高速公路上自動超車過程的軌跡規劃與跟蹤控制

張 平，陳一凡，江書真，韓 毅

（長安大學 汽車學院，西安 710064，中國）

高速公路場景車輛超車是常見且極易造成交通安全事故的工況之一。大多數超車引發的事故都是超車時駕駛員的誤操作而造成，無人駕駛對于減少這種危害有很好的幫助。因此，研究自動超車過程的規劃和控制非常必要。

超車過程包含兩次換道操作，同時周圍相關車輛的運行狀態對超車過程也有重要影響，因而分析起來更為困難。超車過程的規劃與控制必須兼顧安全性、平順性和操穩性等要求。目前，高速公路的換道過程研究成果較為豐富，但超車過程相對來說研究較少[1-3]。王榮本等[4]通過研究車輛運動關系和碰撞條件，提出衡量安全換道的指標——換道最小安全距離，為自動換道、超車的研究奠定了理論基礎。文獻[5-7]從運動學角度對超車過程進行了建模和分析，但并未涉及對超車車輛運動軌跡的規劃和控制。為了實現超車過程的規劃和控制，文獻[8-9]在縱向車速保持不變的情況下設計了車輛換道/超車過程橫向運動的跟蹤控制方法，此時是單一的橫向控制；文獻[10-12]基于運動學模型實施了車輛換道/超車過程運動的橫縱向控制，并取得較好的效果，但是運用于高速情形還有待驗證。高速時，車輛的動力學特性及輪胎力學特性對車輛運動的安全性、穩定性及軌跡跟蹤的準確性都有很大影響[13]。目前，對于超車過程中的車輛運動控制大多是單一的橫向控制或橫縱向解耦分別控制，這種分別控制忽略了車輛橫縱向運動的相互影響，并不符合真實人類駕駛的特點。

本文提出在超車過程中采用橫縱向耦合的集中式控制方法，期望能夠獲得更好的控制穩定性和精確性。研究中，本文首先針對高速公路上的超車過程進行建模，采用縱向位移—時間（s-t）圖，進行超車過程中的換道可行性分析；其次采用基于Frenet 坐標系的多項式軌跡規劃算法和基于車輛動力學橫縱向耦合的模型預測控制算法，充分利用模型預測控制多變量約束下的優化求解能力，綜合控制車輛的橫縱向運動；最后通過聯合仿真試驗，驗證所提超車過程規劃和控制方法的可行性、適用性和穩定性。

1 超車模型

1.1 高速公路上的超車過程

超車是指當自車道前方車輛的速度低于自車駕駛員的期望速度時，駕駛員通過變道、加速等操作超越前車的過程。根據行駛路況的不同，其建模和規劃控制的方法有很大不同。本文針對高速公路上的超車過程進行研究，充分考慮結構化道路的特殊性并做出如下假設：非換道過程中車輛均按照當前車道的中心線行駛，超車過程不考慮高速公路分、合流區的情形。

一般可將超車過程分為等速超車和加速超車兩種，并認為其他超車過程可以看作是這兩種形式的組合。考慮到實際超車過程中車輛運行狀態的隨機性，本文從另一角度分析超車過程，即根據自車狀態變化的臨界條件將超車過程分為初次換道、直道超越和換回原道3個階段。每個階段起止時刻的標志是：車輛的橫向位置與當前車道中心線重合，且橫向速度、加速度為0；具體劃分如圖1 所示。

圖1 3 階段超車模型

以超車過程的第一階段為例，建立如圖2 所示的典型換道模型。自車為A，自車道上的前車為B1，相鄰車道上的后車與前車分別為B2、B3。初始時刻車輛Bi（i=1,2,3）與自車的縱向距離分別為si0，車輛Bi的速度分別為vi。圖2 中：t0時刻為車輛開始換道的初始時刻，t1時刻為開始穿越車道線的臨界時刻，t2時刻為穿越車道線后完全進入相鄰車道的臨界時刻，t3時刻為完成換道的終止時刻。

