Duffing方程周期解的精確個(gè)數(shù)及其穩(wěn)定性

陳紅斌，邢慧，殷子健

(1.西安交通大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，陜西 西安 710049;2.西安工程大學(xué)數(shù)學(xué)系，陜西 西安 710048;3.西北農(nóng)林科技大學(xué)數(shù)學(xué)系，陜西 咸陽 712100)

1 引言

考慮Duffing方程

其中h是一個(gè)正的T-周期函數(shù)且g(x)是一個(gè)連續(xù)函數(shù).方程(1)或者具有更為一般非線性項(xiàng)的二階微分方程周期解的存在性和多解性已經(jīng)被眾多學(xué)者廣泛研究.但是，關(guān)于方程(1)的周期解的確切個(gè)數(shù)的研究很少見.在文獻(xiàn)[1]中，作者研究了小擾動(dòng)問題，當(dāng)h(t)充分小，在非線性滿足簡單的凹凸性條件時(shí)，得到了方程(1)恰有三個(gè)T周期解.R.Ortega在文獻(xiàn)[2]中研究了下面帶有參數(shù)的Duffing方程

其中c＞0且關(guān)于第二個(gè)變量是嚴(yán)格遞增的，滿足條件

得到的Ambrosetti-Prodi定理結(jié)果如下:

存在一個(gè)s0，使得當(dāng)s＜s0時(shí)，方程(2)沒有T周期解;當(dāng)s=s0時(shí)，方程(2)有唯一穩(wěn)定的T周期解;當(dāng)s＞s0時(shí)，方程(2)恰有兩個(gè)T周期解，其中一個(gè)是漸近穩(wěn)定的，另一個(gè)是不穩(wěn)定的.

以上結(jié)果是關(guān)于周期邊值問題解的精確個(gè)數(shù)的首個(gè)完整的結(jié)果.關(guān)于周期解存在性的相關(guān)結(jié)果可參考文獻(xiàn)[3-5].

在文獻(xiàn)[6]中，J.Mawhin首先得到了關(guān)于一階微分方程的類似結(jié)果.在文獻(xiàn)[7]中作者利用奇點(diǎn)理論對該問題也進(jìn)行了相關(guān)研究.在文獻(xiàn)[8]中，A.Tineo利用Poincare映射的不動(dòng)點(diǎn)定理對該問題也進(jìn)行了研究.關(guān)于單擺方程的多解性的研究可參考文獻(xiàn)[9-13]等.后來，在文獻(xiàn)[14]中，作者研究了非線性項(xiàng)具有三次方即g(x)=ax-x3的情況，并假設(shè)非線性回復(fù)力g滿足凹凸性條件，證明了方程(1)恰有3個(gè)T周期解.

在本文中，假定非線性回復(fù)力g有唯一的極小值點(diǎn)，采用分歧方法并結(jié)合極大值原理，得到了Ambrosetii-prodi定理，該結(jié)果減弱了文獻(xiàn)[2]中的條件，對文獻(xiàn)[2]中的結(jié)果有了本質(zhì)的改進(jìn).本文的方法對于更為一般的非線性項(xiàng)g是適用的，可得到關(guān)于解的精確個(gè)數(shù)和穩(wěn)定性的更為完整的信息.對于周期解的多解問題，可參考文獻(xiàn)[15-17].關(guān)于周期解的穩(wěn)定性和衰變速度可參考文獻(xiàn)[14，18-22].

在本文中，如果g滿足下面的條件

(i)g(x)≥0，g∈C1;

(ii)g(x)有唯一的非退化臨界點(diǎn)x0使得g(x0)=0;

(iii)在x0的某個(gè)鄰域內(nèi)，g關(guān)于x滿足g∈C2.

則稱g是U-型的.即g是非負(fù)有唯一的零點(diǎn)x0，在x＜x0時(shí)是遞減的，當(dāng)x＞x0時(shí)是遞增的，且g′′(x0)＞0.

在本文中，一律假設(shè)g(x)∈C1是U-型的且滿足下面的條件

且h(t)＞0，h∈CT.

簡而言之，本文的主要結(jié)果是當(dāng)g具有U-型結(jié)構(gòu)時(shí)，方程(1)的解曲線也是U-型的.確切的說，本文得到如下定理:

定理 1.1設(shè)g(x)∈C1是U-型的且滿足條件(3)和.則

(i)當(dāng)λ＜0時(shí)，方程(1)沒有T周期解;

(ii)當(dāng)λ=0時(shí)，方程(1)有唯一的平凡T周期解x(t)=x0;

(iii)當(dāng)λ＞0時(shí)，方程(1)恰有兩個(gè)有序T周期解，且其中較大的是穩(wěn)定的，較小的是不穩(wěn)定的.

