立足數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力 優(yōu)化教材中的素材

文∣陳志睿

一、現(xiàn)狀反思：教材習(xí)題的教學(xué)要著眼關(guān)鍵能力

2018年，江蘇省基于國(guó)家課程標(biāo)準(zhǔn)，制定了江蘇省數(shù)學(xué)學(xué)科學(xué)業(yè)水平測(cè)試，對(duì)四年級(jí)學(xué)生進(jìn)行了學(xué)業(yè)水平測(cè)試。《學(xué)生學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)的全部中小學(xué)校學(xué)生學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)分析報(bào)告》于2020年發(fā)布，供省內(nèi)學(xué)校參考，其中一題的數(shù)據(jù)分析引起了筆者的關(guān)注。

黃山風(fēng)景區(qū)的門票價(jià)格是230元/人，暑假期間教師可以享受半價(jià)優(yōu)惠。31位教師在暑假期間去黃山旅游，3000元夠買門票嗎？請(qǐng)寫出估算過(guò)程。

表1 答題情況分析表

經(jīng)統(tǒng)計(jì)，學(xué)生答題情況如表1所示，編碼21代表答案正確，但是估算過(guò)程有錯(cuò)，或者估算過(guò)程沒(méi)有寫出來(lái)；編碼22代表估算過(guò)程正確，但是沒(méi)有結(jié)論或者結(jié)論錯(cuò)誤；編碼23是通過(guò)精確計(jì)算得到的結(jié)果；編碼41是完全正確的作答；編碼71是用230元進(jìn)行估算或計(jì)算；編碼72代表用精確計(jì)算解答，但計(jì)算出錯(cuò)；編碼73代表其他錯(cuò)誤；編碼99表示沒(méi)有作答。

從數(shù)據(jù)來(lái)看，本校和本區(qū)縣有50%左右的學(xué)生能夠運(yùn)用估算正確解決這個(gè)問(wèn)題；27%左右的學(xué)生通過(guò)精確計(jì)算能解決實(shí)際問(wèn)題；11%左右的學(xué)生不能正確表述出估算過(guò)程。這樣類似的題學(xué)生都做了很多次，教師也講了很多次，但學(xué)業(yè)水平測(cè)試正確率卻只有50%，學(xué)生怎么就不會(huì)估了？我們要對(duì)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)要求的估算能力進(jìn)行分析，如表2所示。

表2 數(shù)學(xué)估算能力水平劃分

反思我們的估算教學(xué)，設(shè)計(jì)的情境教學(xué)時(shí)常這樣提問(wèn)：“估一估，帶的錢夠嗎？還要找回多少錢？”學(xué)生會(huì)提出：“肯定不夠，不然怎么會(huì)要你算找回多少錢呢。” 在教學(xué)中，學(xué)生看到題就習(xí)慣拿筆計(jì)算，因?yàn)轭}目里說(shuō)了要“算一算”。由此可以看出，教師給定的練習(xí)題可能會(huì)給學(xué)生造成思維定式，反正是要算的，就不估了。所以，教師應(yīng)該對(duì)教材里的素材稍加修改，如“估一估，怎樣走最近，說(shuō)明你的理由”。引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)根據(jù)解決問(wèn)題需要，判斷是用近似答案還是精確答案，在開(kāi)放的“設(shè)問(wèn)”中，讓學(xué)生自主分析，選擇方法，做出判斷，解決問(wèn)題，培養(yǎng)核心素養(yǎng)下的關(guān)鍵能力。

基于此次學(xué)業(yè)水平測(cè)試，我們重新審視教材習(xí)題教學(xué)，筆者認(rèn)為應(yīng)該立足于核心素養(yǎng)對(duì)估算教學(xué)進(jìn)行優(yōu)化。

二、基于關(guān)鍵能力的教材學(xué)習(xí)素材優(yōu)化策略

數(shù)學(xué)素養(yǎng)所體現(xiàn)的關(guān)鍵能力是支持學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)的必備能力，同時(shí)又能深化學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，提高分析和解決問(wèn)題的能力。我們的教學(xué)要立足關(guān)鍵能力，優(yōu)化教材中的學(xué)習(xí)素材，如教材的例題、習(xí)題、學(xué)習(xí)材料等。

(一)建構(gòu)“生長(zhǎng)”的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，為關(guān)鍵能力奠定基礎(chǔ)

