找準思維切入點提升學生多角度解題能力
——以一道中考題為例

肖新娥

(福建省南平市順昌縣第一中學，福建南平，353299)

在生活中，我們常常會將一種習慣性思維、固化性思維的人，稱為“死腦筋”.其實，這些人主要是沉浸在固定的思維中，思維停留在原地，被自己設置的思維框架所僵化，不能展開想象、聯想等，沒有跳躍性思維和發散性思維，從而鉆在牛角尖里不能自拔，由此可見，培養一個人的發散性思維多么重要.所以在數學學習中，我們要讓學生學會數學的思考、進行數學的思維，這種能力可以使學生終身受益.發散思維又叫做求異思維、分散思維、輻射思維等.這種思維是對已知信息進行多方向、多角度的思考,不局限于既定的理解,從而提出新問題,探索新知識或者發現多種解答和結果的思維方式.其具有三大特征：變通性(思維靈活、隨機應變)、流暢性(思維敏捷、反應迅速)和獨特性(對問題能提出超乎尋常的、獨特的、新穎的見解).

美國的心理學家吉爾福特認為：發散思維“是從給定的信息中產生信息，其著重點是從同一的來源中產生各種各樣的為數眾多的輸出，可能會發出轉換作用”，事實上發散思維就是將已知的信息從不同層面進行分析，從多個角度對問題加以比較探索，對知識的脈絡縱橫聯系，順向逆向比較，達到“信手拈來，呼之即出”的程度.這樣的思維方式，能讓學生對所學知識達到深度理解，對數學思想和數學方法進行建構感悟，增強了數學思維的開闊深刻和靈活創新，從而培養學生的思維品質，讓大腦遇到問題能夠靈活思考，從而事半而功倍.

那么如何培養學生養成發散性思維的習慣呢？在平時的學習過程中要學會多角度地思考問題，將所遇未知的難題轉化為已知的，復雜的難題轉化為簡單的，抽象的難題轉化為直觀的，一般向特殊轉化，正面向反面轉化等，通過更多不同思維方式之間的相互轉化，拓寬思維空間的廣度與深度，從而尋求到解決問題的最優途徑.發散性思維的習慣培養中，一題多解是通向這個終極目的地的一種方法.一題多解，可以使得學生從不同的角度和不同的方位，觀察分析題目中的數量關系，根據題目的實際條件，首先確定思維的起點，繼而沿著不同的思考方向尋蹤覓跡，就能找到不同的解題方法.下面我們以一道中考題為例來展開探討.

每年度的中考題中，試卷的最后一題一般稱之為壓軸題，這類題分數占比大，難度也比較大，主要是考驗學生的綜合應用知識和解決問題的能力，也是學生得分高低的關鍵之題.而壓軸題中又尤以最后一問最難，但其難度也不是難不可及、高不可攀，我們要克服恐懼心理，層層剝繭絲絲入扣，因為壓軸題都是由一些小題模塊組合起來的，從每個小題模塊條件入手，聯系相關所學知識點，是可以找到解題思路的.

解題必須根據題目所給的信息，充分運用條件，明確目標，才能找到解題的方向.題目的條件和目標之間存在著一系列必然聯系，這些聯系是由條件通往目標的橋梁，用這些聯系解題需根據聯系所遵循的數學原理決定.有些題目的匹配關系有多種，這也是其可以一題多解的原因.解題時應在理解題意的基礎上，找準條件與目標所遵循的數學原理，確定解題方案，尋找有效解題方法.

例(14分)(2014·南通)如圖1，拋物線y=-x2+2x+3與x軸相交于A、B兩點，與y軸交于C，頂點為D，拋物線的對稱軸DF與BC相交于點E，與x軸相交于點F．

圖1

(1) 求線段DE的長；

(2) 設過E的直線與拋物線相交于M(x1，y1)，N(x2，y2)，試判斷當|x1-x2|的值最小時，直線MN與x軸的位置關系，并說明理由；

(3) 設P為x軸上的一點，∠DAO+∠DPO=∠α，當tan∠α=4時，求點P的坐標．

分析：本題(1)(2)兩問考查了待定系數法求解析式，二次函數的交點、頂點坐標、對稱軸；一元二次方程根與系數的關系.

(1) 根據拋物線的解析式即可求得與坐標軸的坐標及頂點坐標，進而求得直線BC的解析式，把對稱軸代入直線BC的解析式即可求得；

解：(1) 由拋物線y=-x2+2x+3可知，C(0，3)，

令y=0，則-x2+2x+3=0，解得：x1=-1，x2=3，

∴A(-1,0),B(3, 0)，

∴頂點x=1，y=4，即D(1，4)，

∴DF=4.

