波阻板對Rayleigh波的散射及其隔振性能分析

梁玉旺，周鳳璽，2，郝磊超

（1.蘭州理工大學土木工程學院，甘肅蘭州 730050；2.西部土木工程防災減災教育部工程研究中心，甘肅蘭州 730050）

引言

我國工業、交通等方面飛速發展，在提高人們生活質量的同時，各種工業活動及交通運行誘發的人工振動問題對建筑物、精密儀器以及居民正常生活等產生了嚴重影響。甚至國際上已將其列為七大公害之一。因此，人工振動的治理已經成為巖土工程領域的研究熱點。

基巖上單一土層的振動存在截止頻率，當激振頻率低于截止頻率時，土層中沒有波的傳播?；诖嗽?，Chouw等［1-2］首先提出在地基中人工設置一個硬夾層，以形成有限尺寸的人工基巖來達到隔振目的，將其命名為波阻板（Wave Impeding Block），并通過二維頻域邊界元法對其主動和被動隔振效果進行了分析。Peplow等［3］采用邊界積分方程法研究了雙層地基中波阻板隔振效果，由于此方法比較繁瑣，并不適用于分析多層地基振動問題。因此，高廣運等［4-7］結合薄層法—邊界元法（半解析邊界元法）分析了二維、三維層狀地基中波阻板隔振效果，之后，通過現場試驗對半解析邊界元法進行了驗證，得到了較為滿意的結果［8］。

此外，還有部分學者研究了不同類型波阻板隔振效果：Takemiya［9］提出了一種蜂窩狀波阻板，并通過現場試驗分析了其對高架鐵路樁基振動的隔振效果。基于有限元方法，李志華等［10］驗證了蜂窩狀波阻板相對于實體波阻板具有更好的隔振效果。周鳳璽等［11-12］研究了含液飽和多孔波阻板和梯度波阻板的地基振動控制研究，結果表明，這2種類型的波阻板更具優越性。

然而，波阻板邊界多為不規則形狀，邊值問題比較復雜。劉殿魁等［13］提出“域函數”的概念，即基于復變函數理論的保角映射方法將不規則邊界轉換為單位圓邊界，實現了邊值問題的簡化，為求解彈性波散射問題［14-16］提供了一種有效方法。

文中基于保角映射方法建立幾何模型和邊界條件，考慮穩態平面Rayleigh波入射，運用波函數展開法求解二維地基中埋設波阻板時對Rayleigh 波的散射解答。通過數值算例，對埋置深度、剪切模量比、入射頻率等參數對波阻板隔振效果的影響進行了分析。

1 保角映射

文中采用復變函數理論中的保角映射方法，引入保角映射函數z=ω(η)，將z 平面中矩形截面波阻板邊界和外域映射為η平面中單位圓邊界和外域，保角映射坐標系如圖1 所示，其中，坐標系z=x+iy，η=ξ+iζ，取單位圓η=eiθ。

圖1 波阻板保角映射坐標系Fig.1 Conformal mapping coordinate system of wave impeding block

根據Schwarz-Christoffel 積分定理，矩形波阻板保角映射函數的表達式為［17］：

式中：R為由波阻板尺寸決定的實數；c1～c7為波阻板形狀決定的復常數；系數k與波阻板的長寬比有關。

2 波阻板對Rayleigh波的散射解答

2.1 入射波場

將土體視為各向同性的均質線彈性體，在半空間地基中有限深度處埋設矩形截面WIB，幾何模型如圖2所示。a、b對應表示WIB 的長度和寬度，H表示WIB 幾何中心與水平地表之間的距離。坐標系xoy和x1o1y1分別對應復數坐標，且復數坐標量z=z1+iH，。

圖2 波阻板幾何模型Fig.2 Geometric model of wave impeding block

Rayleigh 波是縱波和橫波在自由表面處耦合而形成的面波，沿半空間表面傳播，不考慮時間諧和作用（省去時間因子e-iωt），在直角坐標系中入射波勢函數可表達為：

式中，Aφ和Bψ分別代表縱波和橫波的幅值，且滿足，kp、ks、kr分別為P波、SV波、Rayleigh波波數。

在z平面，入射波勢函數為：

這件事后來我們嶺北人都知道了，大家都覺得馱子說得有道理，這個周小羽性格孤僻，目無尊長，讀書一點讀不來，亂七八糟的涂幾張畫有什么用，還不如彈棉花來得實在，直接掙錢了。如果再這樣放任周小羽亂涂亂畫下去，指不定什么時候再讓李老師上門來，而且還指不定弄出什么大事來。