不同的數(shù)學(xué)知識(shí)承載了不同的關(guān)鍵能力，幫助學(xué)生構(gòu)建可生長(zhǎng)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，有利于其把握知識(shí)本質(zhì)及知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，發(fā)展學(xué)生關(guān)鍵能力。

1.尊重認(rèn)知起點(diǎn)，在思維碰撞中發(fā)展關(guān)鍵能力

尊重學(xué)生的認(rèn)知原始經(jīng)驗(yàn)，找到知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)，讓學(xué)生對(duì)新授知識(shí)產(chǎn)生親和感。教師可以在與學(xué)生的多維對(duì)話中，引導(dǎo)學(xué)生找到知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)并加以突破，使其在探索新知生成的過(guò)程中提升對(duì)新知的感悟，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。以蘇教版四年級(jí)下冊(cè)的“乘法分配律”一節(jié)為例，教材以一個(gè)情境引入，然后解題列式，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)比發(fā)現(xiàn)再應(yīng)用同類題目，最后抽象出乘法分配律。在實(shí)際教學(xué)中，教師可以在教材的基礎(chǔ)上優(yōu)化教學(xué)內(nèi)容。

在教學(xué)乘法分配律時(shí)，教師讓學(xué)生說(shuō)出自己認(rèn)為的乘法分配律。

案例1：如何表示3個(gè)2加4個(gè)2等于7個(gè)2。

案例2：小紅周末陪媽媽去買水果，上午買了3個(gè)蘋果，下午買了4個(gè)蘋果，第二天重復(fù)第一天的方式購(gòu)買蘋果。2天一共買了多少？列出算式。

案例3：計(jì)算圖1共有多少個(gè)小圓。

圖1

案例4：計(jì)算圖2的面積。

圖2

教師引導(dǎo)學(xué)生用不同的算式計(jì)算上面的案例，讓學(xué)生思考規(guī)律并用自己的理解去探究乘法分配律。在這樣以學(xué)生為中心的氛圍下，教師以“算式有什么相同的地方”為出發(fā)點(diǎn)，分開(kāi)算與合起來(lái)算都是相等的數(shù)學(xué)本質(zhì)，通過(guò)數(shù)形結(jié)合以及生活經(jīng)驗(yàn)，得出“(a+b)×c=a×c+b×c，即兩個(gè)數(shù)的和乘一個(gè)數(shù)就等于這兩個(gè)數(shù)分別乘這個(gè)數(shù)”的結(jié)論，發(fā)展學(xué)生演繹推理的能力。

2.數(shù)形結(jié)合，為發(fā)展關(guān)鍵能力提供支持

在傳統(tǒng)教學(xué)中，教師講解完數(shù)學(xué)結(jié)論以后，讓學(xué)生盡快運(yùn)用結(jié)論去解題，鞏固練習(xí)。這樣容易導(dǎo)致學(xué)生機(jī)械重復(fù)地刷題，忽略知識(shí)的來(lái)龍去脈，不關(guān)注數(shù)學(xué)思想、方法的產(chǎn)生與發(fā)展。教師可以利用數(shù)形結(jié)合的方式，將過(guò)程與結(jié)果串聯(lián)起來(lái)，讓學(xué)生習(xí)得的一般性方法還能為未來(lái)的學(xué)習(xí)做鋪墊。通過(guò)數(shù)形結(jié)合的方式，可以強(qiáng)化過(guò)程與結(jié)果的關(guān)聯(lián)，對(duì)學(xué)生解決新的問(wèn)題具有啟發(fā)作用，讓學(xué)生學(xué)會(huì)舉一反三，觸類旁通。

3.培養(yǎng)多元的思維，為關(guān)鍵能力創(chuàng)造可能

解決問(wèn)題是發(fā)展關(guān)鍵能力的重要載體，從不同角度分析問(wèn)題、多元的方法解決問(wèn)題可以培養(yǎng)學(xué)生在探究過(guò)程中發(fā)展關(guān)鍵能力。在疫情居家學(xué)習(xí)中，學(xué)生有更多的時(shí)間去深度探究問(wèn)題。教師設(shè)計(jì)以“雞兔同籠”問(wèn)題為載體，讓學(xué)生用畫圖法、假設(shè)法、列表法、抬腿法、方程法解決問(wèn)題(如圖3所示)。每種解決問(wèn)題的方法既有聯(lián)系又有不同。在線上交流中，學(xué)生表達(dá)出自己對(duì)每種方法的理解，從直觀問(wèn)題中抽象出數(shù)量關(guān)系，推理、分析并解決問(wèn)題。多元思維為發(fā)展關(guān)鍵能力創(chuàng)造了更多的可能性。