如果g是U-型的，顯然兩個(gè)極限是存在的，或者其中一個(gè)是等于無窮的.當(dāng)其中一個(gè)是有界時(shí)，例如，m-＜∞，假設(shè)以及則得到解曲線的性質(zhì)如下:

定理 1.2設(shè)g(x)∈C1是U-型的，滿足條件(3)且，m-是有界的，則

(i)當(dāng)λ＜0時(shí)，方程(1)沒有T周期解;

(ii)當(dāng)λ=0時(shí)，方程(1)有唯一的平凡T周期解x(t)=x0;

(iii)當(dāng)0＜λ＜λ0時(shí)，方程(1)恰有兩個(gè)有序T周期解，且其中較大的是穩(wěn)定的，較小的是不穩(wěn)定的;

(iv)λ＞λ0時(shí)，方程(1)有唯一穩(wěn)定的T周期解.

如果m±＜+∞，m-＜m+.設(shè)λ0=m-/，λ1=m+/.則上面的定理簡化成下面的形式:

定理 1.3設(shè)g(x)∈C1是U-型的，滿足條件(3)且m±＜+∞，m-＜m+，則

(i)當(dāng)λ＜0時(shí)，方程(1)沒有T周期解;

(ii)當(dāng)λ=0時(shí)，方程(1)有唯一的平凡T周期解x(t)=x0;

(iii)當(dāng)0＜λ＜λ0時(shí)，方程(1)恰有兩個(gè)有序T周期解，且其中較大的是穩(wěn)定的，較小的是不穩(wěn)定的;

(iv)當(dāng)λ0＜λ＜λ1時(shí)，方程(1)有唯一穩(wěn)定的T周期解;

(v)當(dāng)λ＞λ1時(shí)，方程(1)無T周期解.

下面是一些記號(hào)方便后面使用.

(1)當(dāng) 1≤p≤∞時(shí)，表示T-周期函數(shù)u∈Lp[0，T]，范數(shù)記為‖u‖p;

(2)當(dāng)k≥0，在Ck-范數(shù)下，表示T-周期函數(shù)u∈Ck[0，T];

(3)α(t)?β(t)，表示α(t)≥β(t)且在正測度子集上α(t)＞β(t).

2 線性周期問題

本節(jié)回顧線性周期邊值問題的基本結(jié)果以備后用.考慮周期邊值問題

其中F:[0，T]×Rn→Rn是一個(gè)連續(xù)函數(shù)且當(dāng)n=2時(shí)是關(guān)于t是T-周期的.

記x(t，x0)為初值問題(4)的解.

定義 2.1如果線性化方程

沒有非平凡的T周期解，則方程(4)的T周期解被稱為是非退化的.

設(shè)M(t)是方程(5)的基解矩陣，且μ1和μ2是矩陣M(T)的特征值.如果|μi|＜1，i=1，2，則x(t，x0)是漸近穩(wěn)定的，否則，如果其中一個(gè)的模大于 1，則x(t，x0)是不穩(wěn)定的.

考慮下面齊次周期方程

其中c＞0是一個(gè)常數(shù)且α(t)∈LT.

下面的引理在文獻(xiàn)[1]中給出，在證明本文結(jié)果中起著重要的作用.

引理 2.1設(shè)α(t)∈LT使得

如果α(t)?0或α(t)?0時(shí)，則方程(6)的可能的T周期解x是平凡的.

下面是關(guān)于周期解的穩(wěn)定性的結(jié)果，在文獻(xiàn)[23]中已給出.

引理 2.2設(shè)x是方程(2)的一個(gè)孤立的T周期解使得條件成立，則

(i)如果α(t)?0，則x是漸近穩(wěn)定的;

(ii)如果α(t)?0，則x是不穩(wěn)定的.

考慮微分方程

其中c是一個(gè)常數(shù)且α(t)，h(t)∈LT.

為了得到帶有滿足凸性條件的非線性項(xiàng)g的Duffing方程解的精確個(gè)數(shù)，需要下面改進(jìn)的極大值原理，這個(gè)極大值原理推廣了文獻(xiàn)[15]中由P.J.Torres和M.R.Zhang得到的定理2.3的結(jié)果.

