基于模糊聚類的高表征度地鐵構架應力譜編制方法

薛 海，胡李軍，李 強

（1.蘭州交通大學 機電工程學院，甘肅 蘭州 730070；2.北京交通大學 軌道車輛結構可靠性與運用檢測技術教育部工程研究中心，北京 100044）

隨車實測的應力-時間歷程綜合反映了地鐵構架在不同運營工況、線路條件、系統特性等多因素影響下疲勞薄弱位置的受載狀態，與目前主要采用動力學或強度仿真獲得的結果相比，具有應力信息反映全面和準確的優點。應力-時間歷程表征的是隨機交變載荷，不宜直接用于構架可靠性設計、安全評估或疲勞試驗，為此，需采用相應方法將其等效簡化處理為應力譜［1-2］。

目前，常用的應力譜編制方法主要是采用雨流計數法，通過統計落入不同應力等分區間的循環次數實現編譜［3-4］，但進行各應力循環區間歸類過程中存在實際應力與所歸類應力級的等效應力相差較大問題，出現應力循環幅值放大或縮小的現象，而構架疲勞損傷與應力呈高次指數關系，該指數與焊縫疲勞參數有關，導致構架可靠性設計或安全評估結果與實際不符。與此同時，將應力循環按幅值大小分為低中高區，則不同分級區間的應力循環次數數量級差異性較大，若按傳統等分區間歸類，各級應力與其出現次數的對應數學關系較弱，統計規律較差，增加了工程推廣應用難度，并且在分級數較多的情況下，高應力區出現次數為0 或1 的應力循環，使得低中應力區與高應力區過渡平順性較差，對最大應力的統計存在較大誤差［5-6］。

本文通過雨流計數法提取地鐵構架應力-時間歷程中的應力循環，首先采用模糊聚類對不同應力循環造成的損傷進行聚類，然后根據不同損傷聚類得到隸屬度變化關系將不同應力循環造成的損傷進行分級，應用神經網絡和二維核密度估計進行各級應力的統計分析，最后在遵循損傷一致性的條件下對分類結果中各級等效應力進行優化，從而實現高表征度的地鐵構架應力譜編制。

1 應力譜編制方法

1.1 應力損傷模糊聚類

模糊聚類是根據測試樣本的特征和相似性，通過模糊相似關系將每個樣本按不同的隸屬度分類，從而進行樣本集的類別劃分［7-8］。損傷是應力幅值和出現次數作用于結構所產生效果的衡量指標，可通過得到不同測試點各應力循環造成的損傷進行模糊聚類，根據聚類損傷隸屬度進行應力譜分級數的確定。

采用雨流計數法，提取隨機應力-時間歷程中的應力循環，根據疲勞累積損傷理論和材料的S-N曲線表達式推導得第k級應力幅值σk造成的損傷dk為

式中：nk為應力幅值σk出現次數；Nk為應力幅值σk對應的疲勞壽命；m和C為材料的疲勞性能參數。

為了提高模糊聚類的判定效率，且確保應力循環的作用特性，對所有應力幅值進行初步劃分，取分級數為q，則各應力級所造成的損傷矩陣D=(d1…dk…dq)，(k=1，2，…，q)。若聚類個數為c，采用模糊聚類將q個不同應力級損傷劃分為c類，c個類別的聚類中心V=(v1…vi…vc)，(i=1，2，…，c)。則第k級應力級造成的損傷dk與第i個聚類中心vi的歐式距離xik為

隸屬度是評判模糊聚類效果的重要指標，隸屬度越接近于1，表示某應力級對應損傷屬于該類的可信程度越高，其特點是評價結果不是絕對地肯定或否定，而是以1 個模糊矩陣表示。記uik為第k 級應力造成的損傷dk屬于第i 類的隸屬度，則各應力級造成的損傷與各聚類中心的加權平方距離之和J(U，V)［9］為

其中，

U=(uik)c×q

式中：U為隸屬度矩陣；f為模糊系數。

模糊聚類的聚類準則是求其隸屬度矩陣U 和聚類中心V，使得J(U，V)取最小值［10］。通常取［0，1］上的均勻分布隨機數確定初始隸屬度矩陣U(0)，若步數l=1 代表第1 步迭代，則第(l-1)步的隸屬度記為uik(l-1)，第l步聚類中心vi(l)為

根據式（4）得到第l 步聚類中心vi(l)，再依據第l步的歐氏距離xik(l)，修正第l步的隸屬度uik(l)和加權平方距離之和J(l)(U，V)，分別得

1.2 各類應力分區統計

通過雨流計數落入各應力區的各級應力幅值對應的次數數量級相差較大，且在高應力區存在次數為零的問題，不宜采用統一的概率密度函數進行統計分析。此外，造成構架疲勞損傷的主要是高應力區應力，而在應力分級時應力循環特征在高應力區改變較低中應力區明顯。為此，將模糊聚類的最后一類對應的各應力級劃分為高應力區，而其他類為低中應力區。

