基于疊合空腔樓板的PTRMD系統隨機動力性能及振動臺試驗研究

孫 磊，李書進，黃麗珍

（1.湖北工程學院土木工程學院，湖北孝感 432000；2.武漢理工大學土木工程與建筑學院，湖北武漢 430070）

引言

得益于高度工業化的生產模式以及良好的保溫隔熱性能，預制疊合空腔樓板被廣泛應用于各類裝配式建筑結構，而利用裝配式構件進行合理的阻尼器設置這一思路也受到了大量學者關注［1-3］。李書進等［4］以統計線性化方法分析了TRMD（Tuned Rotary Mass Damper）裝置對空腔結構在確定性激勵和隨機激勵作用下的振動控制效果，并且利用空腔特點有選擇性的放入多個滾動小球，以MTRMD 代替單個TRMD 的方式，使控制系統更能滿足地震激勵的寬頻特性。李書進等［5］對這種基于空腔樓板結構的TRMD系統進行了參數優化工作，運用定點理論得出系統最優參數，最后以蒙特卡洛模擬對比分析了最優參數TRMD 系統與普通參數TRMD系統的結構動力響應控制結果。

TRMD 裝置較為單一的耗能機制限制了減振效率及其應用范圍，碰撞耗能機制的引入為這種空腔阻尼器設計提供了新的方向。PMD（Pounding Mass Damper）裝置應用于建筑結構方的研究已經從理論和試驗2個方面展開了大量的研究，理論方面已經由Lieber［6］，Grubin［7］，Masri［8-11］等建立的塑性沖擊模型轉變為由Jankowski［12］提出的粘彈性碰撞模型，大量學者在這種粘彈性模型的基礎上提出了適用于不同類型建筑結構振動控制的碰撞調諧阻尼器。SONG等［13］針對信號桿、轉換塔以及海底油管設計了一種粘彈性碰撞阻尼器，并且取得了良好的減震效果［13］。

以這2 種較為成熟的振動控制裝置為基礎設計出的PTRMD（Pounding Tuned Rotary Mass Damper）裝置，已經從理論和試驗2個方面獲得了該裝置的減振性能研究結果并發表在文中作者的另外一篇論文中［14］。文中在此基礎之上以一個6層框架結構作為受控結構，通過蒙特卡洛模擬得到了多自由度PTRMD受控結構在隨機激勵下的動力響應結果。將框架結構層間位移角作為可靠度計算標準，根據模擬得到的各層隨機動力響應結果結合可靠度計算公式，計算得到框架結構在未受控和PTRMD 控制作用下可靠度對比結果。試驗方面，進行了碰撞間距、質量比和激勵頻率這些關鍵參數分析，結合幅值和標準差減振率，驗證前期數值模擬結果的同時總結出了各參數影響規律。文中的研究成果可為裝配式耗能樓板的研發和抗震性能研究提供重要參考。

1 PTRMD動力學模型

1.1 PTRMD系統基本介紹

疊合空腔樓板以預制空腔構件拼接安裝結合現場整體現澆的模式，實現裝配式建造過程，樓板具體構造如圖1（a）所示。為了更有效的利用空腔構件內部空間，設計了弧形的空腔底板和限位擋板，利用樓板振動過程中振子小球的滾動和碰撞效應實現耗能減振，空腔模塊內部構造如圖1（b）所示。

圖1 疊合樓板及空腔模塊內部構造示意圖Fig.1 Structure diagram of composite floor slab and cavity mold block

PTRMD系統從功能上分為滾動調諧阻尼器和碰撞阻尼器兩部分，整個裝置包括：弧形軌道、滾動質量小球、設置于軌道上的限位擋板以及粘貼在擋板表面的粘彈性阻尼材料，裝置具體構造見圖2。通過調節限位擋板位置、小球質量及半徑可以達到改變裝置控制頻率的目的，以滿足不同受控結構的需要。

