EicC束團缺失時的束束效應研究

常銘軒，楊建成，王 磊，劉 杰，申國棟，馬 伏，李民祥,3

(1.中國科學院 近代物理研究所，甘肅 蘭州 730000；2. 中國科學院大學，北京 100049； 3.蘭州大學 核科學與技術學院，甘肅 蘭州 730000)

高亮度的極化電子-離子對撞機是研究核子內部結構與強相互作用的重要工具，為滿足相關科研的需求，中國科學院近代物理研究所提出在HIAF(high intensity heavy-ion accelerator facility)[1]的基礎上建造極化電子-離子對撞機(highly polarized electron-ion collider in China, EicC)[2]。EicC的質心能在15～20 GeV之間，電子-質子對撞亮度為2.0×1033cm-2·s-1。

在對撞區中，相向運動并進行對撞的兩個束團會給對向束團施加電磁相互作用力，從而改變對向束團中粒子的動量，這一過程被稱為束束相互作用。考慮到束束相互作用力是非線性的，且每次對撞后束團分布均會受束束效應影響而發生變化，因此一般使用PIC(particle in cell)[3-7]方法求解束團間的相互作用力，通過數值模擬方法計算束束效應的影響。

由于EicC中電子與質子束團數目不同，同一電子束團會與多個質子束團交替進行束束相互作用，質子束團亦如此。這種不對稱的對撞方式會引起不對稱的束束效應，從而引入在對稱對撞模式中不會出現的共振條件，且增加數值計算的復雜性。針對這種不對稱對撞的設計方案，使用自主開發的基于GPU(graphics processing unit)的自洽束束相互作用數值模擬程序AthenaGPU進行模擬計算。同時，為從理論上解釋束束相互作用引起的偶極不穩定，使用自主開發的包含縱向運動、沙漏效應、束團缺失等功能的矩陣計算程序AthenaMatrix進行線性分析[8-10]。

在目前的對撞模式中，若束流中的束團在注入過程丟失或由于在束團間設置間隔等原因出現缺失，會破壞原有的平衡態，束團或許會處于另一平衡態，也可能會出現不穩定并使亮度出現明顯損失[11]。為研究束團缺失對束流穩定性的影響，本文分別對電子束團與質子束團出現缺失的情況進行模擬，并結合線性理論對模擬結果進行分析，針對不穩定情況提出相應的解決措施。

1 束團缺失模擬與計算

EicC在電子-質子(e-p)對撞模式中的主要設計參數列于表1。為便于討論非對稱對撞模式下束流狀態的變化趨勢，本文定義兩個環中所有束團之間均進行1次對撞為完成1個超周期。對撞環中的所有束團全為均勻分布的前提下，256個電子束團與448個質子束團之間的對撞可簡化為4個電子束團與7個質子束團對撞的模式，即EicC中所有束團可分為64組互不影響的4e-7p的對撞組合，在這一對撞模式中，1個超周期內電子與質子束團分別旋轉了7圈與4圈，共進行了28次對撞。在研究束束效應時，通常使用束束參數ξ衡量相互作用的強度，束束參數由式(1)給出：

(1)

其中：+與-用來區別參與對撞的兩種束流；N為每個束團中的粒子數；r0為粒子經典半徑；β為對撞點處的β函數；γ為粒子的洛倫茲因子；σ為束團在對撞點處的橫向尺寸。

1.1 缺失電子束團

在正常模式即無束團缺失與缺失不同數目電子束團的情況中，模擬所得亮度如圖1所示，其中橘色曲線表示基于正常模式的亮度數據在僅考慮束團個數減少因素后得到的預期亮度。模擬結果顯示在這幾種情況中不會出現偶極、四極或其他形式的不穩定。在目前的設計參數中，質子束團的束束參數明顯小于電子束團的束束參數。這表明質子束團通過束束相互作用對電子束團會產生明顯的影響，但電子束團對質子束團的影響很弱。在缺失1個電子束團的情況中，電子與質子束團的質心與尺寸在模擬過程中未出現不穩定，但質子束團尺寸的增長率較其他幾種情況更高，因此亮度衰減速度更快。在不同模式中束流所處平衡態不同，所得亮度可能會低于預期亮度(缺失2個電子束團)，也可能會高于預期亮度(缺失3個電子束團)。模擬結果表明，在目前設計參數下缺失電子束團不會影響束流的相干穩定性。

表1 EicC電子-質子對撞模式主要參數Table 1 Main parameters of EicC in e-p collision mode

圖1 缺失不同數目的電子束團時亮度隨超周期數的變化關系Fig.1 Evolution of luminosity with super-period for different numbers of electron bunches missing

圖時使用矩陣方法所得相干頻率的 虛數部分與的變化Fig.2 Imaginary part of coherent frequency as a

1.2 缺失質子束團

在缺失不同數目質子束團的情況中，模擬所得亮度如圖3所示。在缺失1個、2個與3個質子束團的情況中，束流均出現了不穩定并使亮度發生了明顯損失，但束流不穩定的原因各不相同。

圖3 缺失不同數目的質子束團時亮度隨超周期數的變化Fig.3 Evolution of luminosity with super-period for different numbers of proton bunches missing

圖4 缺失1個質子束團時電子(a)與質子(b)束團 垂直方向質心與尺寸隨超周期數的變化Fig.4 Evolution of vertical centroid and size of electron (a) and proton (b) bunch with super-period for 1 proton bunch missing

