基于塑性變形能與改進動量法的交通事故參數計算

陳家涌，吳新燁

（廈門大學 建筑與土木工程學院，廈門市交通基礎設施智能管養工程技術研究中心，廈門 361005，中國）

車輛碰撞容易翻滾、爆炸等問題，從而造成重大的安全問題、經濟損失。交通事故重建的目的是能夠客觀科學的對道路交通事故進行重現，提高交通事故判定的準確性、公正性、科學性，目前交通事故重建主要有動量法、能量法2 種模型。20 世紀90 年代，Ishikawa 基于碰撞中兩車的動量、動量矩、恢復因數而建立了動量法模型來進行汽車交通事故重建[1-2]。Herman Stcffan 以Kudlich-Slibar 的模型開發了PC-Crash 軟件，并基于動量理論引入切向、法向恢復因數來構建模型。

清華大學在國內較早開展了相關研究，李一兵發現了基于動量法的事故再現模型中計算結果的參數敏感性問題[3]以及事故再現估計速度不確定性的問題[4]。陳濤等人基于動量法模型對車輛碰撞事故中參數進行分析，得知在接近正面碰撞的工況下，碰撞方位角對結果的影響尤為重大[5]。鄭月楠基于動量法模型，對碰撞后車輛運動軌跡計算過程進行優化，證明了基于動力學迭代求解碰撞后運動參數的可行性[6]。

陳昆山通過將Ishikawa 的動量法模型應用于一起無軌跡碰撞事故，并利用LS-DYNA 軟件進行整車碰撞仿真，發現能夠較好的對碰撞前車速進行反求[7]。張健基于動量法模型對實際事故案例展開研究，分析碰撞中心坐標、力學參數、轉動慣量等參數的誤差對碰撞前車輛運動參數的影響，并得到了事故重建中速度誤差與上述幾種參數之間的關系[8-11]。

王金剛較早的基于車輛能量網格與能量法模型展開研究，并將其應用于實際的交通事故還原中[12]。王旭東對車輛側向碰撞事故中的車輛剛度系數誤差展開研究，并提出了有效的解決方法[13]。劉志強[14]則將能量法模型應用于一起車輛側向碰撞事故，發現模型的計算結果與Vangi[15]提出的推薦公式所得到的計算結果相吻合。

鄒鐵方利用PC-crash 軟件設計正交實驗，對交通事故重建中參數的敏感性進行了研究[16]。胡林等人通過Madyom 動力學軟件對交通事故重建中人體頭部的損傷差異性進行了探究[17]。

目前采用動量法模型進行事故重建時，選取碰撞前后的恢復因數遇到一定的困難，進而造成計算誤差。本文通過對比碰撞過程中的能量損失與車體的塑性變形能，完成基于塑性變形能的車輛二維點碰撞動量法模型構建，從而有效避免切向法向恢復因數選取的主觀性和不確定性，探究將車輛塑性變形能應用于車輛二維點碰撞動量法交通事故重建的可行性與有效性。

1 車輛二維點碰撞的力學分析

1.1 二維點碰撞模型的建立

在大部分碰撞事故中，碰撞前兩車位置是錯位的；大部分車輛在碰撞后都會有一定程度轉動的情況，故車輛之間的碰撞一般為二維碰撞。本文探究車輛的一般二維點碰撞，利用車輛之間的動量、動量矩、切向法向恢復因數建立動量法模型[1-2]。

以兩車的碰撞點為原點O，并以其切線（tangent,T）、法線(normal,N)方向建立直角坐標系。其中a1、b1、a2、b2分別為車1與車2 的質心在坐標系里的位置參數；車1 速度沿著T、N2 軸的速度分量為v10T、v10N，角速度為ω1；車2 速度T、N2 軸的速度分量為v20T、v20N，角速度為ω2。

車輛發生一般二維點碰撞示意圖見圖1。

圖1 車輛發生一般二維點碰撞示意圖

車輛與車輛的碰撞過程分為碰撞前、碰撞中、碰撞后3 個過程，碰撞中過程持續時間極其短暫并產生較大的碰撞力，一般只有60～150 ms 左右。在短暫的時間內，兩車完成速度上的交換，因此在碰撞中階段往往可以忽略摩擦力做功、空氣阻力作用、噪聲發熱等外力作用與能量損耗。

以車1、車2 為研究對象，通過動量定理可以得到：

其中：mi為車身的質量(i=1，2，分別代表車1 和車2)，vijk為速度分量（j=0、1，分別代表碰撞前和碰撞后；k的取值為N軸或者T軸）。

以車1、車2 為研究對象，對坐標原點O取動量矩，通過動量矩定理可以得到：

其中：ωij為車輛的角速度，R1、R2分別為車1 與車2 的轉動半徑，而車1 與車2 的質心位置在坐標系內的坐標分別為（a1,b1）、（a2,b2）。

1.2 引入切向與法向恢復因數對方程組重構

考察碰撞后的運動參數：相對變形速度（relative deformation speed，RDS）和相對滑動速度 (relative sliding speed，RSS)，以及碰撞前的運動參數：RDS0和RSS0，定義為：