圖3

(二)教材素材有效整合，整體把握關(guān)鍵能力

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)具有連續(xù)性和階段性的特點(diǎn)。因此，教材每一階段、每一單元、每一個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)都有其對(duì)應(yīng)的關(guān)鍵能力，不同階段所對(duì)應(yīng)的關(guān)鍵能力表現(xiàn)也不同，知識(shí)、技能和關(guān)鍵能力是螺旋式上升的。如果某一階段的能力不能得到很好的發(fā)展，下一階段的能力發(fā)展也會(huì)受阻。在開(kāi)展某一單元的教學(xué)時(shí)，教師首先要整體把握一個(gè)單元的知識(shí)技能，分析學(xué)生已經(jīng)掌握了哪些知識(shí)和能力，將學(xué)習(xí)素材和學(xué)習(xí)內(nèi)容根據(jù)學(xué)情進(jìn)行整合，促進(jìn)學(xué)生關(guān)鍵能力的發(fā)展。

1.基于學(xué)情的單元素材整合，聚焦關(guān)鍵能力

如果學(xué)生整體學(xué)習(xí)水平較高，教師就可以從聚焦關(guān)鍵能力的角度去整合教材。以蘇教版二年級(jí)下冊(cè)的“認(rèn)識(shí)萬(wàn)以內(nèi)的數(shù)”為例。這一單元的基本結(jié)構(gòu)如圖4所示。

圖4

根據(jù)課前測(cè)，教師了解到學(xué)生已經(jīng)會(huì)用自己的方式直觀地表示數(shù)，這說(shuō)明基于之前“100以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)”，學(xué)生理解了數(shù)位的含義并具有計(jì)數(shù)單位意識(shí)，能借助直觀模型讀數(shù)、寫數(shù)。按照教材編排，先是“數(shù)數(shù)和千以內(nèi)數(shù)的組成”，再學(xué)習(xí)“千以內(nèi)數(shù)的讀、寫”，最后學(xué)習(xí)“萬(wàn)以內(nèi)的數(shù)”。這樣的設(shè)計(jì)沒(méi)有顯出思維的遞進(jìn)。教師可以立足關(guān)鍵能力，重新審視教材，打開(kāi)新的思路。

“數(shù)的認(rèn)識(shí)教學(xué)”旨在培養(yǎng)學(xué)生從具體事物中抽象出數(shù)與形的能力并形成數(shù)感。因此，教師可以引導(dǎo)學(xué)生從知識(shí)技能層面理解“十進(jìn)制”，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感，以這兩個(gè)角度為切入點(diǎn)，進(jìn)行單元整合，將千以內(nèi)的數(shù)和萬(wàn)以內(nèi)的數(shù)進(jìn)行整合。

在數(shù)數(shù)的過(guò)程中，讓學(xué)生感受產(chǎn)生新的計(jì)數(shù)單位的必要性。千以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)和萬(wàn)以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)均使用了“小方塊”，并做如下優(yōu)化。

教師出示小方塊，讓學(xué)生一個(gè)、一個(gè)地?cái)?shù)，10個(gè)“一”是一個(gè)“十”。出示圖5中的(b)。

十個(gè)、十個(gè)地?cái)?shù)，十個(gè)“十”是一百。出示圖5中的(c)。

一百、一百地?cái)?shù)，十個(gè)“一百”是“一千”。出示圖5中的(d)。

一千、一千地?cái)?shù)，十個(gè)“一千”是“一萬(wàn)”。

(a) (b) (c) (d)圖5

讓學(xué)生在數(shù)直觀模型的基礎(chǔ)上認(rèn)識(shí)計(jì)數(shù)單位，同時(shí)理解計(jì)數(shù)單位十進(jìn)制的關(guān)系。教師進(jìn)一步利用黃豆引導(dǎo)學(xué)生了解1000、10000的規(guī)模，再通過(guò)圖片讓學(xué)生直觀感受萬(wàn)人會(huì)場(chǎng)的容量，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感；將認(rèn)識(shí)千、萬(wàn)串聯(lián)起來(lái)，幫助學(xué)生整體感知計(jì)數(shù)單位之間的關(guān)系，為學(xué)生認(rèn)識(shí)更大的數(shù)做鋪墊，讓其關(guān)鍵能力持續(xù)發(fā)展。

