基于EKF和模態(tài)坐標轉(zhuǎn)換的結(jié)構(gòu)損傷識別方法

戴 霖

（江西省水利科學院，江西 南昌 330029）

0 引言

擴展卡爾曼濾波（extended kalman filter，EKF）是在線性最小方差估計的基礎上，提出的一種實時遞推型的最優(yōu)估計濾波算法，近年來被逐步應用于工程結(jié)構(gòu)的參數(shù)識別研究[1-5]當中。為解決傳統(tǒng)EKF算法中其狀態(tài)向量維度過大導致該算法運行效率變慢、識別精度下降等問題，本文提出了一種改進的EKF算法，引入模態(tài)坐標變換，利用模態(tài)坐標轉(zhuǎn)換對傳統(tǒng)EKF的狀態(tài)向量進行處理，構(gòu)建以模態(tài)坐標初始值和結(jié)構(gòu)損傷參數(shù)的狀態(tài)向量。由于結(jié)構(gòu)振動響應通常由前幾階的低階頻率成分組成，因此，對復雜結(jié)構(gòu)可以有效縮減狀態(tài)向量的維數(shù)，以保證算法的穩(wěn)定性及準確性。

本文運用該算法對一多自由度系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)進行識別，并采用MATLAB軟件編制了程序。數(shù)值算例的結(jié)果表明，該算法可以對結(jié)構(gòu)的損傷參數(shù)進行識別，且識別效果較好。

1 基本理論

多自由度系統(tǒng)自由振動運動方程：

式中：M，C，K分別為結(jié)構(gòu)質(zhì)量、剛度矩陣；p為各節(jié)點位移向量。

在上式中引入模態(tài)坐標變換p=Φq。式中：q為模態(tài)坐標，Φ為正規(guī)化模態(tài)矩陣，滿足ΦTMΦ=I、ΦTKΦ=Λ[Λ=diag（ω21…ω2n），ωn為結(jié)構(gòu)第n階無阻尼固有頻率]。可將上式模態(tài)坐標進行轉(zhuǎn)化，其運動方程為：

式中：Γ=ΦTCΦ，定義阻尼比ξn=Cn/（2ωnMn），則當0＜ξn＜1，即在小阻尼情況下，該方程模態(tài)坐標可表示為：

根據(jù)狀態(tài)方程和量測方程，直接套用擴展卡爾曼濾波算法，經(jīng)化簡后其遞推公式為：狀態(tài)預測方程：

式中：Hj為非線性函數(shù)h（θ，x，t）的雅克比矩陣；

當結(jié)構(gòu)質(zhì)量不變，上式計算中所需的?ωn/?αi、?φn/?αi（即固有頻率和模態(tài)關于損傷參數(shù)的靈敏度）可用基準有限元模型計算[6]。

由上述多自由度體系的公式推導中可以看出，將模態(tài)轉(zhuǎn)換理論應用在擴展卡爾曼濾波中，利用模態(tài)坐標轉(zhuǎn)換對傳統(tǒng)EKF的狀態(tài)向量進行處理，構(gòu)建以模態(tài)坐標初始值和結(jié)構(gòu)損傷參數(shù)的狀態(tài)向量后，對于復雜結(jié)構(gòu)，可以選取相應的模態(tài)階數(shù)進行計算，達到縮減狀態(tài)向量維數(shù)的效果，從而保證本文改進算法的穩(wěn)定性。

2 數(shù)值算例分析

為利用上述方法來驗證改進的EKF算法在結(jié)構(gòu)參數(shù)識別上的實用性，本文以一個三自由度彈簧質(zhì)點結(jié)構(gòu)模型為例（見圖1）進行驗證。

圖1 彈簧質(zhì)點結(jié)構(gòu)模型

本文數(shù)值仿真算例中的各單位采用無量綱化進行處理[7]。三自由度彈簧質(zhì)點結(jié)構(gòu)模型參數(shù)為：彈簧質(zhì)點質(zhì)量m1、m2、m3均為5；彈簧原始剛度k01、k02、k03均為200；彈簧原始阻尼比ζ1、ζ2、ζ3均為0.03；根據(jù)式（4）、式（5），假定彈簧質(zhì)點結(jié)構(gòu)模型損傷后各彈簧剛度損傷因子α1、α2、α3分別為0.9、0.8、0.7；各彈簧阻尼比損傷因子β1、β2、β3分別為1.1、1.15、1.2。

本文通過MATLAB軟件進行計算，在初始條件下，提取自由振動下各個彈簧質(zhì)點的位移響應信號作為觀測值，并同時加入高斯白噪聲模擬觀測噪聲的影響，對結(jié)構(gòu)響應數(shù)據(jù)中無噪聲、5%噪聲和15%噪聲3種情況分別給出識別結(jié)果。

（1）無噪聲下識別結(jié)果見圖2、圖3。

圖2 剛度損傷參數(shù)收斂曲線（無噪聲）

圖3 阻尼比損傷參數(shù)收斂曲線（無噪聲）

（2）5%噪聲下識別結(jié)果見圖4、圖5。

圖4 剛度損傷參數(shù)收斂曲線（5%噪聲）

圖5 阻尼比損傷參數(shù)收斂曲線（5%噪聲）

（3）15%噪聲下識別結(jié)果見圖6、圖7。

圖6 剛度損傷參數(shù)收斂曲線（15%噪聲）

圖7 阻尼比損傷參數(shù)收斂曲線（15%噪聲）

由圖2至圖7結(jié)構(gòu)各損傷因子的收斂曲線可以看出，在不同級別噪聲情況下，各個損傷參數(shù)的識別結(jié)果均可以快速識別，均能夠在短時間內(nèi)收斂且穩(wěn)定趨近于真實值。由表1、表2中結(jié)構(gòu)各損傷因子的識別結(jié)果可以看出，本文改進算法可以對結(jié)構(gòu)損傷后的剛度及阻尼參數(shù)進行識別，且識別效果較好、精度較高。隨著噪聲逐級增加，雖然損傷因子的相對誤差也會相應變大，但是各個參數(shù)識別結(jié)果的精度均較高。表1中，剛度損傷因子識別結(jié)果最大相對誤差為1.71%。表2中，阻尼比損傷因子識別結(jié)果最大相對誤差為3.33%。可見，本文算法具有良好的識別效果。

表1 剛度損傷因子識別結(jié)果

表2 阻尼比損傷因子識別結(jié)果

3 結(jié)論

本文在擴展卡爾曼濾波算法的基礎上，結(jié)合模態(tài)坐標變換，提出了一種改進的擴展卡爾曼濾波算法，并將該算法對一多自由度彈簧質(zhì)點系統(tǒng)進行了數(shù)值算例計算。結(jié)構(gòu)參數(shù)識別結(jié)果表明，該算法可以對結(jié)構(gòu)參數(shù)進行有效識別，精度較高，證明了該算法在結(jié)構(gòu)參數(shù)識別領域當中的可行性。因此，對于復雜結(jié)構(gòu)損傷參數(shù)識別的問題，可以在此基礎上進一步驗證。