圖2 高速公路換道模型

1.2 換道可行性分析

超車時，駕駛員必須根據當前的車輛速度、車輛相對距離、車流狀態以及道路交通狀況等交通運行環境信息，實時調整駕駛策略以完成超車行為。尤其是超車過程中的兩個換道階段需要綜合考慮原車道和相鄰車道的相關前后車輛信息，判斷其可行性，具體方法可采用s-t圖來進行。

圖中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ區域紅色部分分別為車輛Bi在換道過程中所占據的縱向空間，綠色部分為考慮自車幾何尺寸而帶來的尺寸限制（下同）；vmax和vmin分別為高速公路上相應路段的最高、最低限速；si（i=1,2,3,4,5）為周圍車輛在一定時間內的縱向位移，即：

在Frenet 坐標系下，以自車初始時刻位置為原點計算相關車輛的縱向位移。基于換道模型中的臨界時刻，假設在[t0,t2]時間范圍內考慮原車道的車輛，在[t1,t3]時間內考慮相鄰車道的車輛，則可以綜合考慮到換道過程中對自車有影響的安全可行空間。結合相關規則的限制，如最高車速（斜率）限制和車輛幾何尺寸限制等，圖3 給出了一個周圍車輛勻速行駛工況下的換道可行性分析實例。

圖3 換道階段s-t 圖

圖3 中存在一條從0 點出發，在[t0,t3]時間范圍內經過Ⅱ的上方，Ⅰ、Ⅲ的下方，不與限制區域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ重疊，且斜率在限速范圍之內的曲線，表明該換道行為是可行的，圖中的藍色曲線即為一條可行軌跡。換回原道階段的建模和作圖分析方法與之相同。

因此，在計劃實施超車行為時，應先根據自車道和相鄰車道的行駛環境進行換道可行性分析。若判斷為不可行，則維持原車道跟車行駛；若可行，則進行軌跡規劃和軌跡跟蹤步驟，以完成超車過程。

2 軌跡規劃

2.1 Frenet 坐標系

自動駕駛汽車軌跡規劃技術的難點之一在于規劃過程中難以表達車輛與道路之間的相對位置，導致兩者之間的相對關系不明確。而對于高速公路這種結構化道路，忽略車道自身信息會導致規劃路徑的自由度太高而違反道路交通規則。因此，研究中選用Frenet 坐標系（如圖4 所示）。

圖4 Frenet 坐標系

在Frenet 坐標系中，一般使用車道參考線（如道路中心線）作為基準，分為s向（沿著參考線方向，即縱向）和d向（沿著參考線法向，即橫向）。相比Descartes 坐標系，Frenet 坐標系更便于車輛運動分析，因為此時車輛位置可用相對于參考基準（在高速公路環境下易于獲得）的縱向距離和橫向距離來描述，這樣計算2 個方向上的速度和加速度就相對簡單[14]。

2.2 Jerk 最小化和多項式求解

一個較好的超車過程橫縱向軌跡規劃，應該是規劃結果相對簡單、安全和舒適。對于橫向控制而言，車輛要最優地逼近期望軌跡線；對于縱向控制而言，則要最優地逼近目標速度。

一般使用加速度的變化率——抖動度（Jerk）來描述這種安全和舒適性，通常來說，過高的Jerk 會引起乘坐者的不適，因此，Jerk 最小化是軌跡規劃尋優的重要目標之一[15]。令p為需要求解的系統（即s或d），則對于任一時段[t0,t1]，系統從初始狀態到達目標狀態可以表示為一個一維積分系統[16]，即：

為了便于后面橫縱向損失函數的計算，若將時間變量做量綱一處理，即定義

則[τ0,τ1]之間Jerk 的平方和可表示為

文獻[17]已證明：對于由式（1）所描述的一維積分系統，基于Jerk 的優化軌跡序列在五次多項式集合中，并且該序列中必然存在能最小化Jτ[p(τ)]的解為

式中：α0、α1、…、α5為各項對應系數，由初始和目標狀態決定。

2.3 橫向軌跡規劃

上式可變換為

為求得最優橫向軌跡，在初始狀態已知情況下，可先通過設置一組備選的目標狀態按照上述步驟求得有限的備選軌跡集合。以高速公路超車模型的初次換道階段為例，由于超車過程的橫向參考線為相鄰車道的道路中心線，車輛應盡可能沿著或平行于參考線行駛，所以目標狀態一般為[d(t),0,0]，這樣備選目標狀態就是包含d和t這2 個變量的集合。

