因素空間與可拓學的互補性分析及問題處理融合模型

李興森，許立波，劉海濤，汪培莊

（1.廣東工業大學 可拓學與創新方法研究所，廣東 廣州 510006; 2.浙大寧波理工學院 計算機與數據工程學院，浙江 寧波 315100; 3.遼寧工程技術大學 智能工程與數學研究院，遼寧 阜新 123000）

隨著知識與信息數量的快速增長以及信息獲取便利性的增加，企事業組織所面臨的內外部環境更加復雜，業務問題呈現非線性、不確定性、多維化和實時交互性等特點。業務環境的高度不確定性和面臨問題的開放性，人工智能與問題處理的深入研究迫切需要有一種自覺地為信息科學與智能科學服務的定性定量相結合的智能數學模型。經典數學適于描述物質世界的數量與空間關系，智能數學必須能描述信息拓展與智能機理。整體觀強調功能與結構二者之間的統一，機制主義人工智能理論強調：智能活動的目的決定效用，效用選擇形式，形式信息與效用信息相結合產生全面的語義信息[1]。全面兼顧形式、效用、語義實現信息向知識的轉換以至智能生成機制的研究需要新的數學理論支撐。1982年，直接以認知為描述對象的三個數學理論誕生：形式概念分析(formal concept analysis)[2]、粗糙集 (rough sets)[3]和因素空間(factor space)[4]。1983年，蔡文提出可拓集合[5]，后來發展成為可拓學(Extenics)[6-7]。因素空間和可拓學所研究的主要內容都與模糊數學和問題處理有關。

在大數據與人工智能環境下，因素空間與可拓學迎來了新的發展機遇，在數據科學領域取得了一系列進展[8-11]。但兩者的交叉研究還比較缺乏，本文擬通過兩者的互補性分析，討論其在問題處理方面交叉研究的可行性，并嘗試構建因素空間與可拓學融合的問題處理模型，促使開放性問題求解從模糊性、不確定性向數量化、必然性轉化，以進一步提升問題處理的智能化水平，推動智能數學研究方向的發展。

1 因素空間與可拓學理論方法體系

1.1 因素空間的理論與方法體系

因素空間是在概率論和模糊數學基礎上發展起來的研究因素相關性的數學，是笛卡爾空間的推廣和模糊數學的深化[12-13]，模糊性是由于認知因素不充分而導致的概念劃分的不確定性。通過因素探索隨機性與模糊性這兩種不確定性之間的聯系，指明了隨機性是由于測量因素的不充分而造成事件發生的不確定性，隨機性是因果律的破缺，概率是在不充分條件與結果之間所存在著的廣義因果律。以因素顯隱等實現確定性與不確定性的相互轉化，在知識表示、模糊控制、模糊推理機的研制等方面形成了模糊落影等理論及其應用體系。

因素是因果分析的要素和問題分析的表達要素，在單因素分析基礎上，把所有與問題有關的單因素綜合起來，得到一個以多因素為軸的坐標空間，稱為因素空間。因素空間的定義如下[9]：

設F={f1,f2,···,fn}是定義在U上的因素集，即

定義1[13]設F′=P(F)=(F′,∨,∧,?,0,1)是一個布 爾 代 數 ， 記X(F)={X(f)}(f∈F′)， 稱 ψ =(U,X(F))為U上的一個因素空間，如果滿足條件：

1）X(0)={?}；

2）對任意T?F及s,t∈T，若s∧t=0(s與t稱為不可約)，則

X(∨{f|f∈T})= Πf∈TX(f)(Π是笛卡爾乘積)

其 中 ，F={f1,f2,···,fn}={f1∨f2∨···∨fn}=1稱為全因素，0稱為空因素。記號∨和∧分別叫做因素的合成和分解運算。

在屬性層次上盲目尋找原因很難，在因素層次上找到關鍵因素才能更快識別原因[14]。因素通常有4種情況：1）傳統數學中所有的變量，如時間、距離和質量等，可以用實數值來描述；2）指標體系中所使用的指標，如產量、價格、成本、收益、能耗等；3）感知過程中所觀測的變量，如身高、體重、性別、相貌、裝束、性格等，既可以取實數值，也可以取高、常、矮等定性的自然語言詞。定量與定性這兩種描述可以通過模糊數學的方法互相轉換；4）主觀度量或帶有目的或效用性的度量，如滿意度、生活壓力、社會沖突、和諧度、生產效益等都是因素。因素空間所描述的可能是自然界與社會生活中的任何事物。

