基于深度學習的GeoGebra軟件與立體幾何的教學融合研究

莫宗迪

(中山市龍山中學，廣東中山，528471)

在立體幾何教學中，視覺思維占了主導地位.對學生的空間思維想象能力要求很高，而學生在學習立體幾何的過程中常遇到生活體驗有限、空間識別力低、空間形象感知力不足等問題，是高中立體幾何教學的老大難問題.筆者通過實踐探索得知：教師通過多方位、多維度的探究兼并動手操作，讓學生得到多種感官刺激強化，可以有效地提高學生的空間觀念，重構正確的空間知識結構，促進學生深度學習.本文以深度學習理論為指導，以“正方體截面情況”為例，探索GeoGebra平臺與立體幾何融合教學的方法和手段，嘗試提供一種立體幾何教學的參考.

1 問題的提出

在平時的練習中，我們經常遇到下面這樣的題目：

圖1

(1) 在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，如圖：P，Q為所在棱的中點，求過三點D1，Q，P的截面面積？

(2) 正方體ABCD-A1B1C1D1棱長為1，P為BC中點，Q為CC1上的動點，過點A，P，Q的平面截正方體所得的截面為S，則下面命題中正確的是

( )

對于這類有關正方體截面的立體幾何題，學生的正確率很低，原因在于學生空間思維尚未形成，直觀想象不夠，空間形象感知力不足.甚至有相當一部分學生直接將過三點的三角形當做截面.一部分學生能通過四點共面的方法找到平面與正方體的截面，但截面情況變化時，仍然受阻.

2 問題分析

初中的平面幾何思維到高中的空間思維對學生的認知是一個重大的跨越.學生還沒脫離根深蒂固的初中平面幾何思維方式，特別是高一的學生，缺乏空間想象力，繼而造成空間思維受阻.筆者認為借助實物模型和信息技術可以幫助學生突破空間思維壁障，實現空間問題可視化和直觀化.教師可以通過教具和GeoGebra軟件的3D功能等工具，引導學生深度學習，實現從抽象到直觀的轉化，使學生能夠輕松地在直觀、生動的學習中發展空間思維，形成空間意識和觀念.筆者翻閱教材，發現：人教A版的教材中并沒有專門針對截面情況的課時.只對四點共面的證明作了要求.學生的空間感知力的提升需要教師引導學生親身通過實驗操作或空間思維“可視化”的展示，在潛移默化中培養了學生的空間想象力和觀察力.

3 解決問題

深度學習理論認為：學生的深度學習是對知識的深度理解、由低階思維轉化為高階思維、實現知識的遷移和實踐創新的學習過程[2].

3.1 讓學生經歷由低階思維轉化成高階思維

筆者借助實物模型讓學生建立二維與三維的聯系，感知空間實物的形態與變化.

準備材料：正方體模型框架、繩子和雙面膠、電池、泡沫正方體模型、電熱絲和自制的切割裝置.

問題1：如果我們拿一個平面去截一個正方體那么會得到什么形狀的截面圖形呢？

動手操作1：用電熱絲切割正方體泡沫模型，如下圖2和圖3.

圖2

圖3

設計意圖：通過學生自己動手操作，了解截面形成過程.使學生對正方體的截面情況有了初步的圖象表征，在大腦中有了大致的空間觀念.

動手操作2:用繩子捆綁正方體模型，觀察繩子形成的截面情況？

設計意圖：通過紅繩捆綁正方體模型體驗截面的變化，總結截面出現的情況，以及出現的弊端.然由捆綁繩子形成截面很容易出現偏差，因為繩子捆綁的可能不是一個面，可能仍是空間圖形.但學生在親身經歷截面形成的過程中初步構建了空間觀念.

