提高大學數學學習的實用性：大學數學教學改革的突破口

杜紅珍

寶雞文理學院數學與信息科學學院，陜西 寶雞 721013

大學數學是大學理工科學生不可或缺的一門專業基礎課，是他們在大學階段建構其專業知識體系的基石。但是從歷年相關專業學情調查情況看，高校學生大學數學學習的現狀很不樂觀。近年來，關于大學數學教學，各級各類學校進行了一系列的改革，比如加強數學史、數學文化的教學，強化數學美的熏陶，但其效果卻往往不盡如人意。大學數學教學到底應該怎樣改革才能改變現狀呢？實際上對于這個問題，我們可以轉換一個角度發問：學習數學到底有什么價值？只有回歸到大學數學學習的出發點，我們才能找到解決問題的突破口。

一、學習數學有何價值

有人說數學是“科學的皇后”，是指數學以其抽象的形式，追求高度精確、可靠的知識，成為人類思維方法的典范，并日益滲透到其他知識領域。一個人，不管他將來從事什么職業，思維能力可以說是無形的財富，而數學正是以其縝密的思維影響著人們。從事數學相關工作的人需要數學思維，從事物理、天文、生物、經濟甚至歷史、文學、政治等學科的研究和工作也需要數學思維。數學思維可以濃縮為兩個字即“證”和“算”?！白C”就是邏輯推理和演繹證明，“算”就是算法構造和計算。歐幾里得幾何原本以幾條為數不多的公設或公理作為全書推理的出發點，構成了人類歷史上第一個數學公理體系。

除了理工科里有數學知識，歷史學、政治學、經濟學、社會學中也有數學的影子。學過美國歷史的人可能都記得《獨立宣言》開頭的那句話：“我們認為下述真理是不言而喻的：人人生而平等……”既然“人人生而平等”，英國國王違背了這條真理，人民自然就有權反抗他。把大家認為“簡單而不可爭辯的原則”和“不言而喻的真理”作為出發點，用數學的語言來說就是從公理出發。所以數學體現出的是嚴謹、求實、可靠、客觀公正。關于數學的這種品質，愛因斯坦曾說過這樣一段話：為什么數學比其他一切學科都受到特殊尊重，一個理由就是它的命題和結論是絕對可靠的和無可爭辯的。牛津大學法律系課程中之所以有數學，他們看重的就是數學的這種客觀公正的品質。培根名言“數學使人周密”也揭示了數學的這個作用。

數學除了具有嚴謹、求實、可靠以及客觀公正的特征，還有個最大的特征就是它作為工具的實用性。與數學相關的名言除了“數學是科學的皇后”還有“數學是科學的仆人”，就是說一切科學都需要借助數學這個手段才能最終完成它在人類發展史上的重大使命?？梢哉f，人類的發展史就是數學運用的發展史。恩格斯著名的《反杜林論》對于數學的產生是這樣論述的：“數學是從人的需要中產生的；是從丈量土地和測量容積，從計算時間和制造器皿中產生的?！彼晕覀冋f，一切科學產生于實踐，尤其是數學。伽利略認為宇宙就是一本用數學寫成的大書，如果不掌握數學，怎么能揭示宇宙埋藏的秘密？物理學，從經典物理學到現代物理學，每一步的發展都離不開數學的作用。當伽羅瓦用“群”的概念來解釋什么樣的方程才能用根式來求解這個問題時，物理學家驚喜地發現，“群”正是他們需要用來描述一般對稱性的精確語言。所以，有很多物理規律是在物理學家研究物理現象時借助數學而發現的，但也有很多像對稱性的描述一樣，是在數學家發現的規律的基礎上形成的，這就是為什么有很多物理學家本身也是數學家的一個原因。實際上，在大自然和我們的生活中，可以說數學是無處不在、無時不在的：計算機、超音速飛機、CT、股市、信息安全以及精美的繪畫藝術等等，都離不開數學。一句話，作為最古老的知識領域之一，在人類文明的發展進程中，數學發揮著巨大的作用。