因素空間的假設是，隨機性是由于某些具有影響力的因素尚未被考慮到或測量到，如果所有因素的狀態都確定，則結果便唯一確定。因素的增加會降低認識的模糊性，僅以年齡為因素，則“年輕”這一概念的隸屬曲線比較模糊，但若加上“面容”和“精力”等因素，年輕的隸屬曲線就比原來清晰。從因素層面尋找對結果最有影響的變量，因素空間為事物描述和認知提供了普適性的描述框架[15]。在綜合現有文獻基礎上，繪制因素空間理論與方法體系示意圖如圖1所示。

圖1 因素空間理論與方法體系示意圖Fig.1 Schematic diagram of theory and methods of factor space

背景關系是因素空間的核心概念之一，它決定了概念生成和因素之間的推理知識，概念和推理等高級智能活動可由背景關系簡潔地刻畫出來[16-17]；因素庫以因素空間為母體，由一個主表及若干衍生表所組成，每張表就是某個因素空間的一組樣本點。所有同表頭樣本在去掉對象列以后的疊加就是背景關系，背景關系具有凸性，可以用背景基來取代，背景基形成的因素庫數據生態在大數據處理方面具有一些優越的特性[8,14]。

模糊落影理論構造了隨機與模糊這兩種不確定性之間的對偶模型，指出模糊試驗等價于冪上的隨機試驗，隸屬度的客觀度量可以用隨機集的覆蓋頻率來實現[11]。這一理論使模糊集合論變為集合論往冪上的提升,建立了論域與其冪對應的存在唯一性定理。

1.2 可拓學的理論與方法體系

可拓學把矛盾問題作為研究對象，以形式化模型研究事物拓展的可能性及策略生成的基本規律與方法[6-7]。可拓學是一門橫跨哲學、數學和工程學的新學科[18]，可拓學理論包括基元理論、可拓集合理論和可拓邏輯[6-7]，其理論框架圖可參考文獻[7]。

基元理論以（對象，特征，量值）描述萬事萬物及其聯系，分別建立了物元、事元和關系元（統稱為基元）模型；研究了基元的拓展性和變換、運算的規律，建立了定量與定性相結合的可拓模型作為處理矛盾問題的形式化工具。研究了基元的拓展分析理論和物的共軛分析理論，提出了可拓變換理論[19]。

可拓集合提出了表述事物性質動態變化的集合概念，把辯證法關于矛盾轉化和變換的思想引入集合論。以基元為元素的基元可拓集合把質與量綜合考慮，從動態轉化角度對論域做了5類劃分，研究了關聯函數以及定量化的計算公式，以關聯函數值表征事物具有某種性質及性質的量變和質變程度，為解決矛盾問題和決策提供了集合論的理論與方法基礎[20-21]。可拓集合定義如下

定義2 [7]設U為論域，u為U中的任一元素，k是U到實域R的一個映射，T=(TU,Tk,Tu)是給定的變換，稱

為論域U上的一個可拓集，y=k(u)為的關聯函數，y′=Tkk(Tuu)為 的可拓函數。其中TU、Tk、Tu分別為對論域U、關聯準則k和元素u的變換。

以可拓模型表達物、事、關系和特征的變換以及變換所引起的其他物、事、關系和特征的傳導變換，研究了基元和復合元的可拓推理規則及解決矛盾問題的推理形式，把形式邏輯和辯證邏輯相結合，初步構建了以解決矛盾問題的變換和推理為核心的可拓邏輯[9]。在理論研究基礎上，可拓學研究者提出了一套可拓創新方法，并提出了矛盾問題轉化的基本方法，包括化不相容問題為相容問題的可拓策略生成方法、處理對立問題的轉換橋方法，為形式化、流程化解決矛盾問題提供了理論依據與方法體系。