設置規劃軌跡相對相鄰車道中心線的橫向位置偏差Δd取值范圍為[Δdmin,Δdmax]=[-0.25,0.25] m，采樣間隔為50 mm；規劃時長T（為了便于后面橫縱向損失函數的計算，將規劃時長變量去量綱化處理，即定義τp=T/s）根據高速公路安全時距取值在[Tmin,Tmax]=[2,4]s[18]，采樣間隔為0.1 s，求得備選的軌跡集合如圖5 所示（圖中僅給出部分備選軌跡）。

圖5 橫向軌跡備選集合

為在備選集合中選擇最優橫向軌跡，本文設置一橫向損失函數Cd，考慮高速公路場景下橫向運動的需要，主要應滿足：Jerk、規劃時長和橫向位置偏差3 方面盡量小，即：

式中，kj、kt和kd分別是3 個權重系數。

2.4 縱向軌跡規劃

縱向軌跡規劃求解方法與橫向同理，只是備選軌跡集合涉及的變量和損失函數不同。縱向軌跡規劃即速度規劃，備選的目標狀態是只涉及v與t這2 個變量。設想要達到的目標速度為vo，設置目標速度的取值范圍為[vomin,vomax]，采樣間隔為0.5 m/s；規劃時長及采樣間隔的選取同上，獲得備選的軌跡集合圖6 所示（圖中僅給出初始車速和目標車速分別是20 和25 m/s 條件下的部分備選軌跡）。

圖6 縱向軌跡備選集合

考慮高速公路場景下縱向運動的需要，縱向損失函數Cs應滿足3 個方面的要求：Jerk 和規劃時長盡量小以及縱向速度與目標車速盡量接近，即：

綜合式（6）和（7），可得總的損失函數為

式中，Kd和Ks分別為橫向和縱向損失函數的權重系數。

選擇使總損失值最小的橫縱向軌跡作為參考軌跡輸入到軌跡跟蹤部分即可。

3 軌跡跟蹤

3.1 控制原理

MPC（模型預測控制）在過程控制界已被認為是唯一能以系統和直觀方式處理多變量約束的在線優化控制技術，其處理多約束問題的能力在自動駕駛車輛控制上有著很大的優勢[19]。模型預測控制的3 個關鍵步驟是預測模型、滾動優化和反饋校正。針對本文的軌跡跟蹤任務，確定控制流程如圖7 所示。

三年制管理體系已不適應四年制教學管理模式。只強調“職業性”忽略“高等性”、缺乏整體規劃和頂層設計、課程設置傳統老化與教學模式單一等老問題[4, 5]，絕不能在四年制公共基礎教學上重復上演。保本科特色、與本科接軌，四年制高職公共基礎課面臨的首要問題是制定科學的管理模式和匹配與四年制高職公共基礎課程相配套的教學管理體制和運行機制。

圖7 模型預測控制流程

圖7 中參考軌跡是上一節規劃部分得到的最優軌跡。為了同時控制車輛的橫縱向運動，使用基于簡化輪胎力學的車輛動力學模型作為預測模型，利用模型預測控制器求解期望控制量（車輛的縱向加速度和前輪轉角），再經車輛逆動力學模型轉化為實際控制量（節氣門開度、制動壓力和方向盤轉角），最后輸入到CarSim 的驗證模型中以完成橫縱向耦合的集中式運動軌跡跟蹤。

3.2 車輛模型

3.2.1 車輛動力學模型

模型預測控制中使用復雜模型可以更好地對車輛輸出進行預測，但同時也增加了控制器的計算成本。本文建立的車輛模型要足夠簡化以便于MPC控制器求解，同時要滿足汽車在高速工況下的性能要求，故采用三自由度車輛動力學模型，并做出如下假設：

