高觀點下對數(shù)均值不等式的證明及推廣

吳俊凱

(義烏中學(xué)，浙江 義烏 322000)

近些年,全國各地的高考卷中含ex,lnx的函數(shù)零點、方程的根、極值點偏移及數(shù)列中的不等式的相關(guān)問題成為考查的熱點,常出現(xiàn)在各地模擬卷及高考卷壓軸題中.“對數(shù)均值不等式”是解決此類問題的一個簡化工具,其價值也不言而喻.以下不等式的證明將結(jié)合初等方法和高觀點的證明方法來加深學(xué)生對該不等式的理解與應(yīng)用.

1 對數(shù)均值不等式

兩個正數(shù)a和b的對數(shù)平均定義如下：

2 對數(shù)均值不等式的證明方法

該不等式的證明有多種方法,下面筆者整合了3種初等的方法和6種高觀點下的證明方法.

圖1

移項構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)求最值可證.

證法3[2](主元法)設(shè)b>a,則

圖2

因為S矩形

圖3

由S陰影

于是

證法7(拉格朗日中值定理法)構(gòu)造f(x)=(x+a)(lnx-lna)-2(x-a)(其中x∈[a,+∞))，從而

根據(jù)拉格朗日中值定理,存在ξ∈(a,x)，使得

可得f(x)在[a,+∞)上單調(diào)遞增.因此令x=b>a,則

同理,構(gòu)造

于是g(x)在[a,+∞)上單調(diào)遞減.因此令x=b>a,則

同理,存在ζ∈(1,x)，使得

由柯西不等式，可得

又由冪平均不等式,可得

對數(shù)均值不等式是雙變量不等式,直接證明具有一定的難度.給出的后6種證明方法結(jié)合了高等數(shù)學(xué)中的定積分、積分形式下柯西不等式、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、函數(shù)的級數(shù)展開和冪平均不等式等知識.高中生提早接觸高等數(shù)學(xué)的知識,可以幫助他們用高觀點去思考和解決數(shù)學(xué)問題,有助于他們認(rèn)知的提升和思維方式的訓(xùn)練.

3 對數(shù)均值不等式的推廣

得證.

證明由推廣1可得

得證.

推廣2可以應(yīng)用于真數(shù)為正整數(shù)的對數(shù)的估計,也可應(yīng)用于離散型級數(shù)求和的估計[3].

對數(shù)均值不等式的證明方法靈活，形式也多樣,以上展示的證明方法具有一定的典型性.對數(shù)不等式不僅可以進行拓展延伸得到許多不等式結(jié)果,也可以應(yīng)用于例如極值點偏移等一系列問題,因此對該不等式的研究是有意義和價值的.