2 因素空間與可拓學的互補性分析

從研究內容、研究方法等方面對因素空間與可拓學進行互補性分析，初步結論如下。

2.1 數學基礎和主要研究對象高度相關

兩者具有共同的數學基礎，都與模糊集與模糊邏輯的研究有內在聯系，但各自拓展了模糊數學的研究范圍。兩者都以問題處理為主要研究對象。可拓學以矛盾問題為研究對象，提出了一套通過基元建模、拓展、變換和評價處理矛盾問題的理論與方法；因素空間研究不確定性結果產生的原因，通過背景關系、因素顯隱實現不確定性的問題的轉化與求解。

模糊集合無法描述在一定條件下非與是的轉化，可拓集合把辯證法關于矛盾轉化和變換的思想引入集合論，從動態轉化的角度研究集合內元素、準則和論域的變化。因素空間從動態角度研究因素的變化如何影響模糊性和不確定性，提出了一套理論與算法，兩者均把非定量變量納入研究內容，從研究內容的動態性、系統性和非數量化等方面拓展了集合論與模糊數學的研究范圍。兩者的模型與研究對象對照表如表1所示。

表1 可拓學與因素空間的模型與研究對象對照表Table 1 Comparisons between models and research objects of Extenics and factor space

2.2 因素與基元有緊密的內在聯系

因素空間中的因素是可拓學基元理論中的特征，特征包括事物的屬性。所有指標體系中的指標、參數和人工智能所用的屬性、狀態、特征都是因素。因素是變量，因素的相或每個因素的狀態在可拓學基元理論中表述為特征的量值。例如降雨量這個因素的相如“雨量充沛”“中等雨量”“雨量極少”等在基元理論中表述為（對象A，降雨量，充沛）。可增加參變量如地點、時間等進行更準確描述。如M1(t) =（地點A(t)，降雨量，v1(t)），其中，v1(t)=中等；M2(t) =（鐵塊M(t)，溫度，v2(t)），其中，v2(t)＞=(800℃,+∞)等。因素空間特別強調：屬性被動地描述事物，因素更具有啟發性和牽引性。因果分析不要在屬性層次上求索，一定要在因素和變量層次上。因素是屬性的綱領，是廣義的基因，是信息提取的視角，是概念劃分的依據，是因果分析的要素。一個因素的屬性分解為其他幾個因素屬性的邏輯組合，可以使知識的表達更加細膩，降低對知識理解的隨機性、增強可操作性。

盡管每一事物都有多種屬性，但是，我們不可能也無必要去窮盡一個事物的所有屬性。這些屬性在認識事物的本質特征的過程中的地位與作用是不同的。在不同的任務、場合或目的下，我們關注事物的屬性也不盡相同。其重要任務是尋找與問題處理有關的主要因素。基元理論為系統性地識別因素準備了信息基礎，而因素理論則為基元拓展處理矛盾問題指明了方向。大數據時代，因素庫和基元庫的構建都需要從多源異構的數據中抽取信息，因素抽取與基元抽取更將是相輔相成的。

2.3 解決問題的思路在顯隱方面具有一致性

因素空間理論認為，一切困難都是解決問題的關鍵因素還沒有顯露出來。人工智能的問題就是找隱含的因素/特征的問題，隱因素一旦找到，問題便迎刃而解了。事物只有在變化中才能顯示因素之間的相互影響。因素空間的基本任務就是要化隱為顯。通過顯因分析尋找關鍵因素或凸顯隱藏的關鍵因素[22-24]。

可拓學基元理論的核心觀念是基元的可拓性和物的共軛性，現實世界是一個物元集合或物元系統，它們的相互作用構成事元集合或事元系統；它們的相互影響構成關系元系統。問題的不相容往往是對象的特征和量值不足，通過物的實部虛部、硬部軟部、正部負部和顯部潛部等共軛性分析及對象、特征和量值的拓展，往往可以化解矛盾。可拓學是把事物狀態的“此”與“彼”置于變化之中，考察事物“此”與“彼”在一定條件下的相互轉化。轉化可以通過適當的可拓變換來實現[19]。

