Arroyo 等［15］在對不同長度的土樣測試結果分析中則發現無論哪種方法都不可靠，較為復雜的頻域法和互相關法也并不能給出比時域法更準確的結果。目前對時域法中特征點的選用仍存在較大的爭議，采用哪個特征點確定剪切波傳播時間得到的波速更為準確仍是一個值得研究的問題。

圖1 特征點法示意圖Fig.1 Schematic diagram of characteristic point methods

綜上，由于目前利用彎曲元測試不同長度試樣剪切波速的試驗成果仍然較少，試樣尺寸對測試結果的影響規律及其機理仍然不太明確。文中通過研究圓柱狀試樣的尺寸效應對測試結果的影響，并與已有的結果進行對比分析，探討尺寸效應產生的機理以及簡化分析模型。在此基礎上，討論了不同數據處理方法對該效應的影響。

1 測試系統與方案

1.1 測試系統

彎曲元（Bender element）是一種由壓電陶瓷片制成的傳感器，本文中采用的壓電陶瓷片長×寬×厚為15 mm×15 mm×0.5 mm，將其插入一個金屬外殼內，突出的懸臂端長為2.5 mm，壓電陶瓷片與金屬外殼間填充環氧樹脂防水層與電磁屏蔽材料，厚度為2 mm，如圖2 所示。彎曲元波速測試系統布置如圖3 所示，由信號發生器產生的單周期正弦信號用作發射信號，發射信號的電壓幅值為5 V。發射彎曲元將電信號轉換為剪切波信號，通過試樣傳播到接收彎曲元后，剪切波信號被轉換成電信號，由電壓放大器放大后被數據采集卡采集，最終得到接收波形。試驗時將彎曲元固定于可移動支架上，將彎曲元懸臂突出部分插入試樣兩端，保證傳感器與試樣耦合良好后，進行無側限波速測試。彎曲元波速測試系統的系統延時為20 μs，在波速計算時自動扣除了這部分系統延時。

圖2 試驗采用彎曲元Fig.2 Bender elements used in test

圖3 彎曲元波速測試系統布置圖Fig.3 Bender element wave velocity test system

1.2 試樣與測試方案

本次試驗采用的是直徑D=6 cm 的圓柱狀試樣，其材料為一種泡沫塑料，采用這種材料是因為一方面其與土樣類似，是一種均質材料；另一方面可以盡量保證試驗中采用試樣的物理性質基本相同，避免因試樣性質差異過大帶來的試驗誤差。本次試驗共使用了6 個不同長度的試樣，長度分別為L=2 cm，3 cm，5 cm，6 cm，9 cm，12 cm，其長細比L/D相應地為0.33～2（見表1）。試樣的實物圖見圖4。

圖4 試樣實物圖Fig.4 Samples used in test

發射信號由一個單周期的正弦波激發，這是因為根據之前的學者研究，采用不同的激發波類型（正弦波、方波）測試同一試樣會得到相似的接收波形，且正弦波適用于不同種類、軟硬的土樣，而方波由不同頻譜組成，較正弦波而言會更影響接收波形態，因此文中采用了正弦波作為激發波。［11］同時為研究激發信號頻率f對接收信號的影響，文中采用了典型的5 kHz和10 kHz作為激發頻率，由于信號衰減的影響，僅在L=2 cm的試樣中進行了更高頻率（20 kHz）的測試。根據測試頻率f可以計算得到每個測試工況下對應的波長λ與波數L/λ，

式中：VS為試樣波速；T為發射波周期；f為發射波頻率，具體數值見表1。已有研究結果表明，為了保證接收波的強度，波數L/λ盡量控制在4以內。假定該材料的波速為150 m/s（與下文的測試結果相近），計算得到的波數L/λ見表1。由表可知，本次測試中的波數L/λ=0.67～8，大部分在4以內。