2．基于過(guò)程方法的教材素材重組，強(qiáng)化關(guān)鍵能力

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程與方法也是形成關(guān)鍵能力的重要載體。在研究教材的單元目標(biāo)時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)，有時(shí)一個(gè)單元的探究學(xué)習(xí)過(guò)程與方法相似并不斷深化的。因此，根據(jù)探究的過(guò)程與方法，教師將一個(gè)單元的教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行重組，深化學(xué)生對(duì)過(guò)程方法的理解與掌握，推進(jìn)關(guān)鍵能力發(fā)展。以蘇教版四年級(jí)下冊(cè)的“運(yùn)算律”單元為例，圖6為單元的結(jié)構(gòu)。

圖6

此單元加法和乘法都有交換律、結(jié)合律，教材的編排按照加法和乘法兩個(gè)板塊來(lái)教學(xué)，由“加”到“乘”，教學(xué)內(nèi)容有梯度地逐漸加深。但是從單元過(guò)程與方法目標(biāo)“在探究運(yùn)算律的過(guò)程中，培養(yǎng)比較和分析、抽象和概括、歸納和類比等能力”來(lái)看，教師可以將單元內(nèi)容進(jìn)行重組，將加法交換律和乘法交換律進(jìn)行整合來(lái)研究“結(jié)合律”，通過(guò)類比讓學(xué)生了解“結(jié)合律”在加法和乘法中都適用。課堂中教師不斷引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行比較、分析、歸納等思維活動(dòng)，深化學(xué)生的推理能力，強(qiáng)化關(guān)鍵能力的發(fā)展。

(三)指向關(guān)鍵能力的教材學(xué)習(xí)素材改造路徑

教師要?jiǎng)?chuàng)造性地使用教材，積極開(kāi)發(fā)、利用各種教學(xué)資源，為學(xué)生提供豐富的學(xué)習(xí)素材。教材、習(xí)題不是拿來(lái)就用，教師要將教材、習(xí)題進(jìn)行合理、適當(dāng)?shù)母脑欤寣W(xué)生的關(guān)鍵能力落地生根。

1.改問(wèn)題，從淺顯走向深入

通過(guò)分析學(xué)業(yè)水平測(cè)試的試題，我們發(fā)現(xiàn)，學(xué)業(yè)水平測(cè)試的試題非常靈活；題目條件雖然不多，但很難一眼就看出方法或答案。水平測(cè)試考查的知識(shí)點(diǎn)不難，但是需要學(xué)生準(zhǔn)確提取對(duì)應(yīng)的知識(shí)點(diǎn)，這就對(duì)學(xué)生的關(guān)鍵能力提出了要求。反觀我們平時(shí)的練習(xí)題，幾乎是直接指向知識(shí)點(diǎn)的淺顯提問(wèn)，機(jī)械、重復(fù)的訓(xùn)練對(duì)關(guān)鍵能力的提升起不到促進(jìn)作用，反而還可能限制學(xué)生的思維。所以教師要對(duì)習(xí)題作相應(yīng)的改編，將一眼就能看出方法或知識(shí)點(diǎn)的題改編為指向關(guān)鍵能力的深度思考習(xí)題。下面以練習(xí)冊(cè)的一道題目改編為例。

【例題1】某地去年最后四個(gè)月的降水量如圖7所示，該地九至十二月平均降水量為( )毫米。

A.147 B.98 C.96 D.86

圖7

【改編題1】某地去年最后四個(gè)月的降水量如圖7所示，該地九至十二月中，最接近這四個(gè)月平均降水量是( )月。

A.九 B.十 C.十一 D.十二

比較這兩種考查方式，相同點(diǎn)都是考查平均數(shù)，第一種出題方式淺顯地指向知識(shí)技能的平均數(shù)計(jì)算。而第二種出題方式不是讓學(xué)生直接算平均數(shù)，是要在理解平均數(shù)的基礎(chǔ)上，根據(jù)數(shù)據(jù)分布的特點(diǎn)來(lái)估算。