設直線BC的解析式為y=kx+b，代入B(3，0)，C(0，3)得：

∴解析式為：y=-x+3，

當x=1時，y=-1+3=2，

∴E(1, 2),

∴EF=2,

∴DE=DF-EF=4-2=2.

(2) 設直線MN的解析式為y=kx+b，

∵E(1,2)，

∴2=k+b,

∴k=2-b,

∴直線MN的解析式y=(2-b)x+b，

整理得：x2-bx+b-3=0，

∴x1+x2=b，x1x2=b-3，

∵b=2時，y=(2-b)x+b=2，

∴直線MN∥x軸.

當遇到壓軸題中的問題時，我們首先要想到的是，解決幾何問題時有一個“基本套路”：首先要認真分析條件，而分析條件就是將條件與相關“基本圖形”結合起來，利用“基本圖形”的性質，獲得相應的結論.有時圖形中不一定有與條件匹配的“基本圖形”，那么就要去構造能與之取得聯系的圖形，方能找到解決問題的鑰匙.

(3) 本題的切入點是添加輔助線，目的是構造相似三角形，解題策略是證三角形相似，通過相似比求線段長度.由最初的角的關系、正切值的關系到最后的求線段長度，可謂是質的飛躍，打開了解題思路，突破認識上的封閉.

解法一：

【信息讀取】

∠DAO+∠DPO即∠DAP+∠DPO,考慮到△ADP中，三角形一個外角等于不相鄰的兩內角和，∠DAP+∠DPO=∠HDP=∠α, tan∠α= tan∠HDP=4.

【問題解決一】

∵∠AHP=∠AFD=90°，∠HAP=∠FAD，

Rt△AHP中，由勾股定理得AP=20,OP=19,

則點P坐標為(19，0).

圖2

解法二：

【信息讀取】從正切值4入手尋求線索.

【問題解決二】

如圖3，∵D(1，4)，

圖3

∴tan∠DOF=4，

又∵tan∠α=4，

∴∠DOF=∠α，

∵∠DOF=∠DAO+∠ADO，

∵∠DAO+∠DPO=∠α，

∴∠DPO=∠ADO，

∴△ADP∽△AOD，

∴AD2=AO·AP，

Rt△AFD中AF=2，DF=4，由勾股定理得AD2=AF2+DF2=20，

又∵AO=1，

∴AP=20，即OP=19，

∴P(19，0)．

解法三：

【信息讀取】

∠DAO+∠DPO=∠α， tan∠α=4，由題意可求得tan∠DAO=2，又tan∠α=4，那tan∠DPO等于多少呢？能否求tan∠DPO？如果tan∠DPO的值能求出，問題就變得簡單多了.如果從這個問題考慮就要用到“兩角和的正切公式”.

【問題解決三】

兩角和的正切公式是高中階段所學內容，這里介紹一下公式，∠A的正切記為tanA,∠B的正切記為 tanB,(∠A+∠B)的正切記為tan(A+B)，則它們之間有以下關系：

圖4

中學生有時候往往憑直覺經驗進行判斷，他們會被事物的表象所迷惑，造成片面的、膚淺的感悟，不能從多方面分析問題，抓住事物的本質和解決問題的關鍵.中學生的年齡和心理特征使他們不能有目的、有條理地去思維，但同時他們的思維也沒有桎梏，可以天馬行空地想到老師所想不到的，發現老師所未能發現的.可見，中學生的數學思維雖具有不成熟性，但同時又具有可訓練性，因此老師教學時要因勢利導，才能讓學生提高自己的思維層次，不固化思想，讓思維得到發散與創新.

由于思考的角度和方向不同，讓學生在解決問題的同時，又加強了對知識網點之間的多點銜接，多項數學基礎知識在銜接中延伸擴充，多條數學規律在理解記憶中加深，多項解題技能在應用中生出技巧，久而久之的通過一段時間的他人培訓，就能形成自我的訓練和熟練.掌握一題多解的方法，還能從各種不同類型的題目中尋求出簡單快捷的解法，這種思維方式和思考模型，能夠有效地拓寬學生的解題思路，提高學生面對陌生和未知問題的分析能力.這種多角度思維切入點的抓取，需要我們老師在平時的教學過程中，通過聯想、設想、類比、擴展，變化題目，讓題目變身變形，從而得到一系列新的題目，甚至能得到具有一般代表性的結論，把學生從已知的此岸過渡到未知的彼岸.在如今“雙減”的形勢下，找準思維切入點，讓學生多角度解題，能使得學生跳出題海，這不僅減輕了學生的課業負擔，也減輕了老師的出題批改等一系列負擔.