折線數軸上的動點問題探究

張 哲

(蘇州工業園區星海實驗中學，江蘇蘇州，215000)

以數軸為載體的動點問題，對于剛升入初中的學生來說，是重難點問題.由于涉及復雜的行程問題和方程問題，綜合性較強，因此對學生綜合分析問題和解決問題的要求比較高.折線數軸上的動點問題又是對數軸上的動點問題的進一步加深和拓展，動點從勻速運動變成了變速運動，在各個路段的計算變得復雜，難度進一步加大.為了讓學生們熟練掌握折線數軸上的動點問題，深入了解動點在折線數軸上的運動規律和動點之間運動變化的全過程以及尋求它們的等量關系，下面以一道折線數軸上的動點問題及其變式為例剖析這類問題的解法和技巧.

1 典型案例呈現

例題如圖，將一條數軸在原點O和點B處各折一下，得到一條“折線數軸”.圖中點A表示-10，點B表示10，點C表示18，我們稱點A和點C在數軸上相距28個長度單位.動點P從點A出發，沿著“水平路線”射線OA向正方向運動，速度為2個單位/秒，“上坡路段”從O到B速度變為“水平路線”速度的一半，之后立刻恢復原速;動點Q從點C出發，以1單位/秒的速度沿著“水平路線”射線BC向負方向運動，從“下坡路段”點B運動到點O期間速度變為“水平路線”速度的2倍，之后也立刻恢復原速.設運動的時間為t秒.問：

(1) 動點P從點A運動至C點需要多少時間？

(2)P、Q兩點相遇時，求出相遇點M所對應的數是多少；

(3) 求當t為何值時，P、O兩點在數軸上相距的長度與Q、B兩點在數軸上相距的長度相等.

在解決該問題之前，我們需要明確幾個基本概念及知識點.

我們知道數軸是規定了原點、正方向、單位長度的直線.三個要素缺一不可.

折線數軸只是在其基礎上折了一下，因此同樣具備這三個要素.

不妨將其定義為折線數軸是規定了原點、正方向、單位長度的折線.

2 折線數軸相關知識

(1) 折線數軸上兩點之間的距離.用兩點所表示的數差的絕對值表示，如數軸上點A，B所表示的數是A，B，則AB=|A-B| 或|B-A|.

(2) 如圖，規定水平路線為射線OA，BC，上坡路線為向量OB，下坡路線為向量BO.同一個動點在這三個路段的運動速度的關系為v上坡

(3) 規定向右為正方向，并將向右運動的速度看作正速度，而向左為負方向，并將向左運動的速度看作負速度.

(4) 折線數軸上的動點表示法.用代數式來表示，就是起點所表示的數加上或減去動點運動的距離，向正方向為加，負方向為減，如，數軸上點A對應的數為-2，點P從點A出發，以每秒4個單位長度的速度向右運動，設運動時間是t，則點P所表示的數是-2+4t.若以每秒4個單位長度的速度向左運動，設運動的時間是t，則點P所表示的數是-2-4t.

3 折線數軸上的動點問題的解題步驟和方法

(1) 明確不動的點坐標，動點的起點坐標及其動點運動方向及速度，并表示出水平路段，上下坡路段的距離；(2) 用含有時間t的代數式表示動點的運動路程；(3) 尋求等量關系，列出方程.判斷是否需要分類討論，如果存在多種情況，逐一繪制圖形，尋求各自的等量關系，列出方程求解；(4) 根據實際情況來檢驗方程的解.

下面結合折線數軸的知識、解題步驟和方法來解決例題.

解析：(1) 動點P從點A運動至C分成三段，分別為AO、OB、BC，

AO段時間為5 s，OB段時間為10 s，BC段時間為4 s，

∴動點P從點A運動至C點需要時間為5+10+4=19(秒).

(2) 易知P、Q兩點在OB上相遇.

方法一：根據相遇時所走的總路程等于全程列等量關系式.

方法二：根據相遇時所走的時間相等列等量關系式.

方法三：根據點P、點Q在OB段運動的總路程等于10列等量關系式.

(3) 已知|PO|=|QB|，其中O、B為定點，P、Q為動點，

方法一：以點P、點Q在各路段運動的拐點時間來分類.

① 當O

10-2t=8-t，解得t=2；

② 當5≤t<8，點P在OB上，點Q在CB上運動時，

③ 當8≤t<13，P在OB上，Q在OB上運動時，

t-5=2(t-8)，解得t=11；

④ 當13≤t<15時，P在OB上，Q在OA上運動時，

t-5=t-8-5+10，t無解；

⑤ 當15≤t<19時，P在BC上，Q在OA上運動時，

2(t-5-10)+10=t-8-5+10，解得t=17；

⑥ 當t>19，P在C的右側，Q在OA或A的左側上運動時，

2(t-5-10)+10=t-8-5+10，解得t=17；不符合要求，

方法二：分析點P、點Q在各個路段的運動路程可以分四種情況討論.

① 當點P在AO，點Q在BC上運動時，依題意得：

10-2t=8-t，解得t=2；

② 當P在OB上，Q在BC上運動時，

③ 當點P、Q兩點都在OB上運動時，

t-5=2(t-8)，解得t=11；

④ 當P在BC上，Q在OA上運動時，

t-8-5+10=2(t-5-10)+10，解得t=17.