1.2.1 基于神經網絡的低中應力區統計

低中應力區由于應力大小及出現次數變化較大，連續相鄰應力級的次數平順性較差，且在測試中由于線路環境、司機操作、運營工況等因素影響，使得部分應力在測試樣本信息中未出現，導致每次測試得到的應力結果差別較大，不能從總體反映應力特征。

徑向基函數（BRF）神經網絡具有良好的泛化能力，其在局部逼近預測方面有較好的效果，是一種3 層神經網絡［11］，可映射任意復雜的非線性關系，具有很好的擬合穩定性，為此，采用BRF神經網絡進行低中應力區應力-次數關系的分析。

采用高斯徑向基函數作為隱藏層的激活函數，輸入低中區應力幅值Xr和輸出應力函數Q(Xr)間的關系為

式中：p 為隱含層節點數；wt為線性組合權值；Xt為隱含層徑向基函數中心；Φ為高斯函數方差。

針對樣本應力集Xr，通過RBF 神經網絡的訓練，反復迭代修正徑向基函數中心Xt以及線性輸出權值wt等，使誤差最小［12］，即目標函數Q(Xr)最小。BRF 網絡有多種學習方法，如自組織選取法、有監督選取中心法、正交最小二乘法、梯度下降法等［13-14］。以梯度下降法為例，當目標函數式（8）運行結果滿足預測應力與實際值誤差要求或達到最大迭代次數時，神經網絡訓練結束。

式中：ηr為擬合誤差；Yr為與應力幅值Xr對應的實際輸出應力幅值。

1.2.2 基于二維核密度估計的高應力區統計

由于高應力區的應力幅值和次數離散性較大，且出現次數較少，采用傳統的概率統計或神經網絡方法不能得到較好的分析結果，同時雨流計數矩陣數據分布隨機性較大，不易采用參數估計的方法描述，所以在雨流計數矩陣數據進行外推時，一般采用非參數估計方法。由于核密度估計方法能夠保留數據本身的分布規律，并且能夠描述數據的分散性，廣泛應用于數據的非參數統計［15-16］。

雨流計數法得到的高應力區應力對應的均值和幅值矩陣為二維問題，為此，根據有限的樣本點，采用二維核密度估計方法進行應力-次數的非參數統計外推，從而實現應力-次數兩參數的統計分析。二維核密度估計自適應帶寬式為

其中，

式中：f (σF，σJ)為高應力區的概率密度函數；σF和σJ分別為高應力區應力對應的幅值和均值；σFg和σJg分別為高應力區第g 個應力級對應的幅值和均值；n 為高應力區的應力級數；h 為帶寬；K(?)為核函數；λg為帶寬自適應因子；P(σFg，σJg)為(σFg，σJg)出現的概率；α一般取-0.5［17］。

由于Epanechnikov核函數在非參數統計時均方誤差意義下最優，且效率損失較小［18］。故選取Ep?anechnikov核函數為二維核密度估計的基函數，為

通過核密度計算表達式，獲得高應力區的應力概率密度矩陣，根據總循環次數，結合蒙特卡羅模擬，分別對高應力區各級應力-次數概率進行統計和應力外推，對高應力區各級應力值和對應損傷進行修正。

1.3 各類等效應力優化

通過模糊聚類對各應力級的損傷進行歸類，根據應力大小對各應力級進行擬合和外推，并對各應力級的等效應力進行優化。傳統的雨流計數法應力分級是將應力歸為某一區間式時，取該區間上下限應力的中間值為等效應力，而忽略了不同應力所造成損傷的差異性。由于模糊聚類對所有的應力級分成了c 類，則記每類中應力級的數量組成的集合為{t1，…，ts，…，tc}，ts為模糊聚類第s類包含的應力級數量。定義∑σmini為“損傷數”［19］，根據式（1）可以看出，C 為常數，所以對結構造成真正損傷的量值由∑σmini決定。為此，建立如式（11）所示的第s類包含應力級與等效應力σes造成損傷數平方差Δδs數學模型，求目標函數的最小值，以此確定不同應力區的等效應力值，并對每一級進行分級優化。

式中：στ為第s 類中第τ 個應力級；nτ為第τ 個應力級對應的循環次數；Ns為第s類中應力級循環次數總和。

為更形象說明整個應力優化過程，結合圖1，通過舉例說明其具體步驟如下。

（1）假定模糊聚類得到的第s 類中共有3 個應力級，其應力從小到大依次為2，3 和4 MPa，對應的循環次數依次為5，4 和3 次，為了便于計算，取m 值為2。分別計算其損傷數如圖1（a）所示，其中該類總循環次數為12 次，總損傷數為104 MPa2·次。