1) 忽略車輛在行駛過程中的軸荷轉移以及縱、橫向的滑移；

2) 忽略左、右車輪由于載荷轉移而引起輪胎特性的變化以及輪胎回正力矩的作用；

3) 忽略懸架的作用，只考慮車輛平行于地面的平面運動。

模型中考慮了車輛的縱向、側向和橫擺3 個自由度的運動，建立的車輛動力學模型如圖8 所示。

圖8 三自由度車輛動力學模型

圖8 中：OXY為慣性坐標系，oxy為車輛坐標系；v為車輛質心速度；ω為橫擺角速度；vx和vy為車輛坐標系下縱、橫向速度分量，β為質心側偏角；u1和u2為前、后輪速度，αf和αr為前、后輪側偏角；γ為前輪轉角；Fyf和Fyr分別為前、后輪側向力，Fxr為后輪縱向力；lf和lr分別為車輛質心距前、后軸的距離。

模型的微分方程組如下[20]：

式中：φ為車輛橫擺角，ax為縱向加速度，m為整車質量，Iz為車輛繞z軸的轉動慣量。

在上述模型中，設狀態量x=[X,Y,φ,vx,vy,ω]T，控制量u=[ax,γ]T，則該模型可寫成：

3.2.2 輪胎模型

在進行車輛動力學仿真時，輪胎所受的垂向力、縱向力、側向力和回正力矩對汽車操縱穩定性和平順性起著重要作用，車輛橫縱向的耦合關系也主要體現在輪胎縱、側向力的建模中。因此，真實、合理的輪胎模型是車輛動力學分析的關鍵一環。

為求取車輛動力學模型所需的輪胎側向力Fyf和Fyr，本文采用Pacejka 提出的魔術公式[21]并適當簡化，結果如下：

式中：Bf、Br、Cf、Cr、Df和Dr為確定輪胎經驗曲線的6個參數。前、后輪的側偏角αf和αr為：

3.2.3 車輛逆動力學模型

由于上述車輛動力學模型的控制量為縱向加速度和前輪轉角，因而需要將其經過逆動力學模型轉化為節氣門開度α、制動壓力p和方向盤轉角γsw參數才更便于實施控制。圖9 給出如何通過期望縱向加速度ades得到α和p[22]，而γsw可通過γ和轉向傳動比iω直接得到。

圖9 節氣門開度和制動壓力的計算模型

以Carsim 中車輛驗證模型的怠速帶擋滑行數據為基礎，得到車輛加速度與車速的擬合關系作為驅動/制動切換基準，并選擇一定寬度的過渡區域以避免頻繁切換，本文采用的寬度為0.04g。切換邏輯曲線如圖10所示。

圖10 驅動/制動切換邏輯曲線

逆發動機模型中節氣門開度α可由逆發動機扭矩特性曲線求得：

式中：Tdes為期望的發動機扭矩，ωe為發動機轉速，m為車輛質量，ades為期望加速度，f為滾動阻力因數，Cd為空氣阻力因數，A為迎風面積，ρ為空氣密度，v為車速，ig和i0分別為變速器和主減速器傳動比，ηt為傳動系統機械效率，r為車輪有效半徑。

逆制動系模型中制動壓力p可根據期望制動力Fdes計算得到，即：

式中：Fdes為期望制動力，Kb為制動增益系數，即制動力與制動壓力的比值。

3.3 模型預測控制器設計

3.3.1 目標函數設計

設當前時刻為t，預測時域為Np，控制時域為Nc，模型預測控制器中確定目標函數要保證預測時域內系統的輸出量與控制時域內的控制增量最小，最后目標函數如下[23]：

式中：Q和R為權重矩陣，ε為松弛因子，w為松弛因子權重系數。

3.3.2 約束條件設計

本文設計的約束包括兩部分，分別是控制量約束和控制增量約束。對控制量的約束是保證將車輛運動控制在合理范圍內，對控制增量的約束是保證控制過程的平滑和連續，避免出現控制量的突變。

對控制量的約束為：

對控制增量的約束為：

為了滿足在整個控制時域內的控制要求，令

基于式（17）和（18），可得整個控制時域內對控制量和控制增量的約束為：

本文根據Carsim 中車輛驗證模型的橫縱向運動特性取約束條件為：

4 仿真與分析

4.1 仿真平臺及參數

在確定仿真方案時，假設自車道的前車車速低于自車期望車速，且不考慮前車突然加速的情況。搭建如圖11 所示的CarSim 和Matlab/Simulink 聯合仿真平臺。使用CarSim 中的某車型作為驗證模型，仿真路面條件良好，路面附著系數為0.8。主要車輛參數請見表1，控制器參數請見表2。

