理清問題本質 探究多種解法
——2022年武漢市中考數學第9題的解法探究

高武月

(甘肅省慶陽市環縣第五中學，甘肅慶陽，745700)

1 試題呈現

(2022年武漢市中考數學第9題)如圖1，在四邊形材料ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AD=9 cm，AB=20 cm，BC=24 cm.現用此材料截出一個面積最大的圓形模板，則此圓的半徑是

圖1

( )

2 試題分析

圖2

3 解法探究

基于以上分析，本題有多種解法.

思路1利用面積法求解

根據圓的切線的性質，圓的切線垂直于經過切點的半徑.因此，本題可以將經過切點的半徑作為某些三角形的高線，通過利用面積法列方程求解.

解法1如圖3，延長BA，交CD的延長線于點N.⊙I是△BCN的內切圓，切點分別為E，F，H.連接IE，IF，IH，IN，IB，IC.

圖3

設⊙I的半徑為r，則IE=IF=IH=r.

由S△NBC=S△IBN+S△IBC+S△ICN，得

故選：B.

點評：這種解法將圓與直角梯形ABCD某些邊相切問題轉化為三角形的內切圓問題，這是學生熟悉的幾何模型.通過圖形轉化，建立起了所求量與已知量之間的邏輯關系，為解決問題創造了有利條件.由此可以看出，面積法是解決三角形內切圓問題的通性通法.

解法2如圖4，過點D作DG⊥BC，垂足為G.⊙I與直角梯形ABCD的邊AB，BC，CD分別相切于點E，F，H.連接IA，IE，IB，IF，IC，IH，ID.延長FI，交AD于點N.

圖4

易知DG=AB=20，CG=BC-AD=15，由勾股定理，易得CD=25.

設⊙I的半徑為r，則IN=20-r，IE=IF=IH=r.

由S梯形ABCD=S△IAB+S△IBC+S△ICD+S△IAD，得

故選：B.

點評：這種解法將直角梯形ABCD分解為四個三角形，然后利用三角形與梯形的面積關系列方程求解.利用這種方法求解的關鍵是用含有r的代數式表示△IAD的邊AD上的高，顯然IN=NF-IF=DG-r，故需求得直角梯形ABCD的高DG，既而得到IN=20-r.這種解法主要用到了勾股定理和三角形的面積公式，通俗易懂，是一種較為簡潔的解法.

思路2構造相似三角形，利用相似三角形的性質和切線的性質求解

解法3如圖5，⊙I與直角梯形ABCD的邊AB，BC，CD分別相切，與AB相切于點E，與BC相切于點F，連接IE，IF，IC.過點D作DG⊥BC，垂足為G.過點I作HI∥CD，交BC于點H.

圖5

易知DG=AB=20，CG=BC-AD=15，由勾股定理，易得CD=25.

設⊙I的半徑為r，則IE=IF=BF=r.

由圓的切線的性質，易知∠DCI=∠FCI.

由IH∥CD，得∠DCI=∠CIH，所以∠FCI=∠CIH.

故選：B.

點評：這種解法構思巧妙，求解過程僅用到了相似三角形的判定與性質、圓的切線的性質、平行線的性質、等腰三角形的性質等知識，所列方程為一元一次方程，求解過程簡潔明了，通俗易懂，是一種非常簡潔的求解方法.

解法4如圖6，⊙I與直角梯形ABCD的邊AB，BC，CD分別相切，與AB相切于點E，與BC相切于點F，連接IE，IF，IC.過點D作DG⊥BC，垂足為G.過點D作DH∥IC，交BC的延長線于點H.

圖6

易知DG=AB=20，CG=BC-AD=15，由勾股定理，易得CD=25.

由圓的切線的性質，易知∠DCI=∠FCI.

由DH∥IC，得∠DCI=∠CDH，∠FCI=∠H，所以∠CDH=∠H，所以CH=CD=25，所以GH=40.

設⊙I的半徑為r，則IE=IF=BF=r.