點評：對于折線數軸上的動點問題，首先要弄清楚各個點的整個運動過程，由于變速運動各段速度不同，在計算路程時必須分路段討論.本題第二問是相遇問題，根據相遇時兩點的運動時間相等或是兩點運動的路程和等于總路程，或是折線數軸上的部分路段的關系找到了三種等量關系來列方程.第三問的難點在于如何分類討論，同樣以兩種方法來解決，第一種是以時間為節點，根據某段時間點P、點Q在AO、OB、BC的位置求出相應的距離，這樣的分類討論不重不漏，條理清晰；第二種方法是經過初步的分析，得出可能出現的點P、點Q的位置求出相應的距離，解答過程更簡潔.

進一步變式思考：對于一道動點問題的探究，我們不能只停留在多種方法的解決上，還要對題目所給條件和結論進行深度思考.對題目進行變式再解決，形成折線數軸上動點問題的解決通法.

如果把P、Q兩點分別到兩定點的距離相等變為到同一定點的距離相同，把相遇問題變成追及問題，我們可以得到變式1.

變式1如圖，數軸上，點A表示的數為-7，點B表示的數為-1，點C表示的數為9，點D表示的數為13，在點B和點C處各折一下，得到條“折線數軸”，我們稱點A和點D在數上相距2O個長度單位，動點P從點A出發，沿著“折線數軸”的正方向運動，同時，動點Q從點D出發，沿著“折線數軸”的負方向運動，它們在“水平路線”射線BA和射線CD上的運動速度相同均為2個單位/秒，“上坡路段”從B到C速度變為“水平路線”速度的一半，“下坡路段”從C到B速度變為“水平路線”速度的2倍.設運動的時間為t秒，問：

(1) 動點P從點A運動至D點需要時間為秒；

(2)P、Q兩點到原點O的距離相同時，求出動點P在數軸上所對應的數；

(3) 當Q點到達終點A后，立即調頭加速去追P，“水平路線”和“上坡路段”的速度均提高了1個單位/秒，當點Q追上點P時，直接寫出它們在數軸上對應的數.

解析：(1) 動點P從點A運動到點D所需時間為15秒.

(2) 已知|PO|=|QO|，

方法一：以點P、點Q在各路段運動的拐點時間來分類.

① 當點P在AB，點Q運動到點D前，0≤t<2時，7-2t=13-2t，t無解

② 當點P在AB，點Q運動到點O前，2≤t<3時，7-2t=13-4-4(t-2)，t=5，不符合.

④ 當點P在OC，點Q在BA或A左側時，4.5≤t<13時，6+(t-3)-7=4+10+2(t-4.5)-13，t=4不符合.

⑤ 當點P在CD或D右側，點Q在BA或A左側時，t>13時，6+10+2(t-13)=4+10+2(t-4.5)-13，t無解.

方法二：仍可以按照分析點P、點Q在各段的路程來計算.由于篇幅所限省略.

(3) 點P、點Q先是相向而行，點Q到達點A返回過程是同向而行，成了追及問題.當Q追上P時，|PO|=|BO|.點Q到達點A所需時間為7.5秒，此時點P運動的路程為10.5，到達的點是3.5，點P到達點C所需時間為13秒，此時點Q到達的點是6，故點Q在CD上追上點P，此時P運動的路程為6+10+(t-3-10)×2=2t-10，故PO=2t-17，Q運動的路程為20+6+10+(t-7.5-2-5)×3=3t-7.5，QO=3t-7.5-20-7=3t-34.5，2t-17=3t-34.5，解得t=17.5，

此時點P表示的數為18，點Q表示的數為18.

如果讓定點的值是未知數，P、Q兩動點的距離是定值，我們可以得到變式2.

變式2如圖，將一條數軸在原點O和點B處各折一下，得到一條“折線數軸”，圖中點A表示-20，點B表示m，點C表示40，我們稱點A和點C在數軸上相距60個長度單位，用式子表示為AC=60，動點P從點A出發，以2單位/秒的速度沿著“折線數軸”的正方向運動，從點O運動到點B期間速度變為原來的一半，運動到B點停止；同時，動點Q從點C出發，以1單位/秒的速度沿著數軸的負方向運動，從點B運動到點O期間速度變為原來的兩倍，之后立刻恢復原速，當P停止運動后，Q也隨之停止運動，設運動的時間為秒，問：

(1)BC=(用含m的式子表示);

(2) 若P、Q兩點在數軸上點O至點B之間的D點相遇，D點表示10，求m;

(3) 在(2)的條件下，當PQ=40時，求t.

解析：(略)

數軸是數學解題的有力工具，而數軸上點的運動問題體現了數形結合的有機結合.對于折線數軸上的動點問題，我們要化動為靜，找到動點滿足條件的靜止位置.一般有兩種解題思路.一種是根據“形”的關系來分析尋找等量關系.如例1、變式1中的第二、三兩問都是根據點之間的行程路程，利用行程的路程差的數量關系列方程求解；另一種是從“數”的方面尋找等量關系，如變式2的第三問就是利用各動點在數軸上內在關系進行列方程求解.

4 結束語

在教學中，為了方便學生理解和掌握，教師首先要采用拐點時間來分類，借助數軸將動點在各個路段的時間算出來，再以時間來分類，確定點的坐標或是運動路程.在學生熟練掌握這一方法后，再嘗試直接分析動點在數軸的可能位置來分類.分析的過程中，畫出對應的圖形，根據所畫的圖形，結合題目所給條件分析，利用方程求解得到的結果.這正是“數形合一”的精彩體現.

總之，關于折線數軸上的問題，雖然題目形式多樣，但是萬變不離其宗，教師要引導學生回歸基礎，把握好“數軸”這一本質，總結解題方法，注重通性通法，形成解題能力.