由于運動狀態參數多于約束方程的個數，引進切向、法向恢復因數eN、eT對方程進行補充：

結合式（1）-（6），碰撞前后運動參數表達為

2 基于塑性變形能的動量法模型構建

2.1 碰撞過程中的能量變化及車輛的塑性變形能

因碰撞接觸到碰撞分離的時間很短，故忽略空氣動力、摩檫力等外界因素的影響。在2 車碰撞前，2 車的合動能達到最大。在碰撞中當2 車達到共同速度時，2車合動能的損失達到最大，此時彈性變形、彈性勢能最大；而后隨著2 車開始分離，彈性變形減少并且一部分彈性勢能又轉變為動能。2 車的合動能在碰撞過程中的能量變化如圖2 所示。其中：Ein為2 車接觸碰撞前的動能之和；Eout為2 車將要分離瞬間的動能之和。若令EL為2 車碰撞前與碰撞后損失(loss,L)的動能，則ELmax為整個碰撞中階段的最大動能損失。

圖2 車輛能量隨碰撞過程變化圖

顯而易見：

在實車碰撞實驗中發現，車輛所受單位寬度上的碰撞力與車輛的變形量呈線性變化關系[18-19]：

其中：F為車體單位寬度上所受的碰撞力，其方向與寬度垂直；W為碰撞力對應的寬度，A為沒有塑性變形時單位寬度上的碰撞力，B為斜率，C為車輛寬度上某位置的變形量。

常數A、B與車輛類型有關，美國國家公路交通安全管理局（National Highway Traffic Safety Administration，NHTSA）在對大量車輛碰撞實驗的基礎上，對所得碰撞試驗數據進行線性回歸統計得到的參數。該公式雖然因為較為簡單應用廣泛，但不適用于高速車輛碰撞的情況，在高速碰撞下常數A、B可能會有較為明顯的下降[20]。

碰撞后車輛產生塑性變形如圖3 所示。其中：Y為車身的長度方向；W為車身的寬度方向；C1—C6為車身寬度上5 等分各端點處的塑性變形值。

圖3 車輛塑性變形示意圖

對式（9）在車輛寬度以及塑性變形上進行2 次積分，可得到車輛的塑性變形能為

其中：C為寬度任一位置上的塑性變形，W0為車體寬度，而CR為車輛上的變形曲線。

在將車輛二維點碰撞模型與車輛塑性變形能公式兩者結合以構建改進模型時，假設：

1）兩車在碰撞后不發生二次事故，即車輛在碰撞后不發生翻滾、側翻、傾覆等二次碰撞事故。

2）兩車在碰撞過程中車輛質心高度差距較小，并且碰撞速度相對在中低速范圍內，不產生豎向動能損失。

3）考慮到在碰撞前后兩車的能量應守恒，可以認為兩車碰撞過程中的最終能量損失EL就是兩車的塑性變形能Ed，即：

2.2 車輛塑性變形能與動量法模型的結合

動量法模型中兩車碰撞前后能量損失EL可通過兩車碰撞前后動能差值計算[2]：

而且，γ1N、γ1T、γ2N、γ2T、mN、mT、m0為等效參數，R1、R2分別為車1 與車2 的轉動半徑。結合式（11）、（12），得到車輛變形C、碰撞前后恢復因數eN與eT、碰撞后運動參數RDS 與RSS 之間的關系：

通過式（13）得到eN與eT的關系，并通過eN循環計算，并以此計算兩車碰撞前后理論上的能量損失。由于忽略了碰撞中的能量損失，故理論計算的車輛能量損失與車輛的塑性變形能Ed相等，即：

3 數值模擬與驗證

3.1 事故現場情況及碰撞后運動參數計算

某天下午一輛大眾轎車由西向東行駛，此時一輛自東向西的長安轎車越過路中心線，兩車相撞。根據痕跡，兩車碰撞的角度非常大，接近于正面非對心碰撞，碰撞前兩車都沒有采取制動措施，事故現場如圖4 所示[21]。

圖4 道路交通事故示意圖[21]

通過從該事故中測量到的相關數據[21]，得到車輛基本參數與車輛塑性變形量，通過平均塑性變形計算車輛塑性變形能Ed。通過式（11）算得Ed=119.4 kJ。將車輛相關參數列于表1，其中：C1—C6為車輛的變形量，W0為變形寬度。

表1 車輛基本參數與質心位置參數

2 車在碰撞后分離階段，車輛運動參數、速度方向決定了2 車最終停止位置?；谲囕v分離瞬間與車輛停止時2 車的質心位置，通過剛體動力學迭代得到2 車理論計算的停止位置。將理論計算停止位置、實際停止位置相對比，確定2 車碰撞后分離瞬間的運動參數[6]。計算流程圖如圖5 所示，并將計算結果列于表2。