圖1 分級應力優化過程

（2）根據圖1（a）中的總損傷及總循環次數，令Δδs=0，采用式（11）進行等效應力求解，即可得到等效應力優化值，并與應力中間值計算得到的損傷進行比較，結果如圖1（b）所示。

（3）根據上述步驟，從而得到模糊聚類中不同類的等效應力值。

從圖1 可以看出：通過各類所屬應力級進行優化得到的損傷結果，降低了在選取等效應力時產生的誤差，雖然降低的誤差較小，但通過優化c類中每類的等效應力，將大幅降低其損傷的整體誤差，且該例子假定某類中只有3個應力級，但實際情況中遠不止這些。因此，通過等效應力優化，可明顯提高應力的損傷精度，克服傳統應力譜編制分級中取中間值或平均值存在的不足。

2 實例應用

以某地鐵轉向架構架制動吊座與橫梁連接處5 趟往返所測試的應力-時間歷程，作為應力譜編制樣本數據。測試條件為正常運營，最高運行速度為72 km·h-1，動態信號采集設備的采樣頻率設為1 000 Hz，測試得到的某段應力-時間歷程信號如圖2 所示。從圖2 可以看出：應力呈對稱分布，應力均值基本為0，主要考慮應力幅值對結構的疲勞損傷影響。

圖2 應力-時間歷程

為了對所有應力幅值進行初步劃分，通過應力幅值的單參數計數法進行測試信號的雨流計數統計，采用傳統等間距應力譜分級方法對所有應力幅值進行不同分級數的劃分，并計算不同應力分級數下的疲勞損傷相對誤差，結果如圖3 所示。從圖3可以看出：隨著應力譜分級數的增加，損傷相對誤差逐漸減少，當分級數大于24 級時，應力譜的損傷誤差為1.0%；當分級數大于200 級時，損傷誤差基本小于0.2%，且損傷誤差的變化趨于穩定。為保證分級前后應力譜造成的損傷誤差盡可能小，根據圖3 分析結果，取初步劃分的分級數q=500，來代替測試樣本的所有應力循環。

圖3 分級數-損傷相對誤差

根據文獻［20—21］可知，將應力譜分成8 級可以精確地反映其疲勞效應，故取模糊聚類的類別為8類，則所有應力幅值被分為8級，即c=8，得到各應力級損傷的隸屬度如圖4 所示。從圖4 可以看出：模糊聚類對500 個應力級造成的損傷進行模糊劃分，使得各類之間有交叉關系，對于應力類別的不確定性描述，更能客觀地反映實際情況；分為8級進行各類應力級損傷歸類時，各類隸屬度的最大值均在0.93以上，趨近于1，取最大值所在曲線相交處為劃分界限，得到各類應力級的劃分范圍。

圖4 各類損傷隸屬度

對模糊聚類分為8 級時各級對應的應力級進行統計，根據式（1）計算每類所屬應力級造成的損傷，從而得到其占總損傷的比例如圖5所示。從圖5可以看出：根據模糊聚類得到的應力分級與傳統的應力譜分級不同，分級區間的大小完全取決于應力的損傷特性，遵循了損傷一致的原則；從第2 類開始，隨著應力幅的增加，分級區間也隨之增大，主要原因是應力級在中高應力區存在的波動性和離散性較大，符合實際應力分布情況；從累積損傷占比可以得出，第3—第8 類損傷占比超過了75%，表明結構的疲勞損傷主要由中高應力造成。

圖5 各級應力的聚類

采用神經網絡進行低中應力區應力-次數關系的預測分析，結果如圖6 所示。從圖6 可以看出：神經網絡的預測值和實際應力值的差值基本接近于0，說明神經網絡輸出能較好地逼近實際結果；通過神經網絡預測擬合可以近似表示離散應力-次數的函數關系，有利于提高實際測試中所采集應力數據的完整性。

圖6 應力幅值的神經網絡擬合

對高應力區采用二維核密度估計，得到等效應力幅值-循環次數-概率關系如圖7 所示。從圖7 可以看出：通過對高應力區應力循環的均值和幅值進行雙參數概率密度統計，提高了概率統計的準確性，能很大程度保留數據本身的分布規律。

圖7 應力幅值的二維核密度估計

核密度估計所得外推譜與應力譜對比如圖8 所示。從圖8可以得出：通過核密度估計統計外推得到的外推譜最大應力為27.3 MPa，實際應力譜最大應力為24.5 MPa，誤差產生的主要原因是核密度估計外推可統計得到實際測試中可能未出現的大應力數據；經過統計外推分析，相同應力下的頻次增加，總循環次數增加了6.6%，表明核密度估計在描述應力數據分散性的同時，對應力的作用次數也進行了外推。