引理 2.3設(shè)h(t)?0且α(t)滿足.如果x(t)是方程 (8)的一個(gè)T周期解，則下面的結(jié)論成立:

(i)對?t∈R，則x(t)＞0或者x(t)＜0;

(ii)對?t∈R，如果α(t)＞0，則x(t)＞0;

(iii)對?t∈R，如果α(t)＜0，則x(t)＜0.

證明首先證明結(jié)論 (i).用反證法，如果x(t)在 [0，T]上變號(hào)，則存在一個(gè)τ使得x(τ)=0.假設(shè)x′(τ)≤0，否則，如果x′(τ)＞0，由于x(t) 是一個(gè)T-周期函數(shù)，x(t)在 [τ，τ+T)有一個(gè)連續(xù)的零點(diǎn)t0，使得x′(t0)≤0.在這種情況下，設(shè)τ=t0，不失一般性，假設(shè)τ=0使得x′(0)≤0.設(shè)v(t)是下面方程

初值問題的解，使得v(0)=v′(0)-1=0.由假設(shè)可得方程 (9)在 [0，T]上是非共軛的，其中λ1是特征問題y′′-cy′+λx=0，x(0)=x(T)=0 的第一特征值.從而可得對?t∈(0，T]有v(t)＞0.方程 (8)乘以v(t)，方程 (9)乘以x(t)，兩式作差并在[0，T]上利用分部積分得

上式等號(hào)左邊是負(fù)的，而右邊是正的，矛盾，因此對?t∈R，則x(t)＞0或者x(t)＜0.對方程(8)在[0，T]上積分易得當(dāng)α(t)＞0時(shí)，有x(t)＞0，當(dāng)α(t)＜0時(shí)，有x(t)＜0.結(jié)論(ii)和(iii)得證.

3 定理的證明

本節(jié)首先給出定理1.1的證明，以下引理對證明定理十分關(guān)鍵.證明中主要采用了連續(xù)延拓的方法.在給出證明前，首先回顧 Crandall-Rabinowitz分歧定理.具體細(xì)節(jié)可參考文獻(xiàn) [24]由 H.Kielh?fer編寫的第一章 1.4節(jié)的內(nèi)容或參考文獻(xiàn) [25].設(shè)F:U×R→Z，開集U?X，其中X和Z是 Banach空間.下面首先給出Crandall-Rabinowitz分歧定理:

引理3.1設(shè)F:U×R→Z在U×V?X×R上是連續(xù)可微的且滿足下面3個(gè)條件:

(i)對某個(gè) (x0，λ0)∈U×V，有F(x0，λ0)=0 且 dimN(DxF(x0，λ0))=1;

(ii)DxF(x0，λ0)) 的 Fredholm 指標(biāo)是 0;且 codimR(DxF(x0，λ0))=1;

(iii)DλF(x0，λ0)(DxF(x0，λ0)).

則存在一條連續(xù)可微的曲線通過(x0，λ0);也就是說，存在

使得F(x(s)，λ(s))=0，?s∈(-δ，δ)，并且在 (x0，λ0) 的鄰域內(nèi)，F(xiàn)(x，λ)=0 的所有解都屬于這條曲線，其中Fλ((x0，λ0))的核空間為由u生成的子空間，且

下面證明本文的主要結(jié)果，首先證明定理1.1.

證明當(dāng)λ＜0時(shí)，如果方程 (1)有一個(gè)T周期解x(t)，則在區(qū)間 [0，T]上對方程(1)進(jìn)行積分得

由于h(t)是正的，從而得等式的右邊是負(fù)的，而等式的左邊是正的，矛盾，所以定理1.1的結(jié)論(1)得證.當(dāng)λ=0時(shí)，下面證明方程(1)有唯一的T周期解x0.在這種情況下，方程(1)化為

設(shè)x(t)是方程(11)的任意T周期解.方程(11)乘以x′(t)，并在區(qū)間[0，T]上積分可得

由上式可得x(t)是常數(shù)，將x(t)=c代入方程(11)可得g(c)=0.由函數(shù)g的假設(shè)條件得x(t)=c=x0.從而定理1.1的結(jié)論(2)得證.

當(dāng)λ＞0時(shí)，采用分歧的方法進(jìn)行證明.下面分為三步進(jìn)行證明.

