菜園面積的奧秘

文／劉密貴

為了防止家禽破壞蔬菜，某農場打算建一個長方形的菜園。如圖1，為了節約材料，菜園的一邊靠著原有的一面墻（不超過這面墻），墻長為15m，另三邊用籬笆圍成。

圖1

問題一：若使用總長度為24m 的籬笆，能建成面積為70m2、80m2的菜園嗎？如果能，菜園的長和寬分別是多少？如果不能，請說明理由。

圖2

【思路分析】如圖2，設AB長為xm，則BC=（24-2x）m，菜園的面積為x（24-2x）m2，由此可以得到關于x的一元二次方程。

解：如圖2，設AB的長為xm，則BC的長為（24-2x）m。

結合題意，得0＜24-2x≤15。

假設x（24-2x）=70。……①

解得x1=5，x2=7。

當x=5 時，BC=24-10=14＜15，滿足題意；

當x=7 時，BC=24-14=10＜15，滿足題意。

假設x（24-2x）=80。……②

原方程沒有實數根。

答：菜園的面積可以是70m2，此時菜園的長和寬分別是14m、5m 或10m、7m。

菜園的面積不可能是80m2。

【反思發現】為什么菜園的面積可以是70m2，不能是80m2？即為什么方程①有兩個不相等的實數根，而方程②沒有實數根？一定跟面積有關。這說明菜園的面積是有最大值的，70 沒有達到最大值，而80超過了最大值。因此，我們很有必要探索以下的問題。

問題二：若使用總長度為24m 的籬笆，所建成菜園的面積最大是多少？

【思路分析】這似乎超出了一元二次方程這個工具的作用，因為現在未知數已經不只是邊長，還有面積。怎么辦呢？

如果沒有思路，同學們大可使用窮舉的辦法進行猜測，不過思路其實就藏在問題一中。用公式法審視方程①②，有無實數根的關鍵在于根的判別式，面積S的不同使得方程①的判別式為正，方程②的判別式為負，那么當判別式為0時，S是否就是最大值呢？

解：設AB的長為xm，菜園的面積為Sm2。

根據題意，得x（24-2x）=S。……③

整理，得2x2-24x+S=0。

根的判別式=242-8S=8（72-S），

當S＜72 時，方程有兩個不相等的實數根；

當S=72 時，方程有兩個相等的實數根；

當S＞72時，方程沒有實數根。

即S的最大值為72。

此時，AB=6，BC=12＜15，符合題意。

答：所建成菜園的面積最大為72m2。

【反思發現】一方面，方程③實際上是一個二元二次方程，但把S看作常數后有助于我們一以貫之地用一元二次方程的知識解決問題。“看元不是元”是求解成功的重要原因。

圖3

問題三：若使用總長度為30m 的籬笆，所建成菜園的面積最大是多少？

【思路分析】同理可知，30 的一半恰好不超過MN的長度，此時當BC=15，AB=時，菜園的面積最大，最大面積為

【反思發現】如果籬笆的長度超過30m呢？

問題四：若使用總長度為36m 的籬笆，所建成菜園的面積最大是多少？

【思路分析】顯然，由于36的一半超過了MN的長度，所以上述規律已經不再適用。直觀感受到，要想把籬笆用足，靠墻的一邊其實可以占滿整面墻，即令BC=AD=MN=15，此時AB+CD=36-15=21，，菜園面積為

以上是我們的猜測，這個結果是否就是最大面積呢？不妨利用問題二的經驗進行探索和驗證。

解：設AB的長為xm，菜園的面積為Sm2，則BC的長為（36-2x）m。

結合題意，得0＜36-2x≤15。

根據題意，得x（36-2x）=S。

整理，得2x2-36x+S=0。

根的判別式=362-8S=8（162-S），

當S=162 時，方程有兩個相等的實數根x1=x2=9，與＜18 矛盾，不符合題意。

【反思發現】為什么問題二中的方法不奏效了？因為問題二中方程的解滿足BC＜15，而本問題已經不滿足了。

怎么辦？

轉變思路：既然知道了x的范圍，可否推出S的范圍？

需要把含x的項都集中起來，用配方法！

可見，問題在變化，解題的方法也要隨之變化。

在此基礎上，你能回答下面的問題了嗎？

問題五：若使用總長度為am 的籬笆，所建成菜園的面積最大是多少？（用含a的式子表示。）