表1 試驗方案及測試參數Table 1 Test scheme and parameter values of measurement

2 長細比L/D對波形的影響

圖5展示了測得的6個試樣在不同頻率下的接收波波形。下面從接收波形的起跳點S1出現的時間以及接收波的形態2方面來分析長細比對測試結果的影響。

由圖5（a）、（b）可以看出，對于L=2 cm 和3 cm 的2個試樣（長細比L/D=0.33和0.5），試驗測得的接收波中起跳點S1（即圖中標出的黑色圓圈）清晰可辨，未出現圖1中的異常現象。對于測試頻率的影響，可以看出盡管不同測試頻率下的接收波形有所差別，即頻率越高，信號衰減程度越大，幅值越小，但是起跳點的位置卻幾乎一致，并不受測試頻率的影響。因此，這些波形可以看作是不受近場效應影響的波形，采用S0-S1法（起跳點法）得到2個試樣的剪切波波速VS分別為154 m/s和150 m/s。因此，取平均值152 m/s作為該試驗材料的剪切波速標準值。以此為標準，給出試樣長度L=5 cm、6 cm、9 cm、12 cm 下的直達剪切波理論傳播時間Δt，這個理論時間用黑實線標注在各圖中。

圖5 不同長度試樣的接收波波形圖Fig.5 Received signals of samples with different lengths

從圖5（c）～（f）給出的試樣長度L=5 cm、6 cm、9 cm、12 cm（長細比L/D=0.83，1，1.5，2）的接收波形可以看出，隨著試樣長細比的增大，接收波起跳點附近的波形變得復雜多樣，起跳點的位置也變得不容易判斷。圖中的黑色圓圈標出了起跳點的位置，帶有一定的主觀性。在L=5 cm（L/D=0.83）情況下，波形出現了反相情況，也就是文獻中所講的近場效應所表現出來的主要特征。另外，起跳點出現的時間也要比理論時間稍早一些，不過差別并不大。在L=6 cm（L/D=1）情況下，起跳點出現的時間明顯早于理論時間，而波形仍然表現為同相。當L=9 cm、12 cm（長細比L/D=1.5，2）時，起跳點出現的時間進一步提前，且波形基本表現為反相。總體上看，存在測試頻率越大、起跳點出現時間越晚的規律，得到的結果也就越準確。但是，增大頻率和波數會造成信號的顯著衰減，同時通過比較利用不同頻率測試各長度試樣得到的接收波形，可以發現改變測試頻率只會改變接收波的幅值，而不會改變接受波的形狀，因此對于長細比較大的試樣，在實際測試中增大頻率并不能提高測試質量。

圖6給出了以往常用的2種方法，即S0-S1法（起跳點法）和P0-P1法（峰峰法）得到的剪切波的傳播時間Δt。其中S0-S1法的Δt由圖5 中的黑色圓點對應的時間確定，P0-P1由發射波和接收波的第一個峰值點的時間差來確定。可以看出，當試樣長細比較小時（L/D＜0.83），這2 種方法在不同測試頻率下的結果均一致；而隨著試樣長細比的增大（L/D＞0.83），2種方法給出的傳播時間均小于理論傳播時間，而采用S0-S1法時傳播時間會被嚴重低估，尤其是在頻率較低的情況下。

圖6 S0-S1法和P0-P1法確定的剪切波傳播時間ΔtFig.6 Shear wave propagation time Δt determined by S0-S1 method and P0-P1 method

3 波速計算結果分析

3.1 文中測試結果

根據圖5 給出的波形，采用前面給出的4 種特征點方法S0-S1、S0-S2、S0-S3、P0-P1來確定剪切波波速VS，其結果如圖7 所示，據此進一步計算了其與實際波速的比值（即波速比VS/150），如圖8 所示。由圖7 可以看出，當長細比小于0.83時，不同數據處理方法得到的波速差別不大，均接近實際波速。當長細比大于等于0.83 時，采用S0-S1法得到的波速遠大于實際波速，采用其他方法在L/D為0.83 和1.0 情況下會低估試樣波速，而在L/D 增大到1.5和2.0情況下則會高估試樣波速。由圖8可得，從數據處理的角度看，S0-S3法和P0-P1法較其他方法測得的結果整體誤差較小（即（VS/150-1）×100%），在20%之內。而從5 kHz 和10 kHz 這2種頻率的測試結果來看，以上規律似乎不隨測試頻率的改變而發生顯著改變。也就是說，在長細比較大的情況下，通常采用的提高測試頻率的方法并不會改善測試結果的準確性。