圖8 核密度估計外推前后對比

根據式（11）對各類應力級進行優化，結果如圖9 所示。從圖9 可以看出：通過對每類所屬的應力級進行優化，得到了8個不同的峰值，峰值處對應的損傷最接近實際損傷，則8個峰值對應的橫坐標應力幅值為各類應力優化后的等效應力；計算每類應力級對應疲勞損傷數的最小平方差值進行等效應力的確定，不同于傳統的應力區間取中值或平均值，使得到的結果更能準確反映應力的疲勞效應。

圖9 各級應力的優化

對隨機實測的5 次應力測試數據（測試1—測試5）分別采用傳統8 級等間距分級以及二維核密度估計外推編制了應力譜1—應力譜5，結果見表1。

表1 傳統等間距應力譜編制結果

方案1：對測試1 結果采用本文的模糊聚類進行不等間距分級，以及根據神經網絡預測和二維核密度估計分別對低中和高應力區進行修正和外推，編制對應的應力譜；方案2：將測試1—測試5 連接成整體，采用傳統等間距分級，二維核密度估計外推后得到平均應力譜。方案1 與方案2 結果對比具體見表2。

表2 采用本文編譜方法與傳統編譜方法的應力譜比較

從表1和表2可以得出如下結果。

（1）采用本文編譜方法得到的8 級不等間距應力譜方案1 與傳統等間距編譜結果應力譜1 相比，應力譜趨勢基本一致。

（2）對測試1 數據通過模糊聚類分級不進行外推得到的應力譜最大應力幅值為24.5 MPa，傳統方法得到的為22.3 MPa；通過外推后，方案1 的最大應力幅值為27.3 MPa，應力譜1 的為23.8 MPa，由于大幅值載荷造成損傷比重較大，故通過模糊聚類進行外推能夠最大程度反映應力所造成的疲勞效應。

（3）通過傳統等間距對5條測試信號進行總體統計的方案2，其外推得到的最大應力為28.2 MPa，與本文對測試1 編制的方案1 損傷結果差距較小，表明采用模糊聚類進行編譜的可行性，并且進一步說明采集更多的時域信號樣本，能夠有效模擬構架結構的實際受載狀態。

3 損傷一致性檢驗

地鐵構架疲勞可靠性研究的基礎是實測應力-時間歷程數據，不但要求其能覆蓋實際線路運行時的損傷，且能夠盡量接近對構架所造成的損傷水平，以便準確確定構架在實際線路服役條件下的疲勞損傷。根據相關文獻［22］和圖2 可以得出，實測的載荷信號分級數越大，則可較好保留載荷的疲勞特性，使實測信號盡可能表征實際服役的損傷狀況，故參考文獻［23—24］對應力譜驗證以及臺架試驗模擬的方法，以實測載荷信號分為500 級不進行外推計算的疲勞損傷作為基準，根據式（12）—式（14）對不同應力譜編制方法得到的損傷結果進行相對損傷γ和損傷誤差?的計算。

式中：dθ為第θ 個應力譜或第θ 個方案應力譜造成的損傷；m取值為3.5。

所得結果見表3。從表3可以得出如下結論。

表3 不同分級方式損傷對比

（1）采用本文編制方法對測試信號進行8 級編譜，得到的方案1 疲勞損傷是基準損傷的1.31 倍，與采用傳統的編譜方法得到的應力譜1相比，大于其疲勞損傷，主要原因是通過模糊聚類進行應力譜分級，更能反映局部載荷特征，使得采用二維核密度估計外推后更能真實反映構架的實際受載狀況。

（2）基于模糊聚類編制的應力譜疲勞損傷均高于采用傳統方法編譜的應力譜2—應力譜5 疲勞損傷，而與5條測試信號整體進行編制的平均應力譜方案2損傷結果基本一致。表明通過本文編譜方法進行編譜及外推，不僅可以準確反映應力的分布特性，且能有效克服測試過程中數據樣本采集不足的缺點。

4 結 論

（1）采用模糊聚類，根據應力所造成的疲勞損傷隸屬度進行級數確定，不但考慮了所有應力循環的整體特征，還很大程度保留了測試應力的局部信息和屬性，保證了損傷一致性。

（2）對低中和高應力區通過神經網絡和二維核密度估計進行統計，可充分考慮在測試過程中由于線路環境等因素未采集到的應力信號，使編制的應力譜更能準確反映應力特性和損傷特征。

（3）根據損傷等效原則，建立不同應力區與等效應力造成損傷差的平方數學模型，來確定不同應力區的等效應力值，改變了傳統方法中選取各級應力區間中間值或平均值存在的不足，該模型提高了應力譜各級應力的準確性。