函數與方程思想在線性規劃中的應用研究

房鵬飛

(安徽省阜南實驗中學，安徽阜陽，23600)

1 函數與方程在數學教學中的滲透

關于函數與方程思想方法在數學教學中的滲透，教師不但要考慮學生樂于接受的滲透方式，還需要將其與各階段的教學目標、教學難度結合起來，設計好函數與方程在數學教學中的滲透深度.為了幫助學生構建協同的函數與方程思想，教師應該注重該思想在教學工作中螺旋上升式、循環漸進式的滲透與應用.

以必修1中解方程的教學為例，在求解方程根時，可借助函數圖象與軸相交情況，以此將解方程轉變為函數零點求解的問題；以必修5數列教學為例，在求解等差數列問題時，可借助其與特殊函數之間的關系來講等差數列求解轉變為函數求解的問題.再以線性規劃問題的教學為例，可將其轉變為一定可行域內目標函數求解的問題.在求解更多方程式問題時，教師可利用函數與方程思想方法，將這些方程式轉變為函數問題，繼而加強方程與函數之間的聯系，讓學生找到不同知識點的關聯點，以此在函數的可行域內去求解函數.

2 線性規劃實際教學案例分析

2.1 線性規劃中教學難點分析

在線性規劃教學中，對于大多數學生而言，求解最優解是一個重難點問題.一些學生不懂最優解在幾何上的意義，另一些學生則不能求解最優解.對此，在教學過程中，教師可借助GeoGebra這一多媒體數學教學軟件，以動態的方式為學生呈現線性函數，讓學生利用數形結合思想，了解線性規劃中最優解的幾何意義，并提升其分析問題與解決問題的水平.

2.2 學情分析

通過一段時間的學習之后，學生對不等式求解、不等關系等問題已經有所了解，這為后續的建模教學搭建了一定的基礎.圍繞“利用不等式關系解決線性規劃問題”的教學內容，教師可先引導學生對已學的不等式問題進行回憶，再讓學生探究不等式在線性規劃中的應用價值，并在不等式與線性規劃問題之間增加建模思維，讓學生借助建模的思想來解決線性規劃問題.

2.3 例題解析

銀行希望通過為客戶提供個人、企業信用貸款來獲得收益，而一家銀行計劃投入的個人、企業信用貸款總額為2 500萬元，希望借此實現的收益為3萬元.如果該銀行通過企業貸款的發放來獲得收益的比例為12%，通過個人貸款的發放來獲得收益的比例為10%.對此，銀行怎樣分配其資金才能實現該盈利計劃？

教師通過情境教學引出學生設立方程組，繼而應用類比法引導學生學會解法，如以函數x-y=6作為邊界劃分出的兩個區域，將區域賦予其不等式的意義.

圖1 劃分區域邊界

對于此類問題的求解，教師可先應用GeoGebra這一多媒體數學教學軟件，并遵循“畫、移、求、答”的基本解題步驟，為學生指出不等式代表的區域、交集可行域，繼而為學生講解不等式在函數中的幾何意義，通過滑動畫面中的滑動托條來尋找線性規劃的最優解，以此解決此類問題.學生在教師的引導下，也可自行識別出函數的可行域，并拖動托條來確立線性函數最優解.

2.4 通過多媒體工具歸納鞏固強化運用

圖2 目標函數動畫模型

3 函數與方程思想在教學中的應用總結

3.1 通過認真審題了解問題隱含條件

在運用函數與方程思想解決方程問題時，教師應該讓學生認真審題，通過審題來把握題目中的隱形條件，從而圍繞題目給出的已知條件來搭建解題思路與方法.

例如：已知函數f(x)=xlog2x，g(x)=ax2-x(a∈R)，求f(x)≤g(x)恒成立的實數取值范圍.此題的關鍵在于將函數之間的關系轉化為圖象之間的關系，要想f(x)0，因為(如圖3)對數函數圖象x取值范圍始終大于0，如果學生沒有意識到隱含條件，就無法判斷a的取值，因此在解題時，要充分挖掘隱含條件并將其轉化利用.

圖3 對數函數圖象

3.2 通過研究解題思路設立函數模型

認真解讀題目后，學生進一步明晰了題目的條件與所要求解的問題，繼而需要進一步尋找解題思路.這一過程中，教師可引導學生小組討論，通過討論的方式來探究題目中已知量和所要求解未知量之間的聯系，基于一定的函數關系、函數原理，借助函數與方程思想為問題設立函數模型，并找到解題思路.如不等式解集條件借助零點存在性定理轉化為方程在固定區間內求x1，x2根的問題，充分借助函數模型解決問題.

3.3 利用多重思想實現解決問題

通過審題、解題思路的尋找，繼而需要學生結合其他的數學思想方法如建模、分類討論等將題目中已知條件與未知條件聯合起來，應用方程不等式等相關知識原理，借助函數與方程的思想，將方程式求解的問題轉化為可行域內函數求解的問題，由此實現解題計劃.

通過對題目假設條件的檢驗、解題過程的歸納總結，以此強化與提升學生對此類問題的求解能力，并讓學生更為熟練地應用函數與方程思想方法.

3.4 教學總結

對于函數與方程思想方法的總結，教師不但要結合具體的知識問題來講解函數與方程思想方法應用范圍、重要性，而且應針對類似的題型，提煉與總結函數與方程思想方法的內在規律.在課堂總結、復習階段，教師可基于橫向、縱向兩個角度來強調與重申函數與方程思想方法的應用，為了深化該方法在學生實際解題中的應用效果，教師需要本著一定的教學目標，結合具體的方程、函數知識來揭示函數與方程思想的本質.同時，在應用函數與方程思想方法解題時，教師需要結合該思想分散性、層次性的基本特征，堅持螺旋上升式、循環漸進式的應用原則.在一段教學時間之后，尤其是在每個章節結束之后，教師應重新整理各個章節分散的知識點，并認真為學生梳理函數與方程思想方法的應用情形，讓學生對函數與方程思想方法的應用規律、情形有良好的認知，加深其對函數與方程思想方法的印象.