缺失1個質子束團時束流在水平方向是穩定的，在垂直方向會出現偶極不穩定，電子與質子束團的質心與尺寸在垂直方向的變化如圖4所示。可看到，束團質心的振幅在超周期數為20 000時開始逐漸增大，在30 000超周期數附近束團質心的振幅達最大，之后束團雖發生了一定程度的退相干并處在一新的平衡態，但在這一狀態中質心依然保持較大振幅。對任意1個電子束團，均在以一固定頻率遇到缺失質子束團的情況，由于在電子-質子對撞模式中，束束力對電子束團有很強的聚焦效果，因此缺失質子束團會明顯影響電子束團的尺寸，最終電子束團尺寸會表現為在多個值之間交替切換的現象，如圖4a中多條曲線所示。質子束團在退相干過程中，由于同步輻射阻尼非常弱，束團尺寸逐漸增大。而電子束團在退相干時受同步輻射效應的影響尺寸不會增加。隨著質子束團的尺寸逐漸增加，質子對電子的束束力也在減弱，因此電子束團在新平衡態時的束團尺寸也會變小。在電子束團尺寸減小與質子束團尺寸增加的過程中，會短暫出現亮度增加現象，但在達到平衡態時由于質子束團尺寸與電子束團尺寸相差過大，最終獲得的亮度會出現明顯的損失。圖5為使用矩陣方法得到的結果。可看到，在缺失1個質子束團時，束流在垂直方向恰好會處在不穩定區間內，這與模擬中觀察到的不穩定現象吻合。

圖5 缺失1個質子束團時使用矩陣方法所得 相干頻率的虛數部分與的變化Fig.5 Imaginary part of coherent frequency as a function of for 1 proton bunch missing

圖6 缺失2個質子束團時電子(a)與質子(b)束團 水平方向質心與尺寸隨超周期數的變化Fig.6 Evolution of horizontal centroid and size of electron (a) and proton (b) bunch with super-period for 2 proton bunches missing

缺失2個質子束團時束流在垂直方向始終保持穩定，在水平方向會首先出現四極不穩定，隨著四極振蕩的振幅逐漸增加，束團質心也開始振蕩即發生偶極不穩定，電子與質子束團在水平方向的質心與尺寸變化如圖6所示。在四極不穩定不斷增強的過程中束團尺寸也在增加，因此束束效應引起的相干頻移呈減小趨勢，當相干頻移減小到一定值時束團就離開了四極不穩定共振區，這時就出現了四極不穩定消失的現象。由于缺失2個質子束團情況中首先出現的是四極不穩定，出現偶極不穩定時束流狀態相比于初始狀態已發生了改變，因此矩陣方法的計算結果只會顯示在目前設計參數下，沒有偶極不穩定，如圖7所示。缺失3個質子束團時，束流在垂直方向出現了偶極不穩定，與缺失1個質子束團的情況類似；同時，在水平方向出現了四極不穩定，與缺失2個質子束團的情況類似。缺失更多質子束團時，在模擬結果中未觀察到不穩定現象，但模擬所得亮度均低于期望亮度。這說明即使缺失質子束團未引起偶極或四極不穩定，仍會明顯增加亮度損失。

圖7 缺失2個質子束團時使用矩陣方法所得 相干頻率的虛數部分與的變化Fig.7 Imaginary part of coherent frequency as a function of for 2 proton bunches missing

2 束團缺失不穩定的避免

針對前述質子束團缺失引起的束流不穩定，將通過調節名義工作點使束流離開共振區來達到避免不穩定的目的。

圖8 調節電子垂直方向名義工作點后缺失 1個質子束團時使用矩陣方法所得相干頻率的 虛數部分與的變化Fig.8 Imaginary part of coherent frequency as a function of after adjusting vertical nominal tune of electron beam for 1 proton bunch missing

圖9 調節電子名義工作點后缺失不同數目 質子束團時亮度隨超周期數的變化Fig.9 Evolution of luminosity with super-period for different numbers of proton bunches missing after adjusting vertical nominal tune of electron beam

上述理論分析與模擬結果表明調節工作點可有效避免共振引起的不穩定。對于束團缺失是由注入過程中誤差引起的情況，這一調節方式只在理論上存在可行性，因為注入時束團發生丟失是偶然現象，要通過調節工作點來避免束團缺失導致的不穩定，反而會影響到多數處于穩定運動狀態的束團。若束團缺失不會引起電子云不穩定等負面效應，可不采取措施來抑制不穩定，反之，應踢除所有不穩定的電子或質子束團，或進行換束操作。對于束團缺失是由于引入束團間隔引起的情況，在EicC的64組束團組合均設置相同的間隔時調節名義工作點的方法是一有效避免出現不穩定的措施。對于只在部分束團處設置間隔的情況，最好是將該位置對應的4個電子束團或7個質子束團均置為空束團。

3 結論

本文使用自主開發的束束相互作用模擬程序AthenaGPU與線性理論計算程序AthenaMatrix，對EicC在非對稱對撞模式中可能出現的束團缺失現象進行了自洽的模擬分析與理論計算。

在電子束團存在缺失現象時，缺失任意數目的束團不會引起束流的不穩定，只會改變束流在平衡態時取得的亮度與亮度衰減速率；缺失質子束團可能會引起偶極不穩定與四極不穩定，在調節名義工作點使束流離開共振區后可避免出現偶極或四極不穩定，但不一定能抑制束團缺失對亮度的負面影響。對EicC來說，允許出現電子束團缺失的現象，對于質子束團發生缺失的情況，若該情況是由于在注入過程中的束團損失引起，可選擇踢除相關的不穩定束團或進行換束操作來避免不穩定帶來的影響，若由在束團間設置間隔引起，可選擇調節名義工作點的方法來避免不穩定。