圖2 PTRMD受控體系簡化圖Fig.2 Schematic diagram of PTRMD

1.2 PTRMD系統運動方程

PTRMD 系統運動方程的具體推導過程可參考文獻［15］運動方程中會涉及到的變量和參數為：PTRMD裝置中小球的質量m，受控結構的質量、剛度和阻尼，分別表示為Ms、Ks和Cs；運動過程中受控結構位移為xs，小球相對圓弧形軌道圓形的滾動角度為θ，軌道半徑為R和小球半徑為r，ρ=R-r，μ為軌道摩擦系數。

整個運動方程分為2個部分：

（1）小球自由振動階段（|θ|≤θm，θm為粘彈性限位裝置與小球碰撞時的小球運動角度），摩擦是PTRMD系統的主要耗能形式，運動方程的矩陣形式為：

（2）小球與粘彈性緩沖材料碰撞階段（|θ|＞θm），系統耗能方式將會從摩擦耗能轉變成碰撞力耗能，得到碰撞階段的運動微分方程：

式中：kp和cp分別為求得的等效碰撞剛度和阻尼。

2 PTRMD受控結構隨機動力響應結果

2.1 高斯隨機過程模型

理想白噪聲模型的特點是具有均勻分布的功率譜密度且符合高斯過程，在白噪聲模型的基礎上，通過改變雙邊功率譜密度的取值可實現Kanai-Tajimi 模型，以堅硬地表土層作為研究對象，其對應的ωg=5π、ζg=0.63［16］，代入到式（3），可計算得到，圖3為生成的Kanai-Tajimi樣本曲線。

圖3 模擬得到的Kanai-Tajimi樣本Fig.3 Kanai-Tajimi samples

2.2 多自由度PTRMD受控結構隨機動力響應結果

為了研究PTRMD 系統的隨機振動控制效果，本小節以一個6層框架結構為計算對象，將PTRMD 裝置設置在結構頂層，具體模型簡圖如圖4所示，地震動隨機模型采用Kanai-Tajimi模型，考慮到進行可靠度分析的樣本精度要求，蒙特卡洛模擬的樣本數量為5 000，每條樣本取點個數為1 024。只考慮一階和二階振型質量。首先通過計算得到結構的一階自振頻率為ω1=9.149 3 rad/s，二階自振頻率為ω2=26.913 6 rad/s，受控主結構質量為每層16 315 kg，一共6 層，結構層間剛度為23.5×103kN/m，在質量和剛度確定的情況下由結構一階和二階頻率可算得主結構阻尼矩陣，小球與主結構的質量比設置為0.02，算的小球質量為1 957.8 kg，主結構和PTRMD裝置具體參數見表1。

圖4 6層多自由度PTRMD受控結構簡化圖（單位：m）Fig.4 Simplified diagram of six-layer structure controlled by PTRMD（Unit：m）

表1 受控結構和PTRMD裝置參數表Table 1 Parameters for the PTRMD model

計算得到PTRMD 受控結構頂層位移響應標準差、層間位移響應標準差和減振率，分別列于圖5 至圖8。通過對比六層多自由度結構頂層的位移標準差，可發現在0～2 s 的時間段3 條位移標準差曲線幾乎重合差異并不明顯，在1.8 s 附近PTRMD 受控結構位移標準差開始趨于穩定，并在2 s 后保持在0.006 m 附近，未受控結構則持續上升一直到6 s時才開始趨于穩定最終穩定在0.009 m附近，從這一結果可看出PTRMD對受控結構在隨機激勵下的動力響應控制效果非常明顯。圖6可看出未受控結構的每層位移方差最大值是遠大于PTRMD 受控結構，并且隨著層高增加差距越大。圖7 反應的是結構層間位移方差最大值對比，整體發展趨勢是低樓層層間位移更大，隨著樓層的增加層間位移不斷減小，符合樓層位移的發展規律，未受控結構的層間位移方差最大值是遠大于PTRMD 受控結構。圖8中結構各層層間位移峰值減振率、中值減振率與均值減振率數值表現都較優秀，特別是第4 層峰值減振率達到64.24%；第6 層為結構頂層位移減震率，其均值也達到12.57%。從以上結果可分析得到，PTRMD系統對結構隨機動力響應的控制效果是十分有效的。