圖7 不同特征點法得到的剪切波波速Fig.7 VS determined by different characteristic point methods

圖8 不同特征點法得到的波速比Fig.8 Velocity ratio for different characteristic point methods

3.2 與其他測試結果的對比

Arroyo等［15］采用直徑為90 mm的Gault黏土樣進行了側向無約束狀態下的彎曲元波速試驗。根據經驗，這種黏土的實際波速約為98 m/s。采用土樣的長度在70 mm 至150 mm 之間，長細比L/D在0.7 至1.5 之間。作者采用了5 種數據處理方法來計算波速，得到的結果見圖9 所示，其中V0對應文中特征點法中的S0-S1所測試樣波速，作者認為P 波先于S 波到達，先到達的P 波使得S 波的到達點難以識別，假定了2 個其他特征點作為S 波的到達時間，V1、V2為作者根據自己確定的S 波到達點計算所得的波速，VCC和VCS分別為互相關法與頻域法所測波速。可以看出，由3 種特征點法計算得到的波速顯著高于實際波速，其中起跳點法（V0）得到的波速最大，這與文中的結果是一致的。而2 種較為復雜的方法互相關法與頻域法得到的波速要小于實際波速，可見采用這些方法并不能提高測試的精度。另外，波速測試結果與試樣的長度之間并不存在一個單調的關系，呈現出忽大忽小的規律，這與文中得到的結果也是一致的。

圖9 Arroyo等測得的Gault黏土波速Fig.9 Vs of Gault clay samples measured by Arroyo

4 基于P波反射的尺寸效應分析

文中試驗中接收波的提前起跳現象很可能是由P 波經邊界反射后先到達接收傳感器造成的。2種波形的相互干擾使傳感器接收到的波形呈現出復雜的形態。下面嘗試用這個機理來具體解釋上述試驗結果。

如圖10 所示，圓柱狀試樣長為L、直徑為D。發射傳感器產生一個波場，包括向正前方傳播的S 波以及側向傳播的P波。直達S波在試樣中的傳播時間為tS可表示為：

圖10 基于P波反射的分析Fig.10 Analysis based on P-wave reflection

在所有的P 波中，傳播距離最短的最先到達接收端的為圖中給出的反射一次的P 波，其傳播時間為tP可表示為：

根據彈性力學，各向同性彈性桿件中S波波速VS和P波波速VP與彈性模量E、泊松比μ、密度ρ的關系為：

這樣得到2種波速之間的關系為：

這樣，2種波的傳播時間之比可以表示為：

顯然，當tP=tS時，直達S波與一次反射P波同時到達；而當tP＜tS時，P波將先到達。因此可以得到P波先于S波到達的條件是：

定義一個臨界長細比，當試樣長細比大于該參數時，就會產生P波反射的干擾。根據式（8），臨界長細比可表示為：

可以看出，臨界長細比只與泊松比μ有關。假設μ=0.3，代入公式得到臨界長細比的典型數值為0.794。這與實驗中發現的當L/D達到0.83（L=5 cm）時波形出現明顯變化的結果相吻合。

根據式（7）可以進一步得到采用起跳點法得到的波速V*與試樣的真實剪切波速Vs真實之間比值為：

將典型值μ=0.3代入式（8），給出的V*/Vs真實隨L'/D的關系曲線如圖11所示。當L'/D大于0.83后，測試誤差隨L'/D的增大而單調增大，V*/Vs真實的最大值約在1.5左右。

圖11 理論分析與實測結果的對比Fig.11 Comparison between theoretical analysis and experimental results

圖11 中也給出了與文中實測結果的對比。可以看出，理論分析與實測結果的規律總體上是一致的，式（10）總體上可以反映尺寸效應對波速測試的影響。但實測結果比理論預測要復雜一些，這一方面是由于試驗材料的泊松比μ不會精確是0.3，另一方面是實際測試時接收波形除了受經邊界側向反射后到達的P波影響以外，還可能受經試樣端面反射及沿側壁傳播到達的P波的影響，這有待進一步研究。

5 結論

（1）在彎曲元剪切波速測試中，隨著試樣長細比的增大，接收波形出現復雜的形態，接收波起跳點提前出現導致測試波速較實際值偏大，起跳點法給出的剪切波波速受試件尺寸影響最大，且受測試頻率的影響不明顯。一些復雜的數據處理方法并不能改善測試結果的準確性。

（2）采用不同長細比試樣得到的結果不能用近場效應來解釋。P 波反射理論總體上可以反映實測結果中存在的尺寸效應。分析得到試樣的臨界長細比約為0.79，當試樣的長細比大于該值時，P波側向反射成為影響測試結果的一個因素。