圖11 CarSim 和Matlab/Simulink 聯合仿真平臺

表1 車輛仿真參數

表2 控制器仿真參數

4.2 仿真結果及分析

在圖1 基礎上建立典型的高速超車場景，分別采用集中式控制方法和常見的縱向PID-橫向MPC 分散式控制方法進行仿真，并對仿真結果進行對比分析。

4.2.1 仿真場景1

建立的高速超車場景1 為：自車初始速度v0為20 m/s，周圍車輛的車速為v1=v0，v2=v3=v0+5 m/s，車輛間距為s10=50 m，s20=20 m，s30=100 m。圖12 給出了換道初始階段的可行性分析結果。由圖12 可見：Ⅰ、Ⅱ部分發生干涉，沒有足夠的空間進行換道操作，判斷為超車不可行，車輛維持原車道跟車行駛。

圖12 仿真場景1 的換道可行性分析

4.2.2 仿真場景2

建立的高速超車場景2 為：自車初始速度v0為20 m/s 和25 m/s，周圍車輛的車速為v1=v2=v0，v3=v0+5 m/s，車輛間距為s10=s20=50 m，s30=100 m。換道結果分析均為可行，因此進入下面的軌跡規劃和跟蹤控制環節。

該超車場景換回原道的時機定為自車縱向位移超過車輛B1達到50 m。超車過程中目標車速的選擇應為不超過最大限速和同車道前車車速的合理值，本文分別取為25 m/s 和30 m/s，采樣周期為0.5 m/s，聯合仿真的結果如圖13-16 所示。

由圖13 可知：對于不同車速下的超車場景，本文的集中式控制方法在橫向和縱向都能很好地控制車輛按照參考軌跡運動，僅在2 次換道的始末有少許偏差；從圖中局部放大效果可以看出，整個超車過程的最大橫向跟蹤誤差不超過0.2 m，與道路中心線的最大偏差不超過0.1 m，滿足超車過程的要求；且隨著車速增加，超車所需的距離顯著增加，這對實際高速行駛時超車時機的選擇有一定指導意義。此外，相比之下集中式控制得到的仿真軌跡與參考軌跡的偏差更小，在換道始末產生的波動也更小，且收斂更快，換道過程也更加平滑，具有顯著的優勢。

圖13 車輛參考軌跡和仿真軌跡

由圖14 可知：2 種控制方法下車輛的縱向速度都能在整個超車過程中逼近目標車速，且加速過程較為平滑、穩定。但分散式控制方法下車輛的縱向速度在初始時刻產生波動，說明橫向運動對縱向速度的變化有一定影響，由此可知：橫縱向耦合控制是非常必要的。

圖14 車輛縱向速度曲線

從圖15-16 中可以看出，2 種控制方法下車輛的側向加速度和橫擺角速度僅在2 次換道階段出現波動，且車速越高，波動越大，但整個超車過程中側向加速度峰值不超過0.1 m/s2，橫擺角速度峰值不超過0.4 rad/s，始終維持在較低水平，車輛行駛的橫向穩定性較好。此外，相比之下集中式控制方法下側向加速度的整體波動減小約19.0%，橫擺角速度的整體波動減小約11.6%，因而表現出更好的橫向穩定性。

圖15 車輛側向加速度曲線

圖16 車輛橫擺角速度曲線

5 結論

本文以高速公路超車過程為研究對象。基于s-t圖進行超車換道行為可行性的判斷，該方法能充分考慮相鄰車道上周圍車輛對超車過程的影響。在確定換道可行的前提下，采用多項式進行橫縱向運動的軌跡規劃，規劃結果較為簡單平滑。

CarSim 和Matlab/Simulink 的聯合仿真結果顯示，集中式模型預測控制方法能同時控制車輛橫縱向運動以實現軌跡跟蹤，在不同車速下都表現出較好的控制精度和穩定性，在與分散式控制方法的對比中有更佳的表現。因此，本文提出的規劃和跟蹤方法完全符合高速公路超車過程安全平穩的基本要求，并具有一定的應用前景。