APOS理論在初中數學教學中的應用

徐東紅

（重慶師范大學數學科學學院 重慶 401331）

引言

數學概念教學在數學教學中占據著重要的位置，它是通過教師對數學概念進行講解，使學生在頭腦中初步建構出概念表象，在經過對比、分析、綜合后，了解概念之間的內在聯系，最終學生在頭腦中運用新概念建構并形成概念網絡的一個過程。美國數學家杜賓斯基提出的APOS理論，有效促進了學生自主建構，數學概念的水平。為了有效地實施數學概念教學，本文基于APOS理論，對二元一次方程進行了教學設計。

一、基于APOS理論的數學概念認知過程

APOS理論主要針對的是數學概念教學。它是指學生在經歷活動之后對自己所參與的活動進行反思，從中獲得結論。在APOS理論中，學生通過自己的心理自主構建把握對概念的理解，從而使概念產生意義。APOS理論分為四個階段：活動、過程、對象和圖式[1]。這四個階段循序漸進，學生在經歷完這四個階段過后，最終對數學概念產生理性認識。

1.活動階段

“活動”是指個體親自投入活動中，通過已有的認知結構基礎和基本經驗獲得新知識。

2.過程階段

“過程”是指個體通過不斷重復上一個階段的操作，從而對上一個階段進行自我反思，學生的數學思維不斷碰撞，頭腦中將外在的活動經過內化、壓縮后，形成理性的知識，并且用數學語言將數學概念歸納出來。

3.“對象階段”

“對象”是指個體對概念有更深層次的理解，認識到了概念的本質，頭腦對概念能夠實施更為高級的運算。

4.“圖式階段”

“圖式階段”是指個體的概念認知水平達到了更高的層次，新概念與原有認知結構中的概念可以相互聯系，形成綜合圖式。

二、APOS理論與數學概念教學之間的聯系

目前，數學概念的教學模式層出不窮。在我國的數學概念課中，教師大多使用概念形成和概念同化的方式幫助學生獲得概念[2]。其中，概念形成的過程可以分為四個步驟，如圖1所示。所謂概念的同化，究其本質，是教師通過對概念的科學定義加以呈現，讓學生借助自身掌握的知識內容，同時結合自身經驗，對概念內涵進行全面理解，從而使原來的認知結構發生變化，獲取新概念的一種方式[3]。

圖1

在以往的數學概念教學中，似乎更關注學生掌握及應用概念，而忽略了概念的生成。因此，將概念的形成與概念的同化相結合，從學生已有的知識經驗出發，抽象出數學概念的教學模式，更適合學生的發展。

三、基于APOS理論的初中“二元一次方程”概念課的教學設計

1.活動階段——創設情境，親身體驗、理解概念的意義

活動1：同學們，方程對我們來講并不陌生。在小學階段，我們就已經初步了解了什么是方程，在初一階段，我們也系統地學習了一元一次方程。下面就讓我們一起共同回顧一下一元一次方程的概念以及性質。教師通過提問的方式，復習一元一次方程的相關知識，用類比的思想方法展開二元一次方程的學習，最后和學生一起朗讀本堂課的學習目標。

活動2：籃球是同學們喜愛的運動項目，老師也同樣是個籃球迷。前段時間，X區組織了一場籃球比賽，教師利用多媒體播放籃球比賽的視頻，視頻中詳細說明籃球比賽的計分規則以及籃球運動員比賽的勝負情況：本次籃球比賽沒有平局，每局均要分出勝負。每隊勝1場得2分，負一場得1分，“必勝隊”在本次區籃球賽上10場比賽中得到16分。教師此時提出問題：“必勝隊”勝負場數分別是多少？教師引導學生思考并探索其中的等量關系，然后根據等量關系列出含有所設未知數的方程。

在解決這個問題時，教師首先要引導學生設一個未知數（設“必勝隊”勝了x場），然后利用一元一次方程的知識列出方程：

學生回答后，教師再追問：根據問題中的等量關系，你能設兩個未知數列出反映題意的方程嗎？

設“必勝隊”勝x場，負y場，由此列出二元一次方程組：

在學習二元一次方程之前，學生接觸到的是一元一次方程，教學中，教師首先回憶舊知，回顧一元一次方程的特征，為二元一次方程的定義做準備，要完成兩者之間的轉變，還應該在具體的情境下幫助學生理解。在活動階段，教師通過實例，讓學生經歷了從實際問題到抽象的數學概念的過程，初步感知了什么是二元一次方程。活動階段，學生對概念的認識處于最原始階段，這個階段為下一階段提出二元一次方程概念做好了鋪墊。

2.過程階段——體會二元一次方程概念的生成過程

針對學生所列出的一元一次方程以及二元一次方程組，讓學生仔細觀察，發現其中的異同（這兩類方程①②都含有未知數，且未知數的項的次數都是1，但是①只含有一個未知數，②含有兩個未知數）類比一元一次方程的概念，自然地過渡到如何歸納得出二元一次方程的概念，并要求學生嘗試用自己的語言描述出來。教師點評糾正后給出二元一次方程概念的準確定義。

（全班齊讀概念，在書上勾畫出概念中的關鍵詞：兩個未知數，項的次數是1）。在②中，兩個方程中的x都代表隊伍勝的場數，y都代表負的場數，它們所表示的對象分別相同，在理解的時候不應該將其分裂開來。學生從中體會到將兩個表示的相同對象的不同未知數聯立起來可以得到一個二元一次方程組，從而歸納出二元一次方程組的概念：將一共含有兩個未知數的一次方程聯立在一起組成的一組方程，叫做二元一次方程組。