學生通過自己的動手操作，調動了各種感官，多方位、多角度觀察、認知事物，進而獲得更清晰、牢固的空間觀念.通過實驗操作活動，可以幫助學生準確想象出幾何圖形形成現實空間.通過實例進化思維，把空間中的實體高度抽象在大腦中，并在大腦中進行分析推理.這種方法提高了學生動手能力，提高了學生主動探索的意識，是培養空間想象力的一個有效途徑.

3.2 對空間知識的深度理解實現知識遷移

筆者借助信息技術GeoGebra平臺，制作正方體截面的動態課件.通過對滑動條的平移操作實現對截面的平移、翻轉，直接將所得的截面可視化，與動手操作得到的空間觀念形成對比，糾正學生的錯誤認知，重新建構學生的空間知識結構.

問題2：截面如果是三角形，有幾種情況？

學生通過切割模型和繩子捆綁討論研究，老師協作引導探究.用GeoGebra軟件進行信息技術的準確截面分析(如圖4).

圖4

設計意圖：教具操作有很多情況是不能展示的，借助信息技術GeoGebra軟件通過3D的空間圖形形式，更直觀地展示截面各種出現的情況.

問題3：如果截面是四邊形，可以截出什么形狀的四邊形？

問題4：能截出五邊形，六邊形嗎？

問題5：能截出七邊形嗎？

問題6：截面多邊形的邊數最多有幾條？

設計意圖：通過學生的動手操作和空間想象，找學生代表發言總結；利用軟件平臺直接反饋糾正，形成正確的數學認識、數學知識.

GeoGebra軟件的3D繪圖功能，直觀、生動、形象的教學誘發學生展開豐富的聯想，鼓勵學生大膽猜想，讓學生真實地經歷數學立體幾何問題的產生和解決全過程，既為思維的展開創造了良好條件，也為空間觀念的順利形成打開了大門.

圖5

借助信息技術GeoGebra軟件、一體機多媒體平臺，很直觀地演示各種情況下正方體分截面情況，使得學生體驗到由抽象到具體形象，便于理解，認清本質.特別是用GeoGebra動態演示，使學生突破了認知難點：過棱上三點的平面與正方體表面的交線圍成的截面情況.學生往往認為過三點的平面是三角形.其實面是無限的，通過操作GeoGebra軟件的平移、翻轉等完成截面的形成，糾正學生的錯誤認知，重新建構學生的空間知識結構.筆者通過總結提煉得出Geogebra軟件與立體幾何融合教學探究流程，如下圖6.

圖6 GeoGebra軟件與立體幾何融合教學探究流程

4 應用推廣

GeoGebra對立體幾何教學的一個重大功能是：幫助學生直觀化、可視化地突破認知難點.順利地將試卷上呆板的圖形更立體、生動地呈現給學生看，構建新的空間知識，最終培養學生問題解決、知識遷移和創新的能力.

圖7

例1已知正方體的棱長為4，如圖，每條棱所在直線與平面α所成的角都相等，則α截此正方體所得截面面積的最大值為多少？

學生往往比較困惑為何在各棱中點時，截面取得最大值？筆者借助GGB軟件的動態展示以及截面面積的動態變化分析，大大加強了學生的直觀感受.教師再進行推理證明計算.學生受到的感官刺激更大，理解更透徹而且能激起學生探索的積極性.

5 結論與展望

現代心理學研究表明，表象的獲得在于對實物的感知，特別是視覺感知.感知的多樣性直接影響著獲得表象的多樣性.筆者認為在立體幾何的教學中，教師應對學生進行多方位和多維度的感官刺激，建構學生的空間感知力，使學生對知識能深度理解，進而達到知識遷移和實踐創造能力.鼓勵教師在課堂上采用學生動手操作、教具模型操作和GeoGebra平臺動態演示等多種手段結合.當然立體幾何模型是有限的，但是強大功能的GeoGebra軟件平臺與立體幾何的融合就很有必要了，它能呈現以往教學中難以呈現的課程內容，能夠調動學生各種感官，多方位、多角度觀察、認知事物，獲得更清晰、牢固的空間觀念，實現直觀想象素養！