數學的精密和嚴格常常讓人產生聯想。1976年，美國普林斯頓大學的庫恩教授竟然是這樣求次復系數方程z+az+…az+a=0的：他準備了一個培養皿和一個立體的大籬笆，這籬笆越往上越密。然后他把要解的方程的信息“告訴”培養皿，皿內吐出幾個新芽，芽變成藤，飛快地攀上籬笆，一層一層往上爬。最后，每根藤恰好指向方程的一個根，于是方程的n 個根便被找出來了。與會者看得目瞪口呆，但這實實在在利用的還是數學上的方法，這就是拓撲學著名的“不動點理論”。數學所體現出的這種美千百年來讓人著迷。著名的斐波那契數列產生于兔子的繁殖問題，但是也許連斐波那契都沒有料到的是，隨后人們在自然界中發現由該問題導致的數列是如此普遍地存在著，譬如向日葵上方向相反的兩簇等角螺線的數目竟然是斐波那契數列的兩個相鄰項。還有菊花、牽?；?、馬蹄蓮、萬代蘭、大戟等等都體現出這一特征。就連蜜蜂中的各代雄蜂、雌蜂以及雌雄蜂總數也構成了斐波那契數列。當然，數學所體現出的符號、公式、概念的簡潔性、和諧性、整體性和對稱性更是美不勝收，讓人陶醉其中。所以古希臘數學家普洛克拉斯曾說：“哪里有數學，哪里就有美?！闭軐W家羅素也發出這樣的感嘆：“數學，如果你正確地看它，不但擁有真理，而且也具有至高的美?！?/p>

綜上所述，學習數學，讓人體會到的是其廣泛的應用價值、嚴密的邏輯推理和無處不在的美學價值。

二、大學生對數學學習不感興趣的原因分析

數學一直貫穿小學、中學和大學教育階段，理工類、經管類學科的研究生教育也離不開數學。數學的重要性不言而喻，有不少教師甚至認為得數學者得天下。既然數學具有如此重要的作用，為什么有很多大學生對數學不感興趣呢？筆者試著從學生接受數學教育的兩個階段來分析。首先，在基礎教育階段，數學是小升初、中考和高考的必考科目，學校和教師都十分重視，往往把數學課安排在上午的黃金時段。家長也非常重視孩子的數學成績，除了要求孩子認真完成學校布置的數學學習任務，還要給孩子購買數學教輔書和試題，在周末或寒暑假給孩子報線下或線上輔導班來提高孩子的數學成績?！半p減”政策出臺后，部分家長還會在課余時間送孩子到培訓機構補數學。然而，不少教師和家長發現，學校、家長的努力卻常常事倍功半，學生偏科，對數學的學習興趣不濃厚，認為數學枯燥乏味或者難懂難學，到最后甚至出現抵觸數學老師的現象。為什么會有這樣的結果呢？筆者認為主要問題在于部分數學教師的課堂教學模式沒有與時俱進，沒有認真考慮21 世紀“互聯網+”時代背景下學生們的學習特點和心理特點。在過于追求升學率心理的支配下，部分數學教師簡化了引導學生對知識點進行觀察、發現、思考、領悟和應用的過程，忽視了培養學生對數學的求知欲、探索精神和應用樂趣，不深究數學理論及應用的講解，只求記住知識點、會做題以及在考試中獲得高分即可。比如高中數學有一節課的內容是等差數列的前n 項和，教師如果在講解時引入高斯等差數列求和的典故，啟發學生，讓其推導等差數列求和公式，激勵學生學習高斯對數學的研究探索精神，就能收到比較好的教學效果。然而，在教學實踐中，有些教師是在黑板上寫下等差數列求和公式，再列舉幾道例題讓學生思考怎么用公式，講完例題后布置幾個練習題就結束了。學生們往往是先把老師講的內容抄下來再記住，隨后通過做作業鞏固這個知識點。長此以往，學生在數學課上有時只接觸到抽象的定義、冰冷的公式和煩瑣的計算，感覺數學除了用來考試就沒有什么用途了，至于數學的美和數學的樂趣早已感受不到。其次，在大學高等教育階段，高等數學、線性代數、概率論與數理統計等大學數學課程都是理工類、經管類專業的專業基礎課，這些課程對大學生計算能力、邏輯思維能力、空間想象能力和應用創新能力的培養至關重要。然而，不少學生在基礎教育階段沒有培養起對數學學習的濃厚興趣，加之大學數學比中小學數學難度大，涉及大量抽象、復雜的概念和定理，如果還是不求甚解，靠死記硬背可能連定義是什么都搞不懂，更不要說理解和應用定理。比如，高等數學課程中的數列極限，大學生一般都會計算該極限值，但是如果讓其描述和解釋該極限的定義，很多學生就答不上了，更不要說對其加以應用。還有，部分學生跨進大學的門檻后，沒有了升學的壓力，往往會片面地認為學習數學純粹是為了獲得學分，考前突擊復習一下即可，而且認為數學對于當下專業學習或以后的職場用處不大，所以對數學的學習缺乏足夠的動力和興趣，導致其學習效果欠佳。