與共軛分析類似，目標因素具有對稱性。企業以追求利潤的最大化為目標，與之對稱的，企業還必須努力使風險最小化。目標都要成雙地出現，對稱的一對因素互稱為對偶。收益與成本、經濟增長與環境保護、物質財富與精神文明、民主與集中、數量與質量、創新與傳承、深度與廣度等都是對偶因素的例子。目標因素的對稱性使目標因素成對地出現，目標與限制是對稱的，可以互相轉換。

不充分的條件雖不能決定結果但卻能制約結果的發生頻率，體現這種內在必然性聯系的就是概率，概率是廣義的因果律。將基本空間的因素分為兩個部分，可觀察、可控的因素算一部分，這部分因素所導引的變量是非隨機變量，余下的因素算是第二部分，統歸為一個余因素。它所導引的變量是隨機性的。從中挑選出少數幾個特別的因素作為精細處理的對象，剩下那些影響微弱且相互獨立的眾多因素，都歸順于中心極限定理。這樣一來，隨機變量的一般分解式是：

這里，f(x)是一個以向量x為自變量的普通函數，f^(x)是由樣本經過最小二乘或其他方法所擬合出的函數，它是對少數幾個特別的因素所作的精細處理，δ是高斯分布，被看成是噪音。要減少隨機性，就是要加深對第二項的因素分析和掌控[25-26]。可拓學的潛部分析與拓展分析可以逐步實現余因素向第一類因素的轉化。

2.4 解決問題的方法與算法具有互補性

因素空間強調不要孤立靜止地從屬性和狀態層面上去找問題產生的原因，要從變化中尋找主導的影響因素。在因素空間中尋找關鍵因素稱做因素顯隱，顯隱問題主要有3種途徑，解方程、回歸與優化，都可歸結為一個求投影的問題，如解投影方程。顯隱的代數原理中，隱因素可以通過顯因素作線性變換而顯現出來，有時隱因素是顯因素的加權合成。隱因素顯隱算法可以為拓展與變換提供更多數學算法，而可拓學挖掘變換知識的可拓數據挖掘算法與關聯函數則可以為因素顯隱提供轉化思路與更精準的優化。

因素空間的因果分析理論認為，關聯不是相關，因果可以逆轉。關聯是指兩個屬性或事件在一個實體中同時存在或發生；相關是指一個因素的變化會引起另一個因素的變化。因素空間承認廣義的因果性，萬事萬物具有普遍的因果聯系，好稻米是因為有好種子，好種子也是因為有好稻米。背景關系和背景分布是相關性的化身，相關決定因果。因果分析都有條件因素和結果因素兩個方面，前一方是因，后一方是果（廣義）。在每個時刻，都暫時鎖定目標，只是多對一地考慮因果。而多個條件總可以先簡化為二。所以，因果三角就是兩因一果的思考模式。

可拓學的基元庫構建與拓展為因素分析打下信息基礎。拓展分析中的蘊含分析包括因果蘊含和存在蘊含，并建立了形式化表述模型。因果分析法可以在算法層面與可拓學的相關分析、蘊含分析相交叉，在多指標因素分析法及多標準因素分析推理模型的基礎上開發新的算法模型，得到更系統的備選條件與因果聯系，進一步拓展因果分析的應用。

基于因素空間理論解決問題的基本流程為：面對一個問題，先由因素譜找到對應的因素空間，再從因素空間約簡[27]、推理[24]給出問題的局部解答，并向更深層次的因素空間轉移。在因素空間中生成概念、因果歸納、推理，眾多因素空間聯結成因素藤，形成一種雙層結構。如此往復，直到問題解決。

基于可拓學方法解決矛盾問題的一般流程[7,21]為：1）根據矛盾問題P，分析目標G是什么，條件L是什么；2）若是條件與目標之間的矛盾，則根據不相容問題的目標事元和條件事元的與運算模型建立矛盾問題的可拓模型P=G×L，并找出其核問題P0=g0×l0，從而建立核問題的相容度函數k(x)，判斷相容函數是否小于零k(x)＜0；若是目標間的矛盾，則根據對立問題目標事元間的與運算關系建立矛盾問題的可拓模型P=(G1∧G2)×L，根據轉換橋法對對立目標進行轉換；3）然后依據創意生成的“4種拓展分析方法”和“共軛分析方法”對所需解決矛盾的基元進行可拓變換，從而生成多種解決方案；4）最后根據優度評價方法對所有的解決方案進行優度評價并選出最優的解決方案。