式中，

根據保角映射函數z=w(η)，在η平面中，式（4）可進一步表示為：

2.2 散射波場

平面Rayleigh波滿足波動控制方程：

式中：φ、ψ為P 波和SV 波的標量位移勢函數；cp為介質P 波波速，cp=；cs為介質剪切波速，cs=；l、m為Lamé常數。

引入復變量z=x+iy和共軛復變量=x-iy，式（7）在復平面上的穩態波動控制方程為：

Rayleigh 波在半空間邊界處的散射解答較為復雜，不像求解SH 波散射問題時可以直接構造出滿足水平邊界應力自由條件的波場表達式。文中采用大圓弧假定法［18-19］處理邊界問題，即以一個半徑很大的圓（弧）來逼近半空間水平邊界，并給出波函數的一般形式解，如圖3 所示。曲線Г表示大圓弧邊界，O2代表大圓弧的圓心，l表示大圓弧的半徑。

圖3 大圓弧假設示意圖Fig.3 Schematic diagram of large arc assumption

當入射波傳播至波阻板和地基界面處，會發生波的散射。根據穩態波動控制方程式（8）得到波函數的通解，Rayleigh 波在波阻板界面處的散射波勢函數，邊界Г 處散射波勢函數，波阻板內部的散射波勢函數表達式如下：

2.3 邊值問題

在極坐標系（r，θ）下，徑向位移和環向位移勢函數表達式為：

在極坐標系（r，θ）下，正應力分量和切應力分量表達式如下：

在波阻板表面處滿足應力和位移連續條件，在半空間表面滿足應力自由條件，所以，邊值問題可以表述為：

將式（6）、式（9）～式（14）代入式（17）中，化簡整理可得如下方程組：

式中：i=j=（1，2，3，4，5，6）；Xn=（An，Bn，Cn，Dn，En，Fn）。

在式（18）兩邊同乘以e-imθ，并以(-π,π)為積分區間對θ積分，即可得到關于待定復系數理論解的無窮線性方程組，如式（19）所示，

式中m可取(0,±1,±2,···)，對上述方程組采用截斷有限項的方法求解，確定波函數方程中待定復系數的值。

3 驗證分析

為驗證文中解答的正確性，考慮取波阻板密度ρB=ρS=1 950 kg/m3，彈性模量EB=ES=35 MPa，剪切模量μB=μS=13.3 MPa。即將文中模型退化為無波阻板的半空間自由場問題，并將計算結果與Rayleigh 波入射半空間自由表面的動力響應解答進行對比［21］。如圖4所示，文中的位移幅值與自由場位移幅值吻合，說明文中計算方法的正確性和有效性。

圖4 地表位移幅值對比Fig.4 The contrast of displacement for surface amplitude

在無窮線性方程組求解待定系數時需要采通過取有限項的方法實現，圖5 給出了n取不同項時的計算結果，當截斷項數取n=10時滿足計算精度要求，因此文中取n=10進行計算。

圖5 不同n值時地表豎向位移變化曲線Fig.5 The variation curves of surface vertical displacement with different n

在參數分析時，首先引入位移振幅衰減系數Ar評價隔振屏障的隔振效果：

式中：U表示有波阻板時某點入射波場、反射波場、散射波場的位移之和；U0表示半空間入射波場的位移。

波阻板的寬度對隔振效果的影響較小，參數分析時，忽略波阻板寬度（取波阻板寬度為1）對隔振效果的影響，將入射波頻率進行無量綱化處理為：

另外將波阻板的幾何參數歸一化到λR（Rayleigh 波波長），歸一化后的波阻板埋深為，波阻板長度為。

圖6 不同埋深時Ar變化曲線Fig.6 The variation curves of Ar with different depths

為了分析波阻板剪切模量比對隔振效果的影響，選取ηR=0.26，ρB/ρS=1.2，H/λr=0.75。不同剪切模量比的振幅衰減系數曲線如圖7所示。當波阻板剪切模量與剪切模量相等時，波阻板后側依然能達到20%以上的隔振效果，并且隨著剪切模量增大，隔振效果明顯增加。因此，提高剪切模量比是提高隔振效果的有效措施。

圖7 不同剪切模量比時Ar變化曲線Fig.7 The variation curves of Ar with different shear modulus ratio

圖8 不同入射頻率時Ar變化曲線Fig.8 The variation curves of Ar with different incident frequency

圖9 不同長度時Ar變化曲線Fig.9 The variation curves of Ar with different length

4 結論

在二維彈性地基中有限深度處埋設矩形波阻板，采用復變函數理論和波函數展開法得到波阻板對平面Rayleigh 波散射的理論解答，并引入振幅衰減系數分析了波阻板埋置深度、模量比、彈性波頻率和波阻板長度等對隔振效果的影響。結果表明：

（1）隨著埋置深度增加，波阻板隔振效果逐漸降低，尤其是深度大于1 倍Rayleigh 波長時，隔振程度很小，因此，波阻板埋設深度不宜過大。

（2）波阻板的隔振效果隨著剪切模量比的增大而增大，在減隔振工程中，在控制成本的情況下，可以通過提高剪切模量實現更好的隔振效果。

（3）波阻板對低頻波的隔振效果更具優勢。

（4）波阻板長度取值一定范圍內，隨著長度的增大，波阻板隔振效果越好