諸如此類的習(xí)題改編還有很多。只要教師著眼于核心素養(yǎng)下的關(guān)鍵能力，練習(xí)便自然從淺顯走向深入。

2.重過(guò)程，從低階思維走向高階思維

低階思維是缺少辨析與判斷或者識(shí)別的思維，在數(shù)學(xué)上主要有記憶、領(lǐng)會(huì)、運(yùn)用，高階思維主要是分析、評(píng)價(jià)、創(chuàng)造。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，培養(yǎng)高階思維指向的是能借助對(duì)數(shù)據(jù)的描述進(jìn)行簡(jiǎn)單的判斷、解釋。在日常教學(xué)中，我們發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生超前學(xué)習(xí)，已經(jīng)掌握了知識(shí)和技能，那我們的教學(xué)目標(biāo)如何制定呢？那就從低階思維走向高階思維，讓關(guān)鍵能力進(jìn)一步發(fā)展。

以蘇教版六年級(jí)上冊(cè)的“整數(shù)除以分?jǐn)?shù)”為例，教師在課上出示例題2。學(xué)生都知道除以一個(gè)數(shù)等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)，并且會(huì)運(yùn)算，顯然這還處于記憶、運(yùn)用的低階思維。

圖8

在觀察學(xué)生解題的過(guò)程中，教師發(fā)現(xiàn)學(xué)生能夠正確列出算式，熟練使用“整數(shù)除以幾分之一等于整數(shù)乘幾分之一的倒數(shù)”計(jì)算結(jié)果。但畫圖時(shí)就出現(xiàn)了問(wèn)題，有些學(xué)生不畫圖直接寫答案，更有些學(xué)生不知道圖該從何畫起。這說(shuō)明學(xué)生仍處于只能讀出數(shù)據(jù)所含簡(jiǎn)單信息的水平。如果繼續(xù)這樣教學(xué)生，他們的思維和能力得不到提升。故教師對(duì)教材作了如下改進(jìn)。

【改編題2】結(jié)合下面四道題，先畫圖分析，再把你的思考或計(jì)算過(guò)程記錄下來(lái)。

解題時(shí)，學(xué)生自己創(chuàng)設(shè)直觀圖形分析算式，描述算理。例如改編題2的④，學(xué)生作了如下探討。

教師的目標(biāo)定位在哪里，教學(xué)就走向哪里。關(guān)鍵能力的培養(yǎng)與推進(jìn)可以讓學(xué)生的思維提高得更快。

3.設(shè)變式，從單一到豐盈

從關(guān)鍵能力的視角研讀教材習(xí)題，思考題目的意圖，是用好教材的第一步。在此基礎(chǔ)上，教師如果挖掘到題目?jī)?nèi)涵，找到關(guān)聯(lián)，結(jié)合課外練習(xí)題，擴(kuò)充題組，可以豐富學(xué)生對(duì)同一問(wèn)題的認(rèn)識(shí)，積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，更好地發(fā)展關(guān)鍵能力。

以蘇教版六年級(jí)下冊(cè)的一道習(xí)題為例(如圖9)。該題的基礎(chǔ)模型是“方中圓”，圓占正方形面積的78.5%。“方中圓”還可以繼續(xù)變化，如圖10。

如右圖,兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)都是6厘米。(1)圓的半徑各是多少厘米?(2)兩個(gè)正方形里圓的面積各是多少?各占正方形面積的百分之幾?(3)如果像這樣在正方形里畫9個(gè)相同的盡量大的圓,這9個(gè)圓面積的和占正方形面積的百分之幾?你發(fā)現(xiàn)了什么?

圖10

我們可以利用教材，設(shè)計(jì)變式習(xí)題，豐富學(xué)生的素材積累，讓學(xué)生學(xué)會(huì)舉一反三。

三、結(jié)語(yǔ)

考試不僅僅是得到一個(gè)分?jǐn)?shù)，它能真實(shí)地反映學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)下的關(guān)鍵能力水平。考試的目的不是通過(guò)分?jǐn)?shù)把學(xué)生分成一、二、三檔，而是促進(jìn)教師反思自己的教學(xué)，如何讓核心素養(yǎng)下的關(guān)鍵能力培養(yǎng)落實(shí)在教學(xué)中，讓每一個(gè)學(xué)生的數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力都得到相應(yīng)發(fā)展。因此，教師要對(duì)教材里的學(xué)習(xí)素材多研究，探索立足關(guān)鍵能力的教材學(xué)習(xí)素材的優(yōu)化方法。