圖5 受控結構頂層位移標準差Fig.5 Displacement standard deviation

圖6 受控結構不同樓層位移方差最大值Fig.6 The maximum displacement variance

圖7 受控結構層間位移方差最大值Fig.7 The maximum variance of interlayer displacement

圖8 減震率柱狀圖Fig.8 Shock absorption rate histogram

更詳細的計算結果列于表2中，包括受控和未受控結構各層層間位移以及結構頂層位移的峰值、中值和均值。數值結果對比也可看出PTRMD受控結構各類型位移響應均小于未受控結構。

表2 不同樓層位移響應結果對比Table 2 Comparison of displacement response results of different floors

3 隨機地震動作用下的整體抗震可靠度分析

為了更深入的研究PTRMD 對結構性能產生的影響，選取蒙特卡洛方法對PTRMD 系統和未受控結構的可靠度進行分析［17-19］。根據文中研究的振動控制裝置的適用背景，以框架結構的層間位移作為結構整體可靠度的判別標準，由受控結構在隨機激勵作用下的動力響應結果，求得各層層間位移標準差，結合給定的樓層各層層高可得到層間位移角響應標準差，設為σθ，根據文獻［20］中可靠度計算公式：

式中：θb為框架結構不同破壞要求下的層間位移角限制標準，而結構失效概率則可寫為：

框架結構層間位移角根據設防水準的不同其極限值也有所不同，我們參考RC 框架結構的可靠度標準設置，表3［20］中列出了RC 框架結構設防水準為完好、輕微破壞、中等破壞和嚴重破壞等5個不同狀態時的層間位移角極限值，選擇輕微破壞時的層間位移角極限值作為可靠度和失效概率的計算標準。進行隨機動力分析的PTRMD 系統各項參數參考表1，將樣本數量為5 000 和樣本取點個數為1 024 的Kanai-Tajimi 譜作用于受控結構得到隨機動力響應結果，計算得到層間位移標準差并將標準差曲線列于圖9～圖10。

圖9 層間位移標準差Fig.9 The standard deviation of story-drift

圖10 層間位移標準差Fig.10 The standard deviation of story-drift

表3 RC框架結構層間位移角限制標準Table 3 Limit standard for story-drift of RC frame structure

觀察層間位移響應標準差曲線圖可發現，層間位移標準差最大值隨著樓層的增加逐漸減小，以輕微破壞設防標準的層間位移角極限值作為標準，將各個曲線中的數據代入到式（4）和式（5）進行計算，可得到各層的可靠度和失效概率，將得到的失效概率結果列于表4。

表4 結構層間位移失效概率Table 4 Failure probability of story-drift

分析表中的數據可看出，第1 層未受控結構失效概率比PTRMD 受控結構高0.5×10-5，而第2 層結構則從數據上表現出未受控失效概率低于受控結構的情況，差值達到0.9×10-4。從第3 層開始受控結構失效概率均要小于未受控結構，且差值呈增大趨勢，第4層差值達到0.918×10-3，最后到第5層受控結構失效概率為0。

4 試驗驗證

4.1 試驗模型及試驗工況

試驗的目的是為了在理論分析結果的基礎上進一步驗證PTRMD 裝置的有效性，在對該裝置的前期研究成果中已發現碰撞間距、質量比的設置以及外部激勵頻率對PTRMD 的減振性能影響較大［21］，故整個試驗工況設置分為以下4個方面：（1）PTRMD模型與PMD模型對比；（2）不同碰撞間距PTRMD模型對比；（3）不同質量比PTRMD模型對比；（4）不同頻率激勵作用下PTRMD模型對比。

試驗所使用的振動臺儀器具體參數及各模型基本參數見表5，PMD 模型、PTRMD 模型及縮尺比例框架結構模型外觀如圖11所示。分別選取簡諧波和地震波作為試驗激勵，其中地震波包括Cape波、El Centro波、Kobe波和North波，具體參數見表6。