第一步:首先，證明 (x，λ)=(x0，0)是一個(gè)分歧點(diǎn).設(shè)，Z=CT，且F(x，λ)=x′′+cx′+g(x)-λh(t)，顯然F:X×R→Z是一個(gè)非線性 Fredholm 算子且F(x0，0)=0.為了證明(x，λ)=(x0，0)是一個(gè)拐點(diǎn)，下面驗(yàn)證引理 3.1的條件.F在點(diǎn) (x，λ)=(x0，0) 的 Frechet 導(dǎo)數(shù)如下:Fx(x0，0)v=v′′+cv′+g′(x0)v=v′′+cv′.考慮線性方程

顯然，方程(12)有唯一的常數(shù)T周期解.由此可得N(DxF(x0，0))=span[1]，即線性算子DxF(x0，0))的核空間是一維的.下面驗(yàn)證 codimDxF(x0，0)=1.考慮自伴算子，方程(12)的共軛方程如下:

顯然自伴算子的核空間N(DxF*(x0，0))=span[1].由Fredholm二擇一定理可得

由于DλF(x0，0)=-h(t)和，從而證明了DλF(x0，0)(DxF(x0，0)).

根據(jù)引理3.1可得，存在連續(xù)可微的曲線通過(x0，λ0)，也就是說，存在

使得F(x(s)，λ(s))=0，s∈(-δ，δ)，并且在 (x0，0) 的鄰域內(nèi)，F(xiàn)(x，λ)=0 的所有解都在這條曲線上.

對方程(1)，關(guān)于s求二階導(dǎo)數(shù)并在(x0，0)處取值得

因此，(x，λ)=(x0，0)是F(x，λ)=0 的分歧點(diǎn).

根據(jù)引理 3.1即 Crandall-Rabinowitz分歧定理可得，當(dāng)λ＞0時(shí)，在 (x0，0)的某個(gè)鄰域內(nèi)，存在兩個(gè)解分支x±(t，λ) 通過 (x，λ)=(x0，0) 且有x-(t，λ)＜x+(t，λ).更進(jìn)一步，當(dāng)λ＞0 時(shí)，有x-(t，λ)＜x0＜x+(t，λ).顯然，x0滿足

則方程 (1)與方程 (15)作差，令u=x(t)-x0，可得如下方程u′′+cu′+p(t)u=λh(t)，其中p(t)=(g(x(t))-g(x0))/(x(t)-x0)滿足條件(3).由此可得，u＞0或u＜0，證得以上結(jié)果.

第二步:現(xiàn)在已經(jīng)證得方程(1)有確切的兩個(gè)T周期解，下面采用連續(xù)延拓的方法證明對?λ＞0，方程 (1)有兩個(gè)解.首先，證明當(dāng)λ＞0時(shí)，x+(t，λ)關(guān)于λ＞0是遞增的.

考慮在x(t)=x+(t，λ)處的線性方程

由于x(t)=x+(t，λ)＞x0且g′(x)＞0，由此可得 0＜g′(x(t))且滿足條件 (3)，根據(jù)引理 2.1結(jié)論 (3)得上述方程沒有任何非平凡解，也就是說，x(t)=x+(t，λ)是非退化解.因此x(t)=x+(t，λ)有關(guān)于λ的連續(xù)導(dǎo)數(shù).對方程(1)關(guān)于λ求二階導(dǎo)數(shù)得

由反極值原理得xλ＞0，從而證得x+(t，λ)關(guān)于λ是遞增的，隨著λ的遞增，不僅x+(t，λ)是存在的，而且是非退化的.因此，對?λ＞0，解曲線x+(t，λ)是存在的.類似可得，對?λ＞0，x-(t，λ)也是存在的.

第三步:對固定的λ，設(shè)x(t)是方程 (1)的任意解.下面證明x(t)≡x+(t，λ)或x(t)≡x-(t，λ).首先，用類似第一步的證明方法容易驗(yàn)證x(t)＞x0或者x(t)＜x0.不妨設(shè)x(t)＞x0，則u=x(t)-x+(t，λ) 是下面方程u′′+cu′+p(t)u=0 的解，其中p(t)=(g(x(t))-x+(t，λ))/(x(t)-x+(t，λ)).顯然，0＜p(t) 且滿足條件 (H)，由引理 2.1可得u≡0.類似地，如果x(t)＜x0時(shí)，則x(t)≡x-(t，λ).由引理 2.2易得每個(gè)解的穩(wěn)定性.定理1.1證畢.

注 3.1由于定理1.2和定理1.3的證明思想和定理1.1類似，所不同的是需要采用L-S約化方法處理解的存在性，這里就不再證明.