又因為FC=BC-BF=24-r，所以2r=24-r，解得r=8.

故選：B.

點評：這種解法與解法3類似，也是利用相似三角形的判定與性質、圓的切線的性質、平行線的性質、等腰三角形的性質等知識解決問題，其關鍵是利用兩種不同方法用含有r的代數式表示線段FC的長，然后列方程求解，這本質上是一種“算兩次”原理.

思路3構造直角三角形，利用勾股定理列方程求解

解法5如圖7，⊙I與直角梯形ABCD的邊AB，BC，CD分別相切于點E，F，H.連接IE，IF，IH.過點D作DG⊥BC，垂足為G.延長EI，交CD于點M，過點M作MN⊥BC，垂足為N.

圖7

設⊙I的半徑為r，則IE=IF=BF=IH=MN=r.

由圓的切線的性質，得HC=FC=24-r.

故選：B.

點評：利用這種方法解決問題的關鍵是構造合適的直角三角形，用含有r的代數式表示直角三角形的三條邊長，然后利用勾股定理列方程求解.這種解法主要用到了相似三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質、圓的切線的性質、勾股定理等知識，這是《義務教育數學課程標準(2011年版)》規定的最基礎最核心的知識，是學生必須掌握的內容.由此可以看出，勾股定理是解決與直角三角形有關的線段長度問題的基本工具.

解法6如圖8，⊙I與直角梯形ABCD的邊AB，BC，CD分別相切于點E，F，H.過點D作DG⊥BC，垂足為G.在⊙I上取點P，使過點P的切線QM∥BC，QM交AB于點Q，交CD于點M，過M作MN⊥BC，垂足為N.

圖8

易知DG=AB=20，CG=BC-AD=15，由勾股定理，易得CD=25.

設⊙I的半徑為r，則BE=BF=PQ=r，CG=CH=24-r，BQ=MN=2r，AQ=20-2r.

故選：B.

點評：這種解法主要用到了平行線分線段成比例定理、圓的切線的性質、勾股定理等知識，與其他解法相比，這種解法運算量較大，求解過程較為繁瑣.

思路4利用解析法求解

解法7如圖9，以直線BC為x軸，以直線AB為y軸，建立平面直角坐標系.⊙I與直角梯形ABCD的邊AB，BC，CD分別相切于點E，F，H.連接IE，IF，IH，ID.過點D作DG⊥BC，垂足為G.

圖9

易知DG=AB=20，CG=BC-AD=15，由勾股定理，易得CD=25.

設⊙I的半徑為r，則IE=BF=IF=IH=r，CH=CF=24-r，DH=1+r.

易知I(r，r)，D(9，20).

在Rt△DHI中，由勾股定理，得DH2+IH2=ID2，即(1+r)2+r2=(9-r)2+(20-r)2，解得r=8.

故選：B.

點評：利用解析法求解本題的關鍵是用含有r的代數式表示△DHI的三條邊長.根據切線的性質易得IH=r，DH=1+r.求線段ID的長可利用兩點間的距離公式，如果學生不熟悉兩點間的距離公式，可通過構造直角三角形，利用勾股定理求解.由此可以看出，解析法也是解決與線段長度有關幾何問題的有效工具.

4 結束語

為準確把握問題本質，方便幾何問題解決，必須實現已知量與未知量之間的邏輯關系外顯化.筆者認為，添加輔助線是實現已知量與未知量之間的邏輯關系外顯化的有效手段.在解決與線段長度有關的幾何計算問題時，可通過添加輔助線，構造直線三角形、相似三角形、全等三角形或等腰三角形，然后利用這些基本圖形的性質求解，必要時可借助一元一次方程或一元二次方程求解.通過“一題多解”，不僅可以提高學生的幾何推理能力，而且可以培養學生發散思維和創新思維.面積法和解析法是解決與線段長度有關的幾何計算問題的重要方法，有時可起到化繁為簡，事半功倍的效果.