表5 試驗儀器及模型參數Table 5 Instrumental and model parameters

表6 地震波特性Table 6 The characteristics of each seismic wave

圖11 PMD模型、PTRMD模型及縮尺框架結構模型Fig.11 PMD，PTRMD and frame structure

4.2 試驗結果

為了從試驗數據中分析出準確的信息，根據工況及參數整理了以下試驗結果，見圖12：

圖12 振動臺試驗結果Fig.12 Results of the shake table tests

圖12（續）Fig.12 （Continued）

（1）圖12（a）～（d）為4種不同地震波作用下，不同碰撞間距PTRMD 及平底的PMD 控制下的主結構位移標準差減震率和峰值位移減震率。

首先，可觀察到標準差減震率并不是始終大于峰值減震率，Cape 波、El Centro 波和North 波工況下標準差減震率最大值均可達到0.45 以上，峰值減震率基本在0.03 以下；Kobe 波則表現出峰值減震率反而大于標準差減震率，其峰值減震率在0.025～0.3范圍內，標準差減震率在-0.04～0.08范圍。

其次，碰撞間距對PTRMD 減震效果的影響的確十分明顯，但規律并不固定。Cape波和El Centro 波的峰值減震率最大值均出現在間距49 mm 時，Cape 波達到0.028；Kobe 波和North 波則在間距87 mm 時峰值減震率表現最好，Kobe波達到0.3，North波達到0.26。

最后，對比平底的PMD 減震率發現，除了El Centro 波作用下出現68mm 碰撞間距的PTRMD 峰值減震率低于PMD，其他工況下PTRMD 模型的峰值減震率均優于PMD 模型。標準差減震率表現則有所差異，除El Centro 出現PMD 減震率最低的情況外，其他3 種波作用下，PMD 標準差減震率都較為優秀。

（2）簡諧波激勵下擋板間距設置為68 mm，圖12（e）～（f）分別表現了激勵頻率變化影響效果及頻率比與質量比耦合影響效應。首先，圖12（e）可看出位移標準差與位移峰值變化趨勢一致，這一點符合簡諧激勵特點；而激勵頻率對受控結構位移影響明顯，最小位移出現在2.45 Hz，最大位移出現在2.30 Hz，差距達9 mm。

圖12（f）進一步得到了3 種不同質量比μ（小球質量/主結構質量）PTRMD 模型峰值位移比，P為帶PTRMD 模型主結構峰值位移，P0為未受控主結構峰值位移。在頻率比1.0～1.05 范圍，3 條曲線均滿足質量比越大位移比越大，即減振效果越明顯；與此同時，3 條曲線的最小值也都出現在頻率比1.025 位置處，說明PTRMD 也具備調諧阻尼器的共振耗能最優特點；最后，可發現圖12（f）中μ=0.032時曲線發展較為平緩，說明質量比較小時雖然無法獲得最優的減振效果，但其對頻率的敏感度降低魯棒性得到提升。

5 結論

文中采用蒙特卡洛方法，研究了多自由度PTRMD 受控結構的隨機動力響應結果，并根據振動臺試驗結果得到了，不同地震波激勵作用下碰撞間距對減震率影響過程以及簡諧波激勵作用下頻率和質量比等參數于減振率的相關曲線，通過對比分析可得出以下結論：

（1）頂層位移標準差、各層位移方差最大值及層間位移方差最大值的對比都表現出PTRMD 受控結構遠小于未受控結構，說明PTRMD裝置對隨機激勵引起的結構振動具有良好的控制效果。

（2）多自由度結構1～3層的失效概率結果差異不大，從第4層開始PTRMD 受控結構的失效概率開始逐漸小于未受控結構，說明PTRMD 裝置的應用不僅不會對結構可靠度產生負面影響，還會隨著樓層的增加減小結構的失效概率。

（3）試驗結果表明，一般情況下PTRMD 對受控結構位移幅值控制效果要優于PMD 裝置，最優碰撞間距的設置也會受到激勵特征的影響；質量比越大獲得的最優減振率越高，質量比越小則裝置對頻率的敏感度越低，所以在具體的參數設計時要考慮減振率與魯棒性之間的平衡協調。