在APOS理論的過程階段，是對活動過程中產生的新知進行高度概括，學生逐漸認識到了概念的本質，最終得到準確的數學概念[4]。由于學生在活動階段對概念只是初步感知，為了獲得概念的準確定義，還需要對具體的例子歸納總結，形成概念的定義。

3.對象階段——通過辨析，深化概念

【練習1】下列選項中哪些是二元一次方程，哪些不是，請說明理由。

【練習2】判斷下列方程組是否為二元一次方程組？不是的請說明理由。

教師通過練習，找出學生的易錯點以及易混淆的地方，深化對概念的理解，最后總結判斷二元一次方程組的方法：先化再看。化指的是先將方程組化簡為最簡形式，看分為三看：一看，方程組的方程是否都是整式方程；二看，方程組中是不是只含有兩個未知數；三看，含有未知數的項的次數是不是都為1。

【做一做】滿足x+y=10的解有哪些？滿足2x+y=16的解有哪些？

教師讓學生開展小組合作學習，討論過后將這些解分別填入表格（注意要讓學生考慮到本題的實際意義，x，y是有一定的范圍）。學生在得到解的同時，體會到二元一次方程組有很多解，觀察這些解當中含有同時滿足兩個方程的公共解，得到二元一次方程組解的概念。

【練一練】1、二元一次方程x+y=10的解是？

在過程階段，學生能夠用數學語言準確描述二元一次方程的概念。在對象階段，學生對二元一次方程概念有更深的認識，對于概念中每一個詞都有更好的體會，因而會用概念辨析哪些是二元一次方程。此過程中，概念作為一個整體的對象，學生對概念可以進行更高級別的運算，教師繼續引導其思維的操作概括出二元一次方程組和二元一次方程組解的概念，

4.圖式階段——實例演練，形成綜合心理圖式

【知識應用】雞兔同籠是我國古代的一類算術趣題，解決此類問題有多種方法。現有雞兔同籠，共有35個頭，94只腳，問雞兔各多少只？

學生合作交流，分成兩個小組進行討論，一個小組用一元一次方程求解，另外一個小組嘗試用二元一次方程組（不要求求解），這也是為后面所學的解二元一次方程組埋下伏筆。小組派代表上臺展示自己小組的討論結果。在展示結束后，教師點評，提醒學生解決問題時可以嘗試設兩個未知數尋找等量關系，這樣的求解更為簡單直觀。

圖式階段是對概念的綜合應用階段，個體對概念本質以及概念體系的進一步理解、揭示和實際化。通過以上四個階段，在心理上已經自主建構出有關二元一次方程的圖式，學生在此過程中對二元一次方程有了比較完整的認識。二元一次方程概念的學習與初三所學習的一元二次方程的概念也有著緊密的聯系。因此，學生初步建立起來的二元一次方程的概念也為后面的知識做了鋪墊，頭腦中的認知結構不斷地被豐富，最后形成綜合的心理圖式。

四、教學反思

本堂課基于APOS理論，教學設計中嚴格遵循活動、過程、對象、圖式四個循序漸進的階段組織概念教學，揭示了概念的形成過程。該理論從學生的客觀現實體驗出發，在數學思想的指導下不斷思考、分析、理解，強調學生的主動參與性，最終自主構建出自己的數學概念圖式[5]。在活動階段，呈現的是生活中常見的籃球賽的數學素材，學生初步感知到二元一次方程在生活中運用，讓學生產生一種生活中處處是數學的感覺，體會數學在現實生活中的存在性，激發起學生的求知欲。數學課堂中，學生最佳的課堂狀態是學生能帶著問題走進課堂，此階段，隱性的數學概念通過顯性的活動直觀呈現出來，趣味且符合認知水平的情境讓學生能夠主動參與、思考，和老師同學們一起積極互動、探索。在過程階段，教師要引導學生自覺地對活動進行思考：什么是二元一次方程？它和一元一次方程有什么異同？學生通過已有的知識基礎和基本活動經驗，歸納總結出二元一次方程的概念。在對象階段，學生對二元一次方程概念的理解更為深刻，概念也更為具體，對二元一次方程的概念進行更高層次的運算，會判別哪些是二元一次方程，概念中的關鍵詞有哪些？哪個地方易錯易混淆？圖式階段中數學概念不再是孤立的存在，概念之間存在著順延和聯系，此階段二元一次方程的概念在頭腦中形成了綜合的圖式：學生能夠將二元一次方程與之前所學習的一元一次方程聯系起來，并且能夠從一元一次方程有解，推斷出二元一次方程同樣有解，對比一元一次方程與二元一次方程之間的區別在于含有未知數的個數不同。整個教學過程中，學生通過活動主動體驗數學概念的發生以及發展過程，在原有的認知基礎上獲取了新知。

在教學中，教師應該引導學生從現實中抽象出數學知識，培養他們發現問題并解決問題的能力，在活動階段的情境，應該設置學生感興趣的活動，這樣就能將被動活動轉化為主動地探究。如此一來，學生既發展了數學思維，也獲得了豐富的情感體驗，數學概念的圖式結構發展得更為“茂密”。在圖式階段，教師鼓勵學生開展小組合作交流，展示本堂課的學習成果，發現新的問題。教師把課堂交給學生，這充分地發揮了學生在課堂上的主體性和能動性，更有利于學生進行有意義的學習。