可拓學的基元分析與可拓模型及其運算[28]可以為因素空間構建提供更系統的數據和信息，關鍵因素的顯隱算法可以為可拓學核問題的分析擴充新的算法。因素藤為拓展變換提供更多特征和方向，共軛分析和拓展變換又為因素藤擴充因素提供了新的方法。面向問題處理的基元-因素模型為進一步研究復雜問題的智能化處理打下了一定的信息基礎[29]。

3 因素空間與可拓學融合的問題處理模型

3.1 模型的原理

可拓學為問題處理建立了一套基本的理論方法體系，包括基元建模、拓展、變換與優度評價等方法工具，利用可拓學進行問題建模和拓展，側重形式化、流程化的信息發散與知識拓展，以問題求解的程序性知識與專家的隱性知識對接。因素空間理論則為問題處理提供必要的因素知識表達與計算的數學方法，側重信息與知識的約簡和收斂，以問題求解的描述性知識與知識圖譜與Web數據中的顯性知識對接。因素通過變換顯示其影響，變化中的因素對應不同的基元特征。融合可拓學與因素空間理論的問題求解模型如圖2所示。

圖2 融合可拓學與因素空間理論的問題求解模型Fig.2 problem solving model integrating Extenics and factor space

根據問題描述進行問題條件和目標的基元建模與拓展分析，分別得到條件、目標相關的系統性的基元信息。對問題進行條件與目標的相關因素分析與因素顯隱，得到問題處理的初始因素空間。基元與因素空間融合構建基元-因素庫作為素材輸入實施可拓變換與因果分析，得到解決問題的初始方案。對方案進行評價、試用并反饋，得到可行性方案，成功驗證后再存入或更新補充基元-因素庫。其詳細實施步驟如圖3所示。

圖3 融合可拓學與因素空間理論的問題求解模型實施過程示意Fig.3 Schematic diagram of implementation process of problem solving model integrating Extenics and factor space

3.2 模型的構建與實施

第1步建立問題的可拓模型，問題P=G×L,G為目標，L為條件。目標和條件均以（對象，特征，量值）的三元組表示，多個特征和量值形成矩陣結構：

式中：O表示對象（物、動作或關系詞）；c1,c2,…,cn表示對象O的n個特征；v1,v2,…,vn表示對象O關于上述特征的相應量值。在基元表達基礎上分析核問題，確認真正的目標及目標實現的必要條件。

第2步分別從真目標和條件出發做基元拓展并與因素空間融合。分別拓展條件和目標的基元對象、特征與量值，基元拓展的信息基礎基元素材庫來自于Web信息抽取、數據庫和數據倉庫及專家經驗等。與之融合的因素空間來源于因素分析與顯隱的結果，其主要數據源還包括數據庫和數據倉庫及專家的經驗。融合后得到基元-因素庫，基元的某個特征被識別為解決問題的關鍵因素，因素空間則提供更細致的數量化的因素支撐。多個因素空間組合形成問題處理相關的因素藤。因素藤實現信息與知識的融合，形成更大的認知描述網絡。

第3步是因果分析與可拓變換。將基元-因素庫和因素藤作為輸入信息，在目標與條件的蘊含分析和相關分析基礎上做因果分析和可拓變換，在因素空間中進行從條件到目標結果的因果分析，提取能夠體現條件因素對結果因素所產生的影響，進而做因果推理，然后選取基元的對象、特征或量值做可拓變換，得到系統性的解決問題的備選策略。對備選策略做優度評價，得到最優策略用于問題求解。如果求解結果不夠理想，則進一步做問題分析，重復上述步驟。因果出理性，因果生邏輯。若A則B，A就是因，B就是果。概率都是相對于一定條件而言的。p(B|A)=t(A-＞B)[13]。抽象隨機變量在因素空間中最終會變成一個必然的映射。對結果有影響的因素考慮的越全面，結果就越確定。以因果分析算法等抽取跟待解決問題緊密相關的特征，對選取的特征（因素）做可拓變換，評估問題的解決程度。通過類似列方程、解方程的系統方式實現問題處理從不確定性和隨機性向必然性的轉化。