表2 碰撞后2 車運動參數計算

圖5 碰撞后運動參數計算流程圖

3.2 能量法模型計算

假設2 車對撞時只存在線速度，忽略角速度，利用水平方向能量守恒、碰撞沖量與n軸的夾角、以及塑性變形能Ed為約束條件，構建能量法計算模型[14，22]。計算可得：車1 和車2 碰撞前速度分別為52.6 km/h 和47.6 km/h。碰撞前后2 車能量損失為122.5 kJ，其與塑性變形能的相對誤差為2.57%。

3.3 基于車輛塑性變形能的能量法模型計算

將車輛塑性變形能Ed作為約束條件，對于任個給定法向恢復因數eN，都能得到一組車輛碰撞前運動參數(vi0、ω)以及車輛的理論塑性變形能。通過循環計算，避免切向法向恢復因數選取的主觀性和不確定性問題，可以得到相對準確的結果。計算流程如圖6 所示。

圖6 計算流程圖

以車輛塑性變形能的動量法模型所得2 車碰撞前運動參數如下：車1 和車2 的速度分別為53.9 km/h 和46.5 km/h，角速度分別為0.26 rad/s 和-0.18 rad/s，碰撞前后兩車能量損失為125.4 kJ，其與塑性變形能的相對誤差為5.04%。

3.4 PC-crash 仿真結果

在PC-crash 軟件內設置車輛質心高度、減速階段減速度后，調整2 車碰撞前運動參數、碰撞點位置、碰撞角度、恢復因數等參數，使得PC-crash 仿真軟件內車輛的停止位置與實際停止位置接近。2 車摩擦因數μ=0.7，反彈因數λ=0.1，其余參數設置列于表3，仿真與實際中車輛的停止位置如圖7 所示。

圖7 PC-crash 仿真結果

表3 PC-crash 中碰撞沖量及其他參數設置

PC-crash 軟件仿真中，采用的是案例中的長安轎車與大眾轎車，車高均在1.6～1.7 m 左右，2 車的質心高度基本相等。因此本文案例中采取的改進算法將情況設定在中低速度并忽略豎向動能損耗，對車輛碰撞瞬間前的運動參數進行計算是合理的。

通過測量PC-crash 軟件中2 車停止時的質心位置坐標，其與實際2 車停止時的質心坐標相近，因此將PC-crash 軟件的計算結果認為是2 車實際發生碰撞前的速度。仿真所得2 車停止時質心位置列于表4。

表4 PC-crash 計算2 車停止位置結果

3.4 數據分析

現將PC-Crash 軟件模擬、能量法以及本文的基于塑性變形能的車輛二維點碰撞改進的動量法所計算得到碰撞后2 車運動參數匯總于表5，其中，δ為能量法、本文模型與PC-Crash 的速度相對誤差。

表5 不同模型計算結果匯總表

可以看出：基于塑性變形能的車輛二維點碰撞動量法的計算結果與PC-crash、能量法計算模型得到的結果較為吻合，這說明：基于塑性變形能的車輛二維點碰撞動量法計算結果比較合理。

分析可知：基于塑性變形能的車輛二維點碰撞動量法能夠一定程度提高計算精度。

有如下分析：

1）常規的能量法模型中，由于矩陣內多個方程之間可能存在線性相關、方程之間數量級相差過大，進而容易導致方程組的解存在病態現象[22-23]。在利用基于塑性變形能的車輛二維點碰撞動量法求解碰撞前運動參數之前，通過檢驗發現本案例中6 個方程在代數空間內得夾角較大，不存在因為方程間夾角較小而導致碰撞后運動參數、切向法向恢復因數對解的結果影響過大情況。

2）能量法模型忽略了正面碰撞過程中的角速度，導致兩車碰撞前原本存在的微小轉動動能轉化為平動動能，進而導致2 車碰撞前線速度誤差過大?；谒苄宰冃文艿能囕v二維點碰撞動量法在計算時考慮了碰撞前2 車可能存在的角速度，因此計算結果合理。

3）與其他模型相比，本文中提出的改進模型在計算車輛碰撞分離前瞬間的運動參數具有較好的結果，但改進模型在進行推導時未對2 車碰撞產生豎向動能的損耗進行探究。

4 結論

本文將車輛碰撞后的塑性變形能作為參數，引入到動量法模型中進行碰撞前的運動參數計算，構建基于車輛塑性變形能與改進動量法的交通事故參數計算模型。該計算模型可以避免切向、法向恢復因數選取的主觀性以及不確定性等問題。由于改進模型在計算中考慮了2 車碰撞前的角速度，通過對比基于塑性變形能的車輛二維點碰撞動量法的計算結果與PC-crash軟件仿真結果、能量法模型計算結果發現：改進模型的計算結果與PC-crash 軟件仿真結果較為接近，改進模型的計算結果與能量法的計算結果相比，更加接近車輛正面非對心碰撞事故發生的情況。