三、提高大學數學學習的實用性是促進大學數學教學質量提升的關鍵

針對大學數學教學的這種現狀，一線的教師們嘗試過各種各樣的方法，比如分層次教學法。這種教學方法是教師在考慮到學生知識基礎、智力因素和非智力因素存在明顯差異的情況下，有針對性地實施分層教學，從而達到不同層次的教學目標。這種方法看起來做到了因材施教，有很強的針對性，但是它提供給學生的依舊是一套抽象的概念、符號和形式，學生得到的依舊只是形式化的公理化教學。教學追求的或者是效率，或者是學分、通過率，但沒有數學的體驗、理解和價值感，這種教學方法也不是能解決當前大學數學教學所存在問題的最優解。

還有一種觀點，主張學生要像數學家那樣，對這種知識形成過程，以及數學家做數學的理解、感悟和遭遇的直接體驗和感受需要學生經歷；數學研究和數學學習，是一個思想實驗或“準實驗”，要有投入者的親身實踐或體驗。實際上，雖然我們知道數學是在假設、嘗試、證明、接受反駁、調整等一系列復雜的有實踐意義的過程中建立起來的，它經歷了從不全面到全面、從不嚴格到嚴格、從不合理到合理的過程，也不是鐵板一塊，它需要嘗試、修訂和完善，但對于人類幾千年來積累起來的文化知識，我們只需系統地批判、學習和接受，并不需要我們重走數學家經過的道路。

素質教育熱興起以后，在結合數學史、數學文化開展數學教育教學的基礎上，還有人倡導數學返璞歸真教學、數學語言教學、合情推理教學、邏輯推理教學、一般解題方法教學以及數學美育、數學發現法教育、數學家品格教育、數學史志教育，認為它們是全面且有效提高學生素質的教育方式。作為對數學文化知識的普及，這一提法無可厚非，也不無可取之處，但是在大學教學時間壓縮的情況下如何取舍值得探索。

數學是在實踐中產生并在實踐中發展和逐步完善的。因為結繩記事，所以產生了數；因為對兔子生殖問題感興趣，所以有了靈光一現的斐波那契數列；因為要建神廟，所以有了各種各樣的測量工具；因為要解決光學問題、曲線運動的速度問題、曲線的夾角問題，結果產生了微積分；因為要解決“賭金分配問題”，所以有了當代科學的重要數學基礎之一,而且還是當代社會和人類日常生活最必需的知識之一——概率論；因為要表現三維空間的真實場景，所以透視幾何應運而生；等等?？梢哉f，數學的每一個分支、每一次發展都起源于人類的生產生活實踐，而數學對人類的生產生活實踐又產生了巨大的影響。馬克思說：“一門科學只有當它達到了能夠成功地運用數學時，才算真正發展了?！睂W習數學，不是為了做題拿高分，不是為了考試過關，而是要解決現實生活當中存在的問題。當代大學生要擺脫數學學習的困境，最好的辦法就是推動大學生利用數學工具解決人類社會面臨的各種各樣的問題。這種辦法叫作問題驅動教學法。這里所說的問題，不是因為學習數學而產生的知識問題，而是生產生活中遇到的現實問題。那么我們還要不要教學生數學知識？答案是肯定的。但是和以往只注重數學理論和解題技巧講解而缺少應用型問題解決引導，從而使學生只會解題不會應用的做法不同，在現代教育技術發展日新月異的今天，我們完全可以依托互聯網，利用慕課資源開展翻轉課堂教學、線上線下混合式教學等等，充分發揮師生的主觀能動性，使雙方圍繞著問題展開教學。教師可以給出建議、輔導或答疑解惑，開展小班教學或個別指導。某個問題有可能用到的只是統計分析方法、線性規劃方法、SWOT分析方法、AHP決策分析方法，也可能是模糊數學方法、分形理論、系統動力學方法、人工神經網絡方法等，使學生掌握更多的數學方法并且能夠解決實際問題，從而使學生不用教師督促也會自覺地投入到數學學習中。當然，這樣做的前提是學生已經掌握了必要的數學知識和數學學習方法。

四、結語

數學是一門應用廣泛的基礎學科。隨著信息技術和計算機科學的發展，與數學有關的一大批交叉學科應運而生，社會對大學生數學應用能力的要求也越來越高，重視培養具有良好數學基礎和數學素質的大學畢業生越來越重要。但受我國數學教學傳統模式的影響，大學生只會解題不會解決實際問題的現象仍然在一定程度上存在，特別是功利性的數學教學和題海訓練，扼殺了學生數學學習的積極主動性、創造性。其改進的方向，就是在夯實數學思想教育基礎的前提下，借助現代教育技術，不斷創新大學數學的教學模式，構建線上線下混合式課程教學模式，并根據社會需求，讓學生帶著解決問題的目的有選擇性地學習，讓教師有針對性地講授，不斷提高大學生的數學素質和數學知識應用水平。