3.3 應用驗證與適用范圍分析

模型的初步應用驗證有多個案例，模型與案例詳細的分析篇幅過大，本文僅選其一簡要描述。提升集團公司的利潤是一個邊界較為開放的復雜問題，涉及眾多因素，比如產品定位、原料供貨方及其價格、加工方式、物流、銷售方式、退貨方式、集團的考核指標、獎金的分配比例、廣告、研發費用支出與電子商務運營模式等。以集團公司的管理信息系統數據為基礎，構建問題的初始模型及較為系統全面的基元庫，分別從對象、特征和量值入手分析基元之間的關聯，再利用主成分分析、分類、聚類等數據挖掘方法，得到月末特征指標相關的主要因素，標識構建基元-因素庫，識別各基元-因素表之間的關聯與相關關系，確定因果關系鏈，最終找到提升利潤的關鍵因素支點，即對生產廠設置的利潤指標不合理。改變集團對生產廠的考核指標及其設定后，集團整體利潤有顯著提升。

隨著管理信息系統的廣泛應用及物聯網的普及推廣，數據獲取的便利性、快捷性及云處理能力有了很大提高。在智能制造大數據環境下，環境的動態性不確定性及交互性，使原有的很多邊界條件相對確定的封閉性問題的范圍越來越小，而大量的問題呈現出不確定性、動態性和邊界的開放性。因此本模型的研究應用有較為廣泛的應用空間。其實際應用的潛在優勢在于定性定量相結合、因素與基元點面相結合，從較為系統全面的基元庫構建入手，再利用因素空間的因果分析、因素顯隱等算法抽取對問題處理有決定作用的關鍵因素，實現發散與收斂的結合。該模型的適用范圍主要是需要有一定的真實客觀的標簽數據，同時問題的條件和目標具有一定的可拓展性，事物的特征具有一定的可轉化性。比如所加工的精度可以在一定范圍內調節，客戶服務的時間可以在一定范圍內浮動等。通過從現有條件出發，拓展出一定的隱含條件空間，或通過蘊含分析拓展出隱含的目標基元信息，實現關鍵因素識別和問題求解的轉化。

4 結束語

因素空間是概率論和模糊數學發展必然產生的更深層次的數學概念。因素是事物描述和因果分析思維過程的更深層次的特征。模糊落影理論、因素凸顯算法等將為大數據浪潮驅動的范式轉變做好必需的數學準備，因素空間理論可以有效地剖析不確定性產生的機理及彼此之間的關系，把非結構化大數據轉化為小數據，為信息和智能科學提供統一的數學語言和普適的描述框架。

可拓集合的建立，使數學的靜態分類拓展為可拓學中基于變換的動態分類；關聯函數的建立，使從康托集合只描述量變拓展為可拓集合描述量變和質變；基元概念的建立，使數學模型拓展為把定性與定量結合起來研究的可拓模型；可拓論將使數學和邏輯產生較大的變革，而產生可拓數學成為智能數學的重要組成部分。

可拓學與因素空間有很多交集，但和而不同。兩者的融合交叉研究將進一步提高問題處理的系統性和智能化水平。幾個主要的未來交叉研究方向包括：1）基于基元模型的因素的動態性抽取與因素的可拓性、轉化性研究；2）定性定量相結合的問題導向的基元、因素合取、析取與分解等運算；3）大數據環境下的基元智能構建與因素因果強度識別算法；4）模糊、不確定邊界條件問題的拓展與求解等。

在上述研究基礎上，將進一步研究基元-因素化融合生成解決問題策略的動態結構，特別是基元庫與因素庫互補的耦合重構方法；解決互聯網海量信息與領域大數據集成應用中問題求解因素的智能抽取等基礎性問題，為互聯網海量信息在問題處理方面的深